第57讲　带电粒子在匀强磁场中运动 讲义 -2027届高三物理一轮复习

第57讲　带电粒子在匀强磁场中运动 一、洛伦兹力 1．洛伦兹力：磁场对 运动电荷　的作用力。 2．洛伦兹力的方向(左手定则) (1)伸出左手，使拇指与其余四个手指 垂直　，并且都与手掌在同一个平面内。 (2)让磁感线从掌心进入，并使 四指　指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。 (3) 拇指　所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。 如图，①表示 正电荷　运动的方向或 负电荷　运动的反方向，②表示 磁场　的方向，③表示 洛伦兹力　的方向。 3．洛伦兹力的大小：F＝ qvBsin θ　，θ是v与B之间的夹角。 (1)当v∥B时，F＝ 0　。 (2)当v⊥B时，F＝ qvB　。 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力F⊥ B　，F⊥ v　，即F垂直于B和v决定的 平面　，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的 大小　，或者说，洛伦兹力对带电粒子 不做功　。 2．粒子的运动性质 (1)若v0∥B，则粒子 不受洛伦兹力　，在磁场中做 匀速直线运动　。 (2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做 匀速圆周运动　。 3．基本公式 (1)由qvB＝ m　，得r＝ 　。 (2)由v＝，得T＝ 　。 (3)f＝＝ 　。 (4)ω＝＝2πf＝ 　。 1．带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。( × ) 2．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。( × ) 3．根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。( × ) 4．由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。( × ) 5．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( √ ) 考点1　对洛伦兹力的理解 (基础考点·自主探究) 1．洛伦兹力的特点 (1)洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。 (2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 (3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运动的反方向。 2．洛伦兹力与安培力的联系及区别 (1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。 (2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 3．洛伦兹力与静电力的比较 洛伦兹力 静电力 产生 条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力与电场强度方向相同，负电荷受力与电场强度方向相反 做功 情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功 【跟踪训练】 (洛伦兹力的特点)真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。直径略小于绝缘管直径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．小球先加速后减速 B．小球受到的洛伦兹力始终为零 C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零 D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向始终竖直向上 (洛伦兹力与静电力的比较)如图所示，甲、乙是竖直面内两个相同的半圆形光滑轨道，M、N分别为两轨道的最低点，匀强磁场垂直于甲轨道平面，匀强电场平行于乙轨道平面，两个完全相同的带正电小球a、b分别从甲、乙两轨道的右侧最高点由静止释放，在它们第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是(　　) A．a球下滑的时间比b球下滑的时间长 B．a、b两球的机械能均不守恒 C．a球到M点的速度小于b球到N点的速度 D．a球对M点的压力大于b球对N点的压力 考点2　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 (能力考点·深度研析) 1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 (1)圆心的确定方法 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 ③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 (2)半径的计算方法 方法一　由R＝求得 方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得 例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。 ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。 (3)时间的计算方法 方法一　利用圆心角、周期求得t＝T 方法二　利用弧长、线速度求得t＝ 例如：t＝T＝T＝T t＝＝ 2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) (2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示) (3)圆形边界 ①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。 ②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。 ③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。 ►考向1　带电粒子在直线边界磁场中的运动 (2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　) A． B． C．(1＋) D． ►考向2　带电粒子在圆形边界磁场中的运动 (2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 【跟踪训练】 (带电粒子在三角形边界中的运动)(多选)(2024·河北石家庄市调研)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量为－q、速度大小均为v0＝的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为L B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出 C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为L D．