精品解析：山东济南实验初级中学等学校2025-2026学年八年级下学期数学学科期中素养展示卷

八年级下学期数学学科期中素养展示卷（2026.4） 一、选择题（每小题4分，共10道题，共40分） 1. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 2. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ，， 点的坐标为． 故选：B． 3. 下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，即可得到答案． 【详解】解：A.没有把一个多项式转化为几个整式的积的形式，故A错误，不符合题意； B.是整式的乘法，故B错误，不符合题意； C.是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C正确，符合题意； D. 是整式的乘法，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是解题的关键． 4. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x-2≠0， ∴x≠2 故选B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 5. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选；D． 6. 如图，D、E分别是的边、的中点，连接BE、DE．若，，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定等知识，根据三角形的中位线定理得出，，根据平行线的性质并结合已知可得，然后根据等角对等边求解即可． 【详解】解∶∵D、E分别是的边、的中点， ， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，平行四边形的周长为40，的周长比的周长多4，则长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由周长可得，，，然后计算求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， 由题意知，平行四边形的周长为， 的周长为，的周长为， ∴，整理得，， 得，， 解得，． 8. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是 A. 3 B. 2 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【详解】解：若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根． 把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2． 故选：B． 【点睛】分式方程，本题难度较低，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，增根使分式分母为零． 9. 如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则▱ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，BE为∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质可得，AB=CD，ADBC，进而可得∠AEB=∠CBE=∠ABE，则AB=AE=CD=3，AD=5，由勾股定理得CE的长，则可求得▱ABCD的面积． 【详解】解：由题意可得，BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABE=∠CBE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，ADBC， ∴∠AEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=CD=3， ∵CE⊥AD，DE=2， ∴CE=， ∵AD=AE+DE=5， ∴▱ABCD的面积为AD•CE=5． 故选：A． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质和平行四边形的性质是解答本题的关键． 10. 如图，正三角形的边长为，点是边上的动点（不与端点、重合），在上方作正三角形．当点由点向点运动过程中． ①若，则； ②的度数随着点的运动而逐渐变小； ③若点为的中点，则的最小值为； ④面积的最大值为． 其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过作，垂足为，证明，可判断①，证明，可判断②；求解，当点与点重合时，最小，其最小值为的长度，可判断③；设，则，，再利用二次函数的性质可判断④． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过作，垂足为， ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ， ​∴， ∴， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在点从点向点的运动过程中，的度数随着运动而逐渐变小， ∴的度数随着运动而逐渐变小，故②正确； ∵等边三角形的边长为， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，最小，其最小值为的长度， ∴的最小值为，故③正确； 设，则，， ∵等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的底边上的高为， ∴ ， ∵， ∴当时，​取得最大值，其最大值为，故④错误； 综上，正确的是①②③． 二、填空题（每小题4分，共5道题，共20分） 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 当______时，分式的值等于零． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子为零且分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得， ∴当时，分式的值为零． 13. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到的位置， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是___． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，考虑分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意列出关于 的不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：关于的分式方程的解为：， 方程有可能产生增根和m， ，且， ， 关于的分式方程的解为负数， ， ， 综上，若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为：且． 故答案为：且． 15. 如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M．求解，证明，点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 如图， 此时，， ∴设上的高为， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共10小题，共440分） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的解法，两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，进而求解即可． 【详解】解：， 两边同时乘以最简公分母，得 ， 解得． 经检验，是原方程的根． 18. 先化简，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，2． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式= = = = ， ∵x≠±1且x≠2， ∴x=3， 则原式==2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 20. 如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各定理是解题的关键： （1）证明，推出，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，在中，由勾股定理得，由此得到． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为． 21. 某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． （1）求、两款机器人的单价分别是多少万元？ （2）如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】（1）款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 （2）购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； 【小问2详解】 解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 22. 【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰的三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法和公式法． （1）利用提公因式法和公式法即可； （2）先用公式整理后，再用非负性求出，最后根据等腰三角形这个条件分情况讨论即可； （3）先去括号，再根据提公因式法即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，； （2） 当为腰时，三边长为3，3，6，不符合三角形三边关系，舍去； 当为腰时，三边长为6，6，3，此时周长为； （3）， ． 23. 形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则______，______． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】（1）2；5 （2）7 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据，结合题意可得答案； （2）原方程变形为，则根据定义可得，再根据计算求解即可； （3）原方程可变形为，可证明方程是“十字分式方程”，则，进而得到，则，根据是整数，得到是整数，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴方程是“十字分式方程”， ∵关于x的方程的两个解是，， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是的整数，即是整数， 又∵k是整数， ∴或， ∴或或或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． （1）请求出直线的解析式； （2）平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； （3）点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）平行四边形， （3）当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 25. 初二某班同学在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动． 【操作探究】（1）如图1，在等腰直角中，，D是边上的一点，将绕着A点逆时针旋转得到，连按，请证明线段之间的数量关系． 【迁移探究】（2）如图2，是等边三角形，P是内一点，，则_________ 【拓展应用】如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使若，，求的面积． 【答案】 （1），证明如下： ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）； （3）10或26 【解析】 【分析】（1）先由三角形内角和定理可得，再由旋转的性质得到，则可证明，据此利用勾股定理可得结论； （2）将绕点C顺时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质可得，，则可证明的等边三角形，得到，再证明，推出，据此可得答案； （3）分点D在下方和点D在上方，两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示，将绕点C顺时针旋转60度得到，连接， 由旋转的性质可得，， ∴的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）如图3所示，当点D在下方时， ∵在中，为直角，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴三点共线， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，当点D在上方时，过点A作交于E， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为10或26． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期数学学科期中素养展示卷（2026.4） 一、选择题（每小题4分，共10道题，共40分） 1. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 或 5. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，D、E分别是的边、的中点，连接BE、DE．若，，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，平行四边形的周长为40，的周长比的周长多4，则长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是 A. 3 B. 2 C. 1 D. －1 9. 如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则▱ABCD的面积为（　　） A. B. C. D. 20 10. 如图，正三角形的边长为，点是边上的动点（不与端点、重合），在上方作正三角形．当点由点向点运动过程中． ①若，则； ②的度数随着点的运动而逐渐变小； ③若点为的中点，则的最小值为； ④面积的最大值为． 其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题（每小题4分，共5道题，共20分） 11. 因式分解：_____ 12. 当______时，分式的值等于零． 13. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的度数是_______． 14. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是___． 15. 如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为__________________． 三、解答题（共10小题，共440分） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 解方程： 18. 先化简，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 20. 如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． （1）求、两款机器人的单价分别是多少万元？ （2）如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 22. 【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰的三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 23. 形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则______，______． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． （1）请求出直线的解析式； （2）平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； （3）点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 初二某班同学在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动． 【操作探究】（1）如图1，在等腰直角中，，D是边上的一点，将绕着A点逆时针旋转得到，连按，请证明线段之间的数量关系． 【迁移探究】（2）如图2，是等边三角形，P是内一点，，则_________ 【拓展应用】如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $