2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题6 二次函数（1）

2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题6 二次函数（1） 一、中考中二次函数图象与性质 1．已知抛物线y=ax2-2ax+a-3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值小于-3 D．当x=2时，y＜0 2． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。 A． B． C． D． 3．已知二次函数 的图象顶点为 M，图象上有一点 P (x1，y1)满足 若Q (x2， y2)是函数图象(PM段)上的一点(不与 P， M重合)，令 则t的范围是(　　) A．t<3 B．t>9 C．0<t<3 D．0<t<9 4．二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x=1.下列四个结论：①3a+b<0；②过点（0，c-a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a>0，关于x的不等式的解集为-1<<1；④若a<0，点P（t，y1），Q（t-1，y2）在该抛物线上，当实数时，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 5．已知抛物线 (b为常数)经过点 A (2， - 3) ， B (x1， t) . （1）求抛物线的函数表达式. （2）当 时，-4≤t≤-3，求k的最大值. （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C (x2，t)；若 求t的取值范围. 6．已知二次函数y=ax2+bx-3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … -1 2 4 m … y … y1 -4 y2 y3 … （1）当y2=-3时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若y1＜y3，求m的取值范围； （2）求证：. 7．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上． （1）求b的值； （2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值． 8． 已知二次函数m为实数. （1）若m=1，求该函数图象的对称轴. （2）当m+2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值. （3）若点且 试比较y1与y2大小. 9．设二次函数 （1）若该函数的对称轴为直线x =2.求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P(8，1-3a)， M(m，y1)和N(n，y2)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有 求m 的取值范围. 10．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线x=t（t>0）. （1）当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上.若m0的取值范围； （3）当t-2≤x≤3t+2时，函数的最大值与最小值的差为16a，求t的值. 二、中考中二次函数与几何变换 11．二次函数 的图象平移后经过点(1，5)，下列平移方式正确的是(　　) A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 12．同一平面直角坐标系中，抛物线 与 关于原点成中心对称，则代数式 的值为　 　. 13．已知关于x的二次函数 （1）当函数图象经过点(2，5)时. ①求该二次函数的表达式. ②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 的图象上，求p的值. （2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)是该函数图象上的两点，且. 求证： 14．已知二次函数（为常数）的图象经过点. （1）求此二次函数的表达式. （2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值. （3）已知点在二次函数的图象上，且，求的取值范围. 15．已知二次函数，回答下列问题： （1）若该函数图象经过点 求该函数图象与轴的交点坐标； 点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值． （2）若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：． 16．已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． （1）求a的值； （2）二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． （3）设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 17．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点. （1）若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度； （2）将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式； （3）将抛物线 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 当0≤x≤4时，抛物线 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围. 18．已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且 AB=10，图象顶点的横坐标为4． （1）求A、B两点的坐标． （2）求方程 的解． （3）若a=1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y=k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当 时，求k的值． 三、中考中二次函数与方程（不等式） 19．已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（　　） A． B． C． D． 20． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且 （1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。 （2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。 （3）若对于 都有 求m的取值范围。 21．已知抛物线 (a，b，c是常数，且a≠0)，a+b+c=2. （1）若抛物线过点(-3，2)，求a，b之间的关系. （2）在(1)的条件下，判断抛物线与直线y=2的交点个数，并说明理由. （3）点 在抛物线上，若a>c-2>0，当 时，求证： 22．