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等 (带电粒子在正方形边界中的运动)(多选)(2024·河北卷)如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是(　　) A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45° D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 带电粒子在磁场中运动的多解问题 ►考向1　磁场方向不确定形成多解 分析 图例 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b (多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　) A. B． C. D． ►考向2　带电粒子电性不确定形成多解 分析 图例 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b (多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射出。下列说法正确的是(　　) A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 ►考向3　临界状态不确定形成多解 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< ►考向4　运动的往复性形成多解 分析 图例 带电粒子在部分是电场，部分是磁场或相邻两部分磁场方向不同的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解 CD＝l，l＝n·2r，即粒子到D点半径有n个值 求解有界磁场中多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。 提能训练　练案[57] 基础巩固练 题组一　洛伦兹力的特点及应用 1．图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示，一个带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是(　　) A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．(多选)如图所示，匀强磁场的方向竖直向下，磁场中有光滑的水平桌面，在桌面上平放着内壁光滑、底部有带电小球的试管，在水平拉力F的作用下，试管向右匀速运动，带电小球能从管口处飞出，则(　　) A．小球带负电 B．小球运动的轨迹是一条抛物线 C．洛伦兹力对小球做正功 D．维持试管匀速运动的拉力F应逐渐增大 题组二　带电粒子在匀强磁场中的运动 3.(2025·河南开封高三联考)如图所示，虚线框MNQP内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点垂直于PQ边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则(　　) A．粒子a带负电，粒子b、c带正电 B．若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电荷量最大 4.(2022·北京卷)正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是(　　) A．磁场方向垂直于纸面向里 B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大 C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大 D．轨迹3对应的粒子是正电子 5.(多选)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从图中A点以水平速度v0垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成60°角，当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了120°角，下列说法正确的是(　　) A．该粒子带正电 B．该粒子带负电 C．该粒子在磁场中运动的半径为r＝R D．该粒子在磁场中运动的时间为t＝ 6.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B．kBl，kBl C.kBl，kBl D．kBl，kBl 7.(多选)(2025·吉林长春市外国语学校期中)如图，虚线上方空间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向发射，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是(　　) A．质子在磁场中运动的半径为l B．α粒子在磁场中运动的半径为l C．质子在磁场中运动的时间为 D．质子和α粒子发射的时间间隔为 8.(多选)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从a点沿着ad方向垂直射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度可能为(　　) A. B． C. D． 9.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为(　　) A.∶2 B．∶1 C.∶1 D．3∶ 题组三　带电粒子在磁场中运动的多解问题 10.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里 C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外 11．(2024·四川内江市第六中学模拟)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为(　　) A. B． C. D． 能力提升练 12．(多选)如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ＝53°角垂直磁场射入，从磁场右边界上点P(7d，d)离开。已知粒子的质量为m，带电荷量为q，重力不计，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。下列说法正确的是(　　) A．该带电粒子带正电 B．粒子的发射速度大小为 C．粒子从P点射出时的速度方向与x轴正方向的夹角为37° D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为 13．(多选)(2025·福州联考)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，现有比荷大小相等的甲、乙两粒子，甲以速度v1从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过t1时间射出磁场，射出磁场时的速度方向与初速度方向间的夹角为60°；乙以速度v2从距离直径AOB为的C点平行于直径AOB方向射入磁场，经过t2时间射出磁场，其轨迹恰好通过磁场的圆心，不计粒子受到的重力，则(　　) A．两个粒子带异种电荷 B．t1＝t2 C．v1∶v2＝∶1 D．两粒子在磁场中轨迹长度之比l1∶l2＝∶1 14.(2025·河北调研)如图所示，由光滑弹性绝缘壁构成的等边三角形ABC容器的边长为a，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，小孔O是竖直边AB的中点，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从小孔O以速度v水平射入磁场，粒子与器壁多次垂直碰撞后(碰撞时无能量和电荷量损失)仍能从O孔水平射出，已知粒子在磁场中运动的半径小于，则磁场的磁感应强度的最小值Bmin及对应粒子在磁场中运动的时间t分别为(　　) A.