17.2 第3课时 平行四边形性质和判定的综合运用 课件2025-2026学年 华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 17.2 第3课时 平行四边形性质和判定的综合运用 第17章 平行四边形 17.2 第2课时 平行四边形的判定定理3 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，OA=OC=5cm，OB=OD=4cm，利用平行四边形判定定理3，求证：四边形ABCD是平行四边形。 解析：平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC=5cm，OB=OD=4cm，即点O平分AC和BD，满足“对角线互相平分”的判定条件，因此四边形ABCD是平行四边形。 2. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=16cm，BD=12cm，且O是AC、BD的中点，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。 解析：四边形ABCD是平行四边形。理由：平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。∵O是AC、BD的中点，∴OA=OC=AC÷2=8cm，OB=OD=BD÷2=6cm，即对角线AC与BD互相平分，因此四边形ABCD是平行四边形。 3. 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=4x-3，OC=2x+5，OB=3x，OD=x+4，若四边形ABCD是平行四边形，求x的值及OA、OB的长度。 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，根据判定定理3，对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD。可列方程组：\(\begin{cases}4x-3=2x+5 \\ 3x=x+4\end{cases}\)，解得x=4。代入得：OA=OC=4×4-3=13cm，OB=OD=3×4=12cm。答：x=4，OA=13cm，OB=12cm。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，且OB=OD，求证：四边形BEDF是平行四边形。（提示：结合平行四边形判定定理3，利用中点性质解答） 解析：要证明四边形BEDF是平行四边形，可根据判定定理3，证明其对角线互相平分。∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE=½OA，OF=½OC。要使OE=OF，只需证明OA=OC（或结合已知隐含条件推导）。又∵OB=OD，若OE=OF，则四边形BEDF的对角线EF、BD互相平分，因此四边形BEDF是平行四边形。补充推导：若结合图形隐含条件（如AB∥CD），可证△AOB≌△COD，得OA=OC，进而OE=OF，满足判定条件。 注意：解答本课时题目时，需牢记核心判定定理——平行四边形的判定定理3（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；解题时要明确“对角线互相平分”的含义（交点平分两条对角线，即OA=OC、OB=OD），计算时结合方程思想，证明时可搭配中点性质、全等三角形等知识，确保逻辑严谨、步骤清晰。 例 3 如图，在 □ ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH. 求证：AC 与 HF 互相平分. D A C B H F ①要证 AC 和 HF 互相平分. ②想：平行四边形的对角线互相平分. ③通过判定定理 3 ，证明四边形 AFCH 是平行四边形. D A C B H F 证明 如图，分别连结 AH、CF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD (平行四边形的对边平行)， AB = CD (平行四边形的对边相等). 又∵BF = DH， ∴AB－BF = CD－DH，即 AF = CH. ∴四边形 AFCH 是平行四边形 (一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形). ∴AC 与 HF 互相平分 (平行四边形的对角线互相平分). 如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，AF＝CE． （1）求证: △ABE ≌ △CDF； 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD，AD ＝BC，∠B＝∠D． ∵AF ＝ CE， ∴AD－AF ＝ BC－CE，即 DF ＝ BE． 在△ABE 和△CDF 中， ∵AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE ≌ △CDF (SAS)． 如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，AF＝CE． （2）连结 EF．请直接添加一个与线段相关的条件， 使四边形 ABEF 是平行四边形． 解: BE＝CE (答案不唯一)． 例 4 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B D C 证明 在四边形 ABCD 中， ∵∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，∠A =∠C，∠B =∠D， ∴2(∠A +∠B) = 360°，即∠A +∠B = 180°. ∴AD∥ CB. 同理可证 AB // CD . ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形). 1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，若 ∠B ＝ 56°， 则 ∠A =_____，∠C =_____，∠D =_____. 解题依据： ①两直线平行，同旁内角互补； ②平行四边形，对角相等. 124° 124° 56° 2. 如图，在□ABCD中，AE、CF分别平分 ∠BAD和 ∠BCD， 分别交 BD 于点 E、F． （1）若∠BCF ＝ 65°，求 ∠ABC 的度数; 解: ∵CF 平分∠BCD， ∴∠BCD ＝2∠BCF ＝2×65°＝ 130°． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠ABC ＝ 180°－∠BCD ＝180°－130°＝ 50°. （2）连结 CE、AF，求证: 四边形 AECF 是平行四边形． 证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD．∴∠ABE＝∠CDF． ∵AE、CF 分别平分∠BAD 和∠BCD， ∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD． ∴∠BAE＝∠DCF．∴△ABE ≌△CDF (ASA)． ∴∠AEB＝∠CFD，AE ＝ CF． ∵∠AEF ＝180°－ ∠AEB，∠CFE ＝180°－∠CFD， ∴∠AEF ＝∠CFE．∴AE∥CF． ∴四边形 AECF 是平行四边形． 【选自教材第96页 练习 第1题】 如图，在 □ ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，且 AE∥CF. 求证：AE = CF. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，即 AF∥CE . ∵ AE∥CF， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形). ∴AE ＝ CF . A B D C E F 【选自教材第96页 练习 第2题】 2. 如图，在 □ ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、 CD、DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝ CD，AD ＝ BC，∠A ＝∠C，∠B ＝∠D. ∵ E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴ AE ＝BE ＝ AB，CG ＝DG ＝ CD， AH ＝DH ＝ AD， BF ＝ CF ＝ BC. ∴ AE ＝BE ＝CG ＝DG，AH ＝ DH ＝BF ＝CF . ∴ △AEH ≌ △CGF，△BEF ≌ △DGH， ∴ EH ＝ GF，EF ＝ GH， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). F A B C D E G H 返回 1．剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定成立的是(　　) A．AD＝AB B．AD＝BC C．∠DAC＝∠ACD D．AO＝AB B 中考考法 12 返回 2．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是________． 32 中考考法 13 3．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的是________．(填序号) ②③④ 中考考法 14 中考考法 15 返回 ∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE.∴∠FGH＝∠EHG. ∴GF∥EH. ∴四边形EGFH是平行四边形．∴EG＝FH，故②③④正确．∵∠FGH不一定等于90°，∴GF⊥BD不一定正确，故①不正确． 中考考法 16 4．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别交BC于点E，F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为________． 8 中考考法 17 5．如图，等边三角形ABC是一块周长为12 m的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路PD，PE，PF，且满足PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，则三条小路的总长度为________． 4 m 中考考法 18 通过这节课的学习，你能熟练运用平行四边形的性质和判定来解决与平行四边形相关的问题吗？ 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD， AD＝BC.∴∠GBF＝∠HDE.∵E，F分别是AD，BC边的中点，∴BF＝DE.在△GBF和△HDE中， ∴△GBF≌△HDE(SAS)． $