已知二次函数y=ax2-2ax+4，其中a≠0。 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x1，y2）两个定点，其中x1<x2，求x1+2x2的值； （3）若a=1，当t-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值。 23．已知二次函数，m为实数． （1）若，求该函数图象的对称轴． （2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． （3）若点，，且，，试比较与大小． 24．已知抛物线（t为常数）. （1）求该抛物线的对称轴. （2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）. ①求t的值. ②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值. 25．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． （1）求二次函数解析式和顶点坐标． （2）坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． （3）在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 26．已知二次函数（k为常数）． （1）用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）当时，该函数有最小值，求k的值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+a-3(a为常数，a≠0)的图象与x轴有两个交点， ∴Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0， 解得a>0 ∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴当x>1时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意； ∵当x=1时，y=ax2-2ax+a-3=a-2a+a-3=-3 ∴二次函数的最小值为-3，所以C选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧， ∴抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴a-3<0， ∴x=2时，y=ax2-2ax+a-3=4a-4a+a-3=a-3<0，所以D选项符合题意. 故选：D. 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，解得a>0，则可对A选项进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，当x>1时，y随x的增大而增大，从而可对B选项进行判断；由于当x=1时，y=-3，即二次函数的最小值为-3，从而可对C选项进行判断；由于抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，则可判断抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以a-3<0，由于x=2时，y=a-3，所以y<0，从而可对D选项进行判断. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， 又∵当时． ∴ ∵， 抛物线与轴的交点位于最高位置， ∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下， 故答案为：A . 【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】由解析式为 可得顶点 M 的坐标为(m，k)。 已将点 P的坐标代入得 ，即 ， 又∵， ∴， 解得： ， ∴点 P 的横坐标为 ∵点 是函数图象上 PM段之间的一点，并且点Q不与点 P、点M重合， ∴即 ， 点 代入函数解析式的 ，即 ， 将 代入可得 ， ∵， ∴，即0<t<9， 故答案选：D. 【分析】将点P的坐标代入解析式得，再根据得到，然后将Q点在PM段得到，在将点Q坐标代入解析式，借助即可得到，即可得到t的取值范围解答即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：二次函数（）的图像与轴交于点， 对称轴为直线． ， ，则， ∵或，故①不符合题意； 对称轴为直线． 顶点坐标为：，即， 过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意； 当，二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线． 抛物线与轴的另一个交点为：； 把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线 （）； 如图， 而的解集为：， 的解集为：， 即关于的不等式的解集为；故③符合题意； 当，实数时，，如图， 点，中点与对称轴的距离较近， ．故④符合题意； 故答案为：B． 【分析】由二次函数轴交点和对称轴可得，即可得到，分为或判断①；根据顶点坐标可得，即可得到过点平行于轴的直线与抛物线交点个数判断②；当可得抛物线与轴的另一个交点为；然后得到平移的解析式，再借助函数图象得到关于的不等式的解集判断③；当，得到点，到对称轴的距离，根据距离远的函数值小判断④解答即可． 5．【答案】（1）解：把A (2， - 3)代入，得4+2b-3=-3，解得b=-2，∴抛物线的函数表达式为 （2）解：∵a=1>0，对称轴为直线 ∴当x=1时， y最小值=-4；而当x=0或2时， y=-3， ∴由图象可得，当 0≤x1≤2时， - 4≤t≤-3，∴k的最大值为2. （3）解：如图， ∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即， ∵， 即， ∴． ∵，且当时，y随x的增大而减小， ∴当时，；时，． ∴t的取值范围是． 【解析】【分析】（1）将 点A的坐标代入解析式求出b的值解答即可. （2）根据二次函数的解析式求出对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的增减性求出最值解答即可. （3）利用二次函数的对称性可得可得，即，代入求出，根据函数的增减性解答即可. 6．【答案】（1）解：①当x=0时，y=-3，当x=4时，y=y2=-3 由二次函数的对称性可知顶点坐标为(2，-4） ②∵二次函数图象的对称轴为直线x=2，且a>0，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∴x=m对应的点比x=-1对应的点距离对称轴远， ∴|m-2|>|-1-2|，即|m-2|>3. ∴m-2>3或2-m>3， 解得m>5或m<-1 ∴m>4， ∴m>5. （2）证明：∵当x=2时，y=-4， ∴4a+2b-3=-4， ∴， ∵a＞0， ∴ 【解析】【分析】(1)①令x=0，求得对应的y值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标； ②根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到x=m对应的点比x=-1对应的点距离对称轴远，列不等式|m-2|>|-1-2|，解不等式即可得解； (2)令x=2，得到，进而表示出a-b，结合a>0即可得证. 7．