2026年江苏南京市中考数学第二次全真模拟练习卷（南京专用）

2026年南京市中考数学第二次模拟仿真练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，绝对值最大的数是(    ) A． B．0 C． D． 2．若分式中和的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．不变 3．下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（       ） A． B． C． D． 4．如图所示，在正方形中，，将正方形对折，使得边与边重合，折痕交于点，交于点，以顶点为圆心，长为半径画弧，交折痕于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 6．某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（   ） A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7．使有意义的的取值范围是______． 8．历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年11月10日，该片累计票房已突破3017000000元．其中数据3017000000用科学记数法表示为______________ ． 9．分解因式________． 10．如图，是的直径，弦，若，则的度数为___________． 11．已知一组数据的方差，则_____． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为________． 14．如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______． 15．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 16．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）解方程： （2）计算： 18．解不等式组：． 19．如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形． 20．某黄花种植专业合作社响应乡村振兴号召，扩大标准化种植规模，今年黄花迎来丰收．合作社计划租用专业采收机完成采收作业，现有甲、乙两种型号的采收机可供选择．已知每台乙型号采收机每天比每台甲型号采收机多采收10亩，且每台甲型号采收机采收200亩黄花所用的时间与每台乙型号采收机采收300亩黄花所用的时间相同．求甲、乙两种型号的采收机每台每天分别采收黄花的亩数． 21．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： (1)求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； (2)已知全校共1500名学生，请你估计全校B档的人数； (3)学校要从D档的4名学生中随机抽取2名学生分享读书经验，已知这4名学生2名来自七年级，1名来自八年级，1名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的概率． 22．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求B，C间的距离（结果保留根号）； (2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位） 23．如图，为边上一点． (1)在图中，用尺规作，使与的边相切于点，且与边也相切；（保留作图痕迹，不写作法） (2)小明在图中进行尺规作图，请根据作图痕迹说明． 24．某公园文创商店计划购进A，B两款文创产品进行销售．已知购进4件A产品和3件B产品共需360元；购进5件A产品和2件B产品共需380元． (1)求A产品和B产品每件的进价． (2)该商店计划购进A，B两款文创产品共200件，且购进的B产品数量不低于A产品数量的1.5倍．A产品售价为80元/件，B产品售价为60元/件．“五一”假期，商店决定A产品按原价出售，B产品按售价八折促销．若200件产品全部售完，求该商店获得的最大利润是多少元． 25．如图，为的内接等边三角形，，为边上的一点，连接并延长，交于点，在边的延长线上取一点，连接，，． (1)的度数为________． (2)当时，求证：为的切线． (3)若为的平分线．试探究是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 26．已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． (1)若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． (2)若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 27．在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．          学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年南京市中考数学第二次模拟仿真练习卷 参考答案及评分标准 第一部分（选择题共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题 1 2 3 4 5 6 号 答 案 A 0 0 B C 第二部分（非选择题共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分 7.x≥-3且x≠0 8.3.017×10 9.b(a-7)(a+7 10.56 11.25 14.10W2 15.1.8 16.25-2 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.【详解】解：(1)x2-4x-12=0, x-6)(x+2)=0, x-6=0或x+2=0, .x1=6,x2=-2;(3分) 解：2)5-（红-314+4-2cos30 =3-1+4-2x 2 =6-√5.(6分) [3(x+1)<2-x 18.【详解】解： x=8≥2x-3' 4,(3分) 解3(x+1<2-x可得：x<- 第 °≥2x-3可得：x≤ 3 2 :不等式组的解集为：x≤-行·(6分) 19.【详解】证明：：AB=AC,D为BC边的中点， :AD⊥BC,BD=CD, .