、 B．、 C.、 D．、 15.如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里。有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)磁场区域的圆心O1的坐标； (3)电子在磁场中运动的时间。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第57讲　带电粒子在匀强磁场中运动 一、洛伦兹力 1．洛伦兹力：磁场对 运动电荷　的作用力。 2．洛伦兹力的方向(左手定则) (1)伸出左手，使拇指与其余四个手指 垂直　，并且都与手掌在同一个平面内。 (2)让磁感线从掌心进入，并使 四指　指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。 (3) 拇指　所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。 如图，①表示 正电荷　运动的方向或 负电荷　运动的反方向，②表示 磁场　的方向，③表示 洛伦兹力　的方向。 3．洛伦兹力的大小：F＝ qvBsin θ　，θ是v与B之间的夹角。 (1)当v∥B时，F＝ 0　。 (2)当v⊥B时，F＝ qvB　。 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力F⊥ B　，F⊥ v　，即F垂直于B和v决定的 平面　，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的 大小　，或者说，洛伦兹力对带电粒子 不做功　。 2．粒子的运动性质 (1)若v0∥B，则粒子 不受洛伦兹力　，在磁场中做 匀速直线运动　。 (2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做 匀速圆周运动　。 3．基本公式 (1)由qvB＝ m　，得r＝ 　。 (2)由v＝，得T＝ 　。 (3)f＝＝ 　。 (4)ω＝＝2πf＝ 　。 1．带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。( × ) 2．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。( × ) 3．根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。( × ) 4．由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。( × ) 5．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( √ ) 考点1　对洛伦兹力的理解 (基础考点·自主探究) 1．洛伦兹力的特点 (1)洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。 (2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 (3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运动的反方向。 2．洛伦兹力与安培力的联系及区别 (1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。 (2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 3．洛伦兹力与静电力的比较 洛伦兹力 静电力 产生 条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力与电场强度方向相同，负电荷受力与电场强度方向相反 做功 情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功 【跟踪训练】 (洛伦兹力的特点)真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。直径略小于绝缘管直径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．小球先加速后减速 B．小球受到的洛伦兹力始终为零 C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零 D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向始终竖直向上 [答案]　C [解析]　根据安培定则可知，直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示，洛伦兹力始终与小球运动方向垂直，故不做功，小球速率不变，A错误；当运动到ab中点时，磁感线与速度方向平行，所受洛伦兹力为零，自a端到中点洛伦兹力竖直向下，中点到b端洛伦兹力竖直向上，B、D错误，C正确。 (洛伦兹力与静电力的比较)如图所示，甲、乙是竖直面内两个相同的半圆形光滑轨道，M、N分别为两轨道的最低点，匀强磁场垂直于甲轨道平面，匀强电场平行于乙轨道平面，两个完全相同的带正电小球a、b分别从甲、乙两轨道的右侧最高点由静止释放，在它们第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是(　　) A．a球下滑的时间比b球下滑的时间长 B．a、b两球的机械能均不守恒 C．a球到M点的速度小于b球到N点的速度 D．a球对M点的压力大于b球对N点的压力 [答案]　D [解析]　由于小球a在磁场中运动，受到的洛伦兹力对小球不做功，整个过程中小球a的机械能守恒；而小球b在电场中运动，受到的电场力对小球b做负功，到达最低点时的速度较小，所以下滑的时间较长，故A、B、C错误；小球a在磁场中运动，在轨道最低点M处对小球a受力分析可知FM－mg－BqvM＝m，解得FM＝m＋mg＋BqvM。小球b在电场中运动，在轨道最低点N处对小球b受力分析可知FN－mg＝m，解得FN＝m＋mg，因为vM>vN，所以FM>FN，结合牛顿第三定律可知，D正确。 考点2　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 (能力考点·深度研析) 1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 (1)圆心的确定方法 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 ③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 (2)半径的计算方法 方法一　由R＝求得 方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得 例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。 ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。 (3)时间的计算方法 方法一　利用圆心角、周期求得t＝T 方法二　利用弧长、线速度求得t＝ 例如：t＝T＝T＝T t＝＝ 2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) (2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示) (3)圆形边界 ①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。 ②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。 ③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。 ►考向1　带电粒子在直线边界磁场中的运动 (2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　) A． B． C．(1＋) D． [答案]　C [解析]　粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的轨迹半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)，故C正确。 ►考向2　带电粒子在圆形边界磁场中的运动 (2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 [答案]　D [解析]　在圆形匀强磁场区域内，沿径向射入的带电粒子，总是沿径向射出，根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，A、B错误；粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间间隔最小时，根据对称性画出粒子的运动轨迹如图甲所示，则最小时间间隔t＝2T＝，C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，根据几何关系可知r＝，又根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，联立可得v＝，D正确。 无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 【跟踪训练】 (带电粒子在三角形边界中的运动)(多选)(2024·河北石家庄市调研)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量为－q、速度大小均为v0＝的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为L B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出 C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为L D．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等 [答案]　ABC [解析]　粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝，解得粒子在磁场中运动的半径为r＝＝L，故A正确；如图甲所示，当粒子恰好从A点射出时，根据几何关系可得粒子与OC成60°角入射，所以与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出，故B正确； 如图乙所示，根据几何关系可知沿OC方向入射的粒子将恰好从D点射出，结合上面B项分析可知AD为AC边界上有粒子射出的区域，其长度为L，故C正确；所有粒子在磁场中运动的周期均相同，设为T，设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为α，则粒子运动时间为t＝T，由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆，从OA射出的粒子，其轨迹所截AO的长度不同，对应转过的圆心角不同，所以所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间不等，故D错误。 (带电粒子在正方形边界中的运动)(多选)(2024·河北卷)如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是(　　) A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45° D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° [答案]　AD [解析]　设粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为θ。若粒子穿过ad边、cd边垂直BC射出，则运动轨迹如图甲所示，设粒子在磁场中运动轨迹的半径为r，ef的长度为l，则rsin θ＋lcos θ＝rcos θ＋lsin θ，即(r－l)(sin θ－cos θ)＝0，可得r＝l或θ＝45°时，粒子必垂直BC射出，其中当r＝l时，与θ大小无关，A正确，C错误；若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，且粒子从cd边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图乙所示，可见粒子不可能垂直BC射出，B错误；若粒子穿过ad边、bc边垂直BC射出，运动轨迹如图丙所示，设大正方形边长为L1，小正方形边长为L2，对粒子穿过ad边前在磁场中的运动过程，根据几何关系有＝r－rcos θ，对粒子穿过bc边后在磁场中的运动过程，根据几何关系有＝rcos θ，解得cos θ＝，则θ＝60°，D正确。 带电粒子在磁场中运动的多解问题 ►考向1　磁场方向不确定形成多解 分析 图例 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b (多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　) A. B． C. D． [答案]　BD [解析]　根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4qvB＝m，得v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相反时，有2qvB＝m，v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝，故选项B、D正确。 ►考向2　带电粒子电性不确定形成多解 分析 图例 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b (多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射出。下列说法正确的是(　　) A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 [答案]　CD [解析]　若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图甲所示，设轨迹半径为r2，由几何知识得L2＋(r2－0.5L)2＝r，解得r2＝L，根据牛顿第二定律得qv2B＝m，解得v2＝，根据动量定理得I＝2mv2＝，故A错误，C正确；若粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子做圆周运动的半径为r1＝L，由牛顿第二定律得qv1B＝m，解得v1＝，此时半径最小，速度也最小，故B错误；若粒子带负电，当粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为时，粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝，故D正确。 ►考向3　临界状态不确定形成多解 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< [答案]　AB [解析]　如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝2＋l2，又因为r1＝，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝＝，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，C、D错误。 ►考向4　运动的往复性形成多解 分析 图例 带电粒子在部分是电场，部分是磁场或相邻两部分磁场方向不同的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解 CD＝l，l＝n·2r，即粒子到D点半径有n个值 求解有界磁场中多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。 提能训练　练案[57] 基础巩固练 题组一　洛伦兹力的特点及应用 1．图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示，一个带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是(　　) A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 [答案]　B [解析]　在O点处，各导线中电流产生的磁场的磁感应强度叠加，d、b导线中电流在O点产生的磁场抵消，a、c导线中电流在O点产生的磁场合矢量方向向左。带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，由左手定则可判断出它所受洛伦兹力的方向向下，B正确。 2．(多选)如图所示，匀强磁场的方向竖直向下，磁场中有光滑的水平桌面，在桌面上平放着内壁光滑、底部有带电小球的试管，在水平拉力F的作用下，试管向右匀速运动，带电小球能从管口处飞出，则(　　) A．小球带负电 B．小球运动的轨迹是一条抛物线 C．洛伦兹力对小球做正功 D．维持试管匀速运动的拉力F应逐渐增大 [答案]　BD [解析]　小球能从管口处飞出，说明小球受到指向管口的洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电，故A错误；由题知试管向右匀速运动，则小球在水平向右方向上做匀速运动，设试管运动速度为v1，小球沿试管方向受到的洛伦兹力F1＝qv1B，q、v1、B均不变，F1不变，则小球沿试管方向做匀加速直线运动，与平抛运动类似，小球运动的轨迹是一条抛物线，故B正确；洛伦兹力总是与速度方向垂直，不做功，故C错误；设小球沿试管方向的分速度大小为v2，则小球受到垂直试管向左的洛伦兹力F2＝qv2B，v2增大，则F2增大，而拉力F＝F2，则F逐渐增大，故D正确。 题组二　带电粒子在匀强磁场中的运动 3.(2025·河南开封高三联考)如图所示，虚线框MNQP内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点垂直于PQ边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则(　　) A．粒子a带负电，粒子b、c带正电 B．若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电荷量最大 [答案]　C [解析]　由左手定则可知a带正电，b、c带负电，由图可知Rb>Ra>Rc，由粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有qvB＝m＝ma，解得R＝，a＝，若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的运动速度最小，加速度最小，故A、B错误；若三个粒子入射的速度相同，则粒子c的比荷最大，粒子c在磁场中的加速度最大，故C正确；若三个粒子入射的动量相同，则粒子c的带电荷量最大，故D错误。 4.(2022·北京卷)正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是(　　) A．磁场方向垂直于纸面向里 B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大 C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大 D．轨迹3对应的粒子是正电子 [答案]　A [解析]　根据题图可知，轨迹1和3对应的粒子转动方向一致，则轨迹1和3对应的粒子为电子，轨迹2对应的粒子为正电子，电子带负电荷且顺时针转动，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，A正确，D错误；粒子在云室中运动，洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速度越来越小，B错误；带电粒子若仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知qvB＝m，解得粒子运动的半径为r＝，根据题图可知轨迹3对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物质的阻力的情况下，此结论也成立，C错误。 5.(多选)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从图中A点以水平速度v0垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成60°角，当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了120°角，下列说法正确的是(　　) A．该粒子带正电 B．该粒子带负电 C．该粒子在磁场中运动的半径为r＝R D．该粒子在磁场中运动的时间为t＝ [答案]　ACD [解析]　根据带电粒子的偏转方向，由左手定则可知，该粒子带正电，A正确，B错误；粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系，粒子做圆周运动的半径为r＝＝R，C正确；粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中的运动时间为t＝＝，D正确。 6.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B．kBl，kBl C.kBl，kBl D．kBl，kBl [答案]　B [解析]　若电子从a点射出，运动轨迹如图线①所示，有qvaB＝m，Ra＝，解得va＝＝，若电子从d点射出，运动轨迹如图线②所示，有qvdB＝m，R＝2＋l2，解得vd＝＝，选项B正确。 7.(多选)(2025·吉林长春市外国语学校期中)如图，虚线上方空间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向发射，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是(　　) A．质子在磁场中运动的半径为l B．α粒子在磁场中运动的半径为l C．质子在磁场中运动的时间为 D．质子和α粒子发射的时间间隔为 [答案]　ACD [解析]　根据题意作出α粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识可知，α粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝l，因为粒子做圆周运动的半径r＝，质子与α粒子的比荷之比为2∶1，所以两者在磁场中运动半径之比为1∶2，质子运动半径为l，故A正确，B错误；α粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，转过的圆心角θ1＝300°，则α粒子在磁场中的运动时间t1＝T＝，质子从O点射入，P点射出，运动半径为l，可知质子从O点射入的速度方向必与OP边界垂直，转过的圆心角θ2＝180°，故t2＝T′＝，所以质子和α粒子发射的时间间隔为t1－t2＝，故C、D正确。 