【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得 -1+b-5=0 解得b=6 （2）解：由(1)知，抛物线表达式为 ∴对称轴为直线 ∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1) ， ∴1<m<5； （3）解：抛物线 ， ∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5) ∴向左平移过程中，与y轴交点最大值 抛物线向左平移n个单位的表达式为 将(0，-8)代入y2中，得 化简得 解得 (舍) 故n的值为. 【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可； (2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可； (3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，. 8．【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为； （3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【解析】【分析】（1）求出时二次函数解析式，根据对称轴公式计算解答即可； （2）求出二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可知，然后得到上函数的增减性，得到最大值和最小值，列方程解答即可； （3）由（2）可得对称轴为直线，且二次函数的开口向上，得到、两点的中点的横坐标为，再分为，或三种情况，根据函数的增减性解答即可． 9．【答案】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， 解得：， ， 该函数的顶点坐标为； （2）解：， 若该函数存在最大值11， 则，整理得， ， 解得：，， 即该函数存在最大值11，此时的值为或； （3）解：点在函数图象上， ， 解得：， ， 函数图象开口向下，对称轴为直线， ，且， 和在函数图象上，且当时，都有， 或． 【解析】【分析】 （1）根据抛物线对称轴求出的值，得到抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标即可； （2）把解析式化为顶点式，即可得到该函数有最大值，利用公式法求出x的值解答即可； （3）将点代入函数解析式求出a的值，即可得到函数图象开口向下，对称轴为直线，然后根据离对称轴远的点的函数值大解答即可． 10．【答案】（1）解：当时，， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴． （2）解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为， ∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时， ， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， ∵， ∴，且， 解得， ∵，，对称轴为， ∴， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当2时， 函数的最大值为， 函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【解析】【分析】（1）当时，求出y的值，可得抛物线与轴交点的坐标；然后根据二次函数的对称性求出对称轴即可； （2）先求出抛物线与y轴的交点坐标和关于对称轴对称的点的坐标，根据二次函数的增减性，分类讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时，当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，两种情况求出t的取值范围，进而可得的取值范围解答即可； （3）根据抛物线的对称轴为直线，可得，由二次函数的图象和性质，得出2时，函数的最大值和最小值，列方程解答即可． 11．【答案】C 【解析】【解答】解：A：平移后解析式为，当时，，不符合题意； B：平移后解析式为，当时，，不符合题意； C：平移后解析式为，当时，，符合题意； D：平移后解析式为，当时，，不符合题意． 故答案为：C. 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”解答即可． 12．【答案】 【解析】【解答】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 故答案为：. 【分析】设为上任一点，根据关于原点成中心对称的点在抛物线上，得，从而求出m和n的值，然后代入计算即可． 13．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）①把代入，求出的值即可； ②根据平移得到平移后的两点坐标，代入①中关系式，解关于p的一元一次方程求出p的值即可； （2）把点M，N的坐标分别代入，利用得出，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值证明即可． 14．【答案】（1）解：把点代入，得：，解得：h=4， . （2）解：平移后抛物线解析式为：， 将代入， ∴（1+n）2+9=0，整理得（1+n）2=9，解得：（舍去）. （3）解：∵点（p，m），（q，m）在二次函数y=-（x+1）2+4的图象上， ∴p+q=-2， ∴2p+2q=-4， ∵-7＜2p+3q＜2， ∴-7＜-4+q＜2， ∴-3＜q＜6， ∵当x=6时，y=-（x+1）2+4=-45， 当x=-1时，y=-（x+1）2+4=4， ∴m的取值范围是-45＜m≤4． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值； （3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q=-2，由-7＜2p+3q＜2，得出-7＜-4+q＜2，即-3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值． 15．【答案】（1）解：把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴与轴的交点坐标为和； ∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得， 代入得：， ∴，； （2）证明：把、代入得： ，， ∴ ， ∵图象与轴的交点和之间的距离为， ∴到和的距离均小于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】 （）首先用待定系数法求出表达式，然后令可得关于x的一元二次方程，解之求出x的值，即为该函数图象与轴的交点的横坐标； 根据点的平移规律“左减右加、上加下减”先表示出平移后的点的坐标，然后代入表达式计算即可求解； （）首先将与点，代入表达式得到，，然后表示出b-a的值，根据函数图象与轴的两个交点到点的距离均小于可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解． （1）解：把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴与轴的交点坐标为和； ∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得， 代入得：， ∴，； （2）证明：把、代入得： ，， ∴ ， ∵图象与轴的交点和之间的距离为， ∴到和的距离均小于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．