∠ADC=90°， :四边形ABDE是平行四边形， ..AEl BD,AE=BD, .AE‖ICD,AE=CD, :四边形ADCE是平行四边形， 又：∠ADC=90°， :四边形ADCE是矩形.(6分) 20.【详解】解：设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄 花(x+10)亩， 根据题意得200-300 (3分) xx+10 200(x+10)=300x 100x=2000 解得x=20, 经检验，x=20是原分式方程的解且符合题意. 乙型号为：x+10=30(亩). 答：甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩，(6分) 21.【详解】(1)解：由题知A档和D档共有12个数据，D档数据有4个， .A档数据共有12-4=8（人）， 本次调查的学生人数为8÷20%=40（人）， :C档人数为40-16-12=12（人）， 补全图2如图所示： 个频数 16 16 12 12 8 8 ;(2分) 4 0 A档B档C档 D档档次 16 (2)解：1500× =600(人)， 40 答：估计全校B档的人数为600人：(4分) (3)解：分别用a,b表示七年级的2名学生，用c表示八年级1名学生，用d表示九年级 1名学生，画树状图如下， 开始 b b cd a cd a bd a b c 共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的结果有4种， 以抽到的2名学生分别米自七年级和九年级的概率P。},(8分 22.【详解】(1)解：如图所示，过点C作CF⊥DE于点F,过点D作DE⊥AB于点E, ∠A=60°， 北 西一 →东 609 南 :DE=AD-sin∠A=6x5=35,AE=AD-c0s∠A=6x)=3, 2 2 459 .BE=AB-AE=7-3=4, CF⊥DE,AB⊥BC,DE⊥AB, .四边形BCFE是矩形， :CF BE =4, :CF⊥DE,∠FCD=45°， :aCDF是等腰直角三角形， :DF=FC=4, .BC EF ED-FD=33-4 答：B与C之间的距离为(3V5-4km；(4分) (2)解：如图所示，设甲，乙两架无人机在点G处相遇， 北 西 →东 60 南 E :甲的速度与乙的速度之比是3：2， DG:AG=3:2, 设AG=x,则DG=1.5AG=1.5x, 由(1)得，DE=3V3,AE=3, GE=AG-AE=x-3, DE⊥AB, 在Rt DEG中，由勾股定理得EG2+DE2=GD2, (x-3)2+35=(1.5x2, 解得x≈3.5（负值舍去）. :.当两无人机相遇时，乙一共跑了3.5千米.(8分) 23.【详解】(1)解：如图，作AE平分∠BAC,过点P作PF⊥AB交AE于点O,以点O为 圆心，OP为半径作⊙0，过点O作OD⊥AC于点D, B :PF⊥AB于点P,且OP为O0的半径， .AB切OO于点P, :AE平分∠BAC,PF⊥AB,OD⊥AC, 0P=0D, 点O到AC的距离为OP,即为OO的半径， .AC为⊙O的切线， 则⊙0即为所作：(4分) (2)解：由作图知：OP⊥AB,PN的垂直平分线交PN于点O,⊙O的半径是OP, .∠APC=90°，PN为O0的直径， .∠CMP=90°=∠AMP, .∠MPN+∠APM=90°=∠APM+∠A, .∠MPN=∠A.(8分) 24.【详解】(1)解：设一件A产品进价x元，B产品进价y元， 根据题意，得 4x+3y=360 5x+2y=380' x=60 解方程组，得 y=40 答：一件A产品进价60元，一件B产品进价40元.(3分) (2)解：设购进A款文创产品m件，则购进B款文创产品(200-m件， 根据题意，得200-m≥1.5m, 解得m≤80， 设商店获得的利润为w元，则w=(80-60m+(60×0.8-40)(200-m)=12m+1600, 12>0 .w随m的增大而增大 .当m=80时，w取得最大值，w最大=12×80+1600=2560. 答：商店获得的最大利润是2560元.(8分) 25.【详解】(1)解：aABC为00的内接等边三角形， .∠ACB=60°， :∠AEB=∠ACB=60°， 故答案为：60°；(2分) (2)解：如图，连接EO,OC,EC, E D .FC.FA=EF2, B FC EF EF FA ∠EFC=∠AFE, :EFC∽AFE, :ZFEC ZFAE, ∠E0C=2LFAE, :ZEOC 2ZECF, :0E=0C, :ZOEC ZOCE, ∠0EC+∠0CE+LE0C=180°， 2∠0EC+2∠ECF=180°， ∠0EC+LECF=90°，即∠0EF=90°， .EF为O0的切线；(5分) (3)解：：BC为∠EBF的平分线， LEBC=∠CBF=LEAC, :∠ACB=∠ABC=60°， ∠AEC=180°-∠ABC=180°-∠ACB=∠BCF=120°， EAC∽CBF, CF CB EC EA ∠EAD=∠CBD,∠ADE=∠BDC, AADE∽△BDC, CB_CD EA ED CF_CB CD EC EA ED' CF CE CDED ∠CED=∠BAD,∠EDC=∠ADB, .△CDEn△BAD, CE=AB ED AD AB=AC, CE AC ·EDAD CF CE AC CD ED AD .CF=4C.CD AD AC.CD CF.CD .CD AC.CD AD AD CF-CD AC·CD AC.CD_AC-CD=AC=6, CD AC-AD CD AD AD 故CFCD CF-CD 为定值，定值为6.(10分) 26.【详解】（1)解：：抛物线L的对称轴为直线 3 、2 2x(-1=3解得b=-4 b 3 :抛物线：y=-x2-x+c经过点A-1, 3 .-1++c=1, 3 42 c=2-3号(2分) (2)①方法一：：抛物线L经过A-1,1,B(m,1, ÷抛物线乙的对称轴为直线x=2 -1+m b--1+m 22 .b=m-1. :0<m<1, .-1<m-1<0, .b的取值范围为-1<b<0. 方法二：将A(-1,1)代入y=-x2+bx+c, 得-1-b+c=1, .c=b+2, y=-x2+bx+b+2. 又：抛物线L过点B(m,, .-m2+bm+b+2=1, .bm+1=m2-1. 由0<m<1,可知m≠-1， .b=m-1, 0<m<1, .-1<m-1<0, -1<b<0.(5分) ②将A-1,代入y=-x2+bx+c 得-1-b+c=1, .c=b+2. 由①可知，b=m-1, .c=m+1, :y=-x2+(m-1x+m+1,, y=-x2+m-1)x1+m+1,y2=-x+m-1x2+m+1., y<y2 月-y2<0, -x+m-1x+m+1+x-m-1x2-m-1=x-x2+(m-1(x1-x2）<0, .（x2-x)x2+x）-(m-1)x2-x<0, ∴(x2-x)[(x3+x)-(m-1]<0. x1>x2.x2-x1<0, （x2+x)-m-1)>0, x2+x1>m-1. 