8.(多选)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从a点沿着ad方向垂直射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度可能为(　　) A. B． C. D． [答案]　BC [解析]　粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，当粒子从c点飞出时，半径为r1＝ac＝l，粒子从b点飞出时，半径为r2＝l，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，则有l≤≤l，解得为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度范围为≤v≤，故B、C正确。 9.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为(　　) A.∶2 B．∶1 C.∶1 D．3∶ [答案]　C [解析]　设速率为v1的粒子最远出射点为M，速率为v2的粒子最远出射点为N，如图所示，则由几何知识得r1＝＝，r2＝＝R，＝，由qvB＝得r＝，故＝＝，选项C正确。 题组三　带电粒子在磁场中运动的多解问题 10.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里 C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外 [答案]　BD [解析]　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。 11．(2024·四川内江市第六中学模拟)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系可知，质子运动半径为r＝(n＝1,2,3…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立解得v＝＝(n＝1,2,3…)，可知质子的速度不可能为，C满足题意要求，A、B、D不满足题意要求。 能力提升练 12．(多选)如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ＝53°角垂直磁场射入，从磁场右边界上点P(7d，d)离开。已知粒子的质量为m，带电荷量为q，重力不计，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。下列说法正确的是(　　) A．该带电粒子带正电 B．粒子的发射速度大小为 C．粒子从P点射出时的速度方向与x轴正方向的夹角为37° D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为 [答案]　BC [解析]　根据粒子轨迹的方向结合左手定则知，带电粒子带负电，A项错误；根据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，作入射速度的垂线，连接OP作中垂线，两线相交于A点，A点即为轨迹的圆心，设OP与x轴夹角为α，由几何关系有sin α＝，cos α＝，OP＝＝5d，r＝，所以得到cos(37°＋α)＝cos 37°cos α－sin 37°sin α＝，r＝5d，由牛顿第二定律得qvB＝，得v＝，B项正确；根据以上分析知37°＋α＝45°，故α＝8°，设粒子射出磁场的速度与x轴正向夹角为β，速度的偏转角与粒子运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可知出射速度方向与x轴的夹角为37°，C项正确；由于2r＝10d>7d，T＝＝故粒子在磁场中不能完成半个圆周运动，运动时间不能达到T＝，若改变粒子的入射方向，在磁场中运动时间最长的粒子的入射速度方向是沿着y轴正方向进入磁场的粒子，此时粒子在磁场中运动的时间t<T，D项错误。故选BC。 13．(多选)(2025·福州联考)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，现有比荷大小相等的甲、乙两粒子，甲以速度v1从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过t1时间射出磁场，射出磁场时的速度方向与初速度方向间的夹角为60°；乙以速度v2从距离直径AOB为的C点平行于直径AOB方向射入磁场，经过t2时间射出磁场，其轨迹恰好通过磁场的圆心，不计粒子受到的重力，则(　　) A．两个粒子带异种电荷 B．t1＝t2 C．v1∶v2＝∶1 D．两粒子在磁场中轨迹长度之比l1∶l2＝∶1 [答案]　AC [解析]　甲粒子，向上偏转，根据左手定则可知甲粒子带正电，乙粒子向下偏转，根据左手定则可知乙粒子带负电，A项正确；粒子在磁场中运动的周期：T＝＝，两粒子比荷相同，故粒子在磁场中运动的周期相同，根据几何关系可知甲、乙两粒子在磁场中的圆心角分别为60°，120°，甲运动的时间t1＝T＝T，乙运动的时间t2＝T＝T，即t1＝t2，B项错误；设磁场区域圆的半径为R，甲粒子做圆周运动的半径为R，乙粒子做圆周运动的半径为R，根据圆周运动的半径公式R＝，知R与v成正比，即v1∶v2＝∶1，C项正确；甲粒子在磁场中的轨迹长度l1＝×2π×R＝，乙粒子轨迹长度l2＝×2πR＝，所以两粒子在磁场中的轨迹长度之比为l1∶l2＝∶2，D项错误。故选AC。 14.(2025·河北调研)如图所示，由光滑弹性绝缘壁构成的等边三角形ABC容器的边长为a，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，小孔O是竖直边AB的中点，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从小孔O以速度v水平射入磁场，粒子与器壁多次垂直碰撞后(碰撞时无能量和电荷量损失)仍能从O孔水平射出，已知粒子在磁场中运动的半径小于，则磁场的磁感应强度的最小值Bmin及对应粒子在磁场中运动的时间t分别为(　　) A.、 B．、 C.、 D．、 [答案]　C [解析]　粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则qvB＝m，解得r＝，因粒子从O孔水平射入后，最终又要水平射出，运动轨迹如图所示，则有(2n＋1)r＝(n＝1,2,3，…)，解得B＝，当n＝1时B取最小值，即Bmin＝，此时对应粒子的运动时间t＝3＝，而T＝＝，解得t＝，A、B、D三项错误，C项正确。故选C。 15.如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里。有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)磁场区域的圆心O1的坐标； (3)电子在磁场中运动的时间。 [答案]　(1)　(2)　(3) [解析]　(1)由题意可知电子在有界圆形磁场区域受洛伦兹力而做圆周运动，设圆周运动轨迹半径为r，磁场的磁感应强度为B，则有ev0B＝m 如图所示，过A、B点分别作速度方向的垂线交于C点，则C点为轨迹圆的圆心，已知B点速度方向与x轴正方向之间的夹角为60°， 由几何关系得，轨迹圆的圆心角∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝r， 已知OA＝L，得OC＝r－L 由几何知识得r＝2L 联立解得B＝。 (2)由于ABO在有界圆周上，∠AOB＝90°，得AB为有界磁场圆的直径，故AB的中点为磁场区域的圆心O1， O1的坐标为； (3)电子做匀速圆周运动，则圆周运动的周期为T＝＝，电子在磁场中运动的时间t＝T＝＝。 学科网（北京）股份有限公司 $