【答案】（1）解：∵二次函数，， ∴顶点坐标为，， ∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数分别为，， ∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到； （3）解：将代入，得， ∵，， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）将两个二次函数化为顶点式，从而求得顶点坐标，进而根据两个顶点的横坐标的关系列出关于的方程，解方程即可求解； （2）结合（1）的结论，由两个二次函数的解析式以及二次函数平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量进行求解； （3）把点坐标代入函数解析式中得到的值，把点坐标，代入函数解析式中得到的值，整理且进行因式分解得到，于是求出的值，即可出得出结果． （1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，二次函数分别为，， ∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．【答案】（1）解：由题意可知， （2）解：如图， ∵AA"平行于二四象限角平分线， 当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位， 当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位， 综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5 （3）解： 设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位， 得 ∴对称轴为直线x=2+a，平移距离 当 时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大， 此时 由题意， 解得 【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可； (2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解； (3)得到平移后的抛物线的解析式为 则平移距离为 再据此求解即可. 18．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4． ∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称， ∵，在的左侧， ∴两点到的距离为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程化简为：， ∴， 解得：； （3）解： ， 翻折后， 如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为， ，对称轴为直线， 设，则， 分别代入对应解析式，得：， ， 即， 解得：， ． 【解析】【分析】（1）得到二次函数对称轴为直线，利用，求出A，B两点的坐标即可； （2）利用待定系数法求出，然后代入方程，根据分解因式法解方程即可； （3）先求出抛物线解析式，然后根据翻折得到，画出图形，设，即可得到，然后代入函数解析式，根据，求出m2的值解答即可． 19．【答案】C 【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，② 而m>0，故，由韦达定理知，即 ②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即 综上所述： 故答案为：C. 【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围. 20．【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0， 解得 m=1或m=-3(舍)， ∴， 令y=0，则， 解得x=-1或x=3， 该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0) （2）解：由可知：对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， 解得：或（舍）， 所以； （3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大， ∵， ∴，在直线左侧， 若对于，都有， 则， 因为，， 所以， 解得：． 【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标； （2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可； （3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可． 21．【答案】（1）解：依题意得 两式相减，得b=2a. （2）解：两个.理由如下： 由(1)知，b=2a，c=2-3a，∴y=ax2+2ax+2-3a. 联立y=2，得 解得 ∴抛物线与直线 y=2有两个交点. （3）解：∵a>c-2>0，a+b+c=2， ∴a>-a-b+2-2， 即2a>-b， ∵a>0， 即 ∴点 M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线对称轴的右侧. ∵a>0， ∴在抛物线的右侧，二次函数 y 随x的增大而增大， ∴当 时，y1>y2. 【解析】【分析】（1）把点(-3，2)代入，然后两式相减解答即可； （2）把b=2a，c=2-3a代入解析式，令y=2，即可得到然后解方程求出x的值解答即可； （3）根据题意得到2a>-b，即可得到对称轴根据二次函数的增减性证明即可. 22．【答案】（1）解： 二次函数y=ax2-2ax+4 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a， ∴对称轴直线为：； （2）解：令a分别等于，得：；， 联立两式子得：， 化简得：， ∵x1，的值与a无关 ，， ； （3）解：当 时，抛物线的解析式为，对称轴为直线x=1 ∴当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小； 分类讨论： ①当 时， 当x=t-1时，函数取最大值为， 当x=t时，函数取最小值为； 根据题意得：， 即 ， 解得 ； ②当t-1≥1时，即 时，当x=t-1时，函数取最小值为， 当x=t时，函数取最大值为； 根据题意得：， 即 ， 解得 ； ③当时，函数最大值为，最小值为； 根据题意得： ， 即 ， 解得 （舍