又：x+>-2 1 m-1s-1 .m2 1 m的最大雀为)(10分) 27.【详解】(1)解：：正方形纸片ABCD,AB=8,点P恰好是边CD的中点， AB=BC=CD=DA=8,PD=PC=CD=4,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 2 设BM=x,则CM=BC-BM=8-x, .x2=(8-x)2+16, 解得x=5, BM=5, 故答案为：5：(3分) (2)解：：正方形纸片ABCD,AB=a,CP= 3, A8=BC=CD=D4=a,PD=CD-PC-a,LA=∠B=∠C:∠D:90, 设BM=x,则CM=BC-BM=Q-x, 1 x2=(a-x+5a2, 9 解得=， 54 ÷CM=a-ga=ga 根据折叠的性质，得∠MPQ=∠B=90°， :∠D=∠C=∠MPO=90°， .∠MPC=90°-∠DPQ=∠PQD, △MPC∽aPQD, 答器 4 1 9 a 2 s31 a QD 3 解得D0=20, 1 :PO= 敌Dr2的周长为：PQ+D0+DP-名a+a+号a=2a, 1 2 3 故DP2的周长为2a；(6分) (3)解：：正方形纸片ABCD,AB=a,CP=1。 n AB=BC CD=DA=a,PD=CD-PC=n-1a ,LA=LB=LC=LD=90°， 11 设BM=x,则CM=BC-BM=a-x, x2=(a-x2+2a2, n2 解得x=+1 2n2a, CM=a-n'+1g=n2-1 2n =2n20,(9分) 根据折叠的性质，得∠MPQ=∠B=90°， :∠D=∠C=∠MPQ=90°， ∠MPC=90°-∠DPQ=∠PQD, .△IPCAPOD, MC PC :PD OD n2-11 22 -a 1- -a OD 解得Dg=2 , -j n2+1 a, n(n+1) 2 故DPO的周长为：PQ+D0+DP=2+1a nn+1）n+ia+2a3 -a=2a=2AB, (:1)·8F74斗图阳Oda弹 2026学年南京市中考数学第二次模拟仿真练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，绝对值最大的数是(    ) A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，先得出每个选项的绝对值，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：，，，，且， 绝对值最大的数是． 故选：A． 2．若分式中和的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的性质，理解分式的性质是解题关键． 将扩大后的值代入分式，通过化简判断分式值的变化． 【详解】解：∵当和都扩大到原来的3倍时， ∴新分式为， ∵， ∴分式的值不变． 故选：D． 3．下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从物体左面和上面看得到的图形全等的几何体即可． 【详解】解：A．圆锥的左视图和俯视图分别为等腰三角形，带圆心的圆，故A选项不符合题意； B．圆柱的左视图和俯视图分别为长方形，圆，故B选项不符合题意； C．六棱柱的左视图和俯视图分别为中间带有竖线的长方形，六边形，故C选项不符合题意； D．球的左视图和俯视图都是圆，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图． 4．如图所示，在正方形中，，将正方形对折，使得边与边重合，折痕交于点，交于点，以顶点为圆心，长为半径画弧，交折痕于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式的求解，由是解决本题的关键． 首先根据扇形的面积公式，将圆心角和半径为2代入公式可求解扇形面积，再根据直角三角形的面积公式可求解的面积，进而可求解阴影面积． 【详解】解：在正方形中，， 由对折可知，点E，F分别为和的中点， 即， 又因为以顶点为圆心，长为半径画弧， 所以可知圆的半径， 在中，由勾股定理可得， 且， 则可得，即， 所以， ， 所以． 故选：B ． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理解题． 通过设点坐标，结合反比例函数性质和三角形面积公式来逐步推导． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 设点的坐标为， 是的中点， ， ，点的横坐标与点相同，为， 将代入，可得点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴，垂直于轴方向， 在中，（底，的长度为点的纵坐标（高， 根据三角形面积公式底高，可得： ， ， ， 故选：C． 6．某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（   ） A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图象判断贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人的横、纵坐标的比值大小即可．利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， 由图可得连接原点和四个点中的直线中，经过思睿的直线最陡， 这四款机器人中选一款生产效率最高的是思睿， 故选：C． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7．使有意义的的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，根据分式的分母不为0及二次根式的被开方数大于或等于0进行求解． 【详解】解：由题意得：且， ∴且； 故答案为且． 8．历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年11月10日，该片累计票房已突破3017000000元．其中数据3017000000用科学记数法表示为______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，是正数，当原数绝对值小于 1 时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3017000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 9．分解因式________． 【答案】 【分析】先提取原式的公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 10．如图，是的直径，弦，若，则的度数为___________． 【答案】56 【分析】根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．已知一组数据的方差，则_____． 【答案】25 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解． 【详解】解：由方差公式可知， 该组数据的平均数为9， 因此，有 ， 整理得， 即 ， 所以 ． 故答案为：25． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求解即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 即的取值范围是且． 故答案为：且． 13．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，、相交于点O，则为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，正弦的定义，取格点，连接、，证明，，进而可得，根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】解：取格点，连接、，如图， 由图可知：在正方形网格中，， ，， ， 小正方形的边长为1， 在中，，， ， ． 故答案为：． 14．如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】利用和相似可得，再利用等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ，，四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得， ， ∵， ∴． 15．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键；建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为， 故答案为：． 16．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． 【答案】 【分析】以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此能求出结果． 【详解】解：与点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， 此时， 的半径为， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程、含特殊三角函数值的实数混合运算，熟练掌握相关运算方法是解答的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）先计算算术平方根，零指数幂，负整数幂，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：（1）， ， 或， ∴，； 解：（2） ． 18．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解可得：， 解可得：， ∴不等式组的解集为：． 19．如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】由等腰三角形的三线合一性质得出，，，由平行四边形的性质得出，，得出，，证出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：，为边的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 20．某黄花种植专业合作社响应乡村振兴号召，扩大标准化种植规模，今年黄花迎来丰收．合作社计划租用专业采收机完成采收作业，现有甲、乙两种型号的采收机可供选择．已知每台乙型号采收机每天比每台甲型号采收机多采收10亩，且每台甲型号采收机采收200亩黄花所用的时间与每台乙型号采收机采收300亩黄花所用的时间相同．求甲、乙两种型号的采收机每台每天分别采收黄花的亩数． 【答案】甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩 【分析】设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花亩，根据题意列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花亩， 根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴乙型号为：（亩）． 答：甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩． 21．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： (1)求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； (2)已知全校共1500名学生，请你估计全校B档的人数； (3)学校要从D档的4名学生中随机抽取2名学生分享读书经验，已知这4名学生2名来自七年级，1名来自八年级，1名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的概率． 【答案】(1)40人，见解析 (2)600人 (3) 【分析】（1）由题意可知档数据共有（人），即可求得本次调查的学生人数为（人），再求出档人数为（人），补全统计图即可； （2）用档的人数占比乘以1500即可求解； （3）分别用a，b表示七年级的2名学生，用表示八年级1名学生，用表示九年级1名学生，画出树状图，得到共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的结果有4种，即可求解． 【详解】（1）解：由题知档和档共有12个数据，档数据有4个， 档数据共有（人）， ∴本次调查的学生人数为（人）， 档人数为（人）， 补全图2如图所示；     ； （2）解：（人）， 答：估计全校档的人数为600人； （3）解：分别用a，b表示七年级的2名学生，用表示八年级1名学生，用表示九年级1名学生，画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的结果有4种， 所以抽到的2名学生分别来自七年级和九年级的概率． 22．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求B，C间的距离（结果保留根号）； (2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2)3.5千米 【分析】（1）过点C作于点F，过点D作于点E，解直角三角形求得和的长，推出四边形是矩形，求得，据此求解即可； （2）设甲，乙两架无人机在点G处相遇，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点F，过点D作于点E，， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 答：B与C之间的距离为； （2）解：如图所示，设甲，乙两架无人机在点G处相遇， ∵甲的速度与乙的速度之比是， ， 设，则， 由（1）得，，， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（负值舍去）． ∴当两无人机相遇时，乙一共跑了3.5千米． 23．如图，为边上一点． (1)在图中，用尺规作，使与的边相切于点，且与边也相切；（保留作图痕迹，不写作法） (2)小明在图中进行尺规作图，请根据作图痕迹说明． 【答案】(1)作图见解析 (2)过程见解析 【分析】（1）作平分，过点作交于点，以点为圆心，为半径作即可； （2）根据作图知，为的直径，继而得到，根据等角的余角相等可得结论． 【详解】（1）解：如图，作平分，过点作交于点，以点为圆心，为半径作，过点作于点， ∵于点，且为的半径， ∴切于点， ∵平分，，， ∴， ∴点到的距离为，即为的半径， ∴为的切线， 则即为所作； （2）解：由作图知：，的垂直平分线交于点，的半径是， ∴，为的直径， ∴， ∴， ∴． 24．某公园文创商店计划购进A，B两款文创产品进行销售．已知购进4件A产品和3件B产品共需360元；购进5件A产品和2件B产品共需380元． (1)求A产品和B产品每件的进价． (2)该商店计划购进A，B两款文创产品共200件，且购进的B产品数量不低于A产品数量的1.5倍．A产品售价为80元/件，B产品售价为60元/件．“五一”假期，商店决定A产品按原价出售，B产品按售价八折促销．若200件产品全部售完，求该商店获得的最大利润是多少元． 【答案】(1)一件A产品进价60元，一件B产品进价40元 (2)2560元 【分析】（1）设一件A产品进价元，B产品进价元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，根据题意列出不等式和一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设一件A产品进价元，B产品进价元， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：一件A产品进价60元，一件B产品进价40元． （2）解：设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件， 根据题意，得， 解得， 设商店获得的利润为元，则， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最大值，． 答：商店获得的最大利润是2560元． 25．如图，为的内接等边三角形，，为边上的一点，连接并延长，交于点，在边的延长线上取一点，连接，，． (1)的度数为________． (2)当时，求证：为的切线． (3)若为的平分线．试探究是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，定值为 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练证明和利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用圆周角定理即可解答； （2）连接，证明，得到，利用等腰三角形的性质即可解答； （3）利用角平分线的定义和圆周角定理，多次证明三角形形似，可得，代入题中所给的式子即可解答． 【详解】（1）解：为的内接等边三角形， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的切线； （3）解：为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故为定值，定值为． 26．已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． (1)若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． (2)若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）①方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；②方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于，m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于，b的不等式，解不等式即得 【详解】（1）解：∵抛物线L的对称轴为直线x= 解得        ∵抛物线 经过点， （2）①方法一：∵抛物线L经过，， ∴抛物线L的对称轴为直线 ∴． ∵， ∴， ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得， ∴，      又∵抛物线L过点，      由，可知， ∴， ∵， ∴， ∴．     ②方法一∶将代入 得， ∴． 由①可知，， ∴， ， ， ， 又∵ , , ∴m的最大值为     方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， 即 整理，得 ， ，      又， ， 由①可知，， ， ， ∴m的最大值为 27．在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．          【答案】（1）5 （2）的周长为（3）可以，的周长为 【分析】（1）根据题意，得，，，设，则，根据勾股定理得到，解方程即可． （2）设，则，得到，解得，则，证明，求得，，解答即可； （3）设，，则，，，设，则，则，解得，则，仿照第二问的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片，，点恰好是边的中点， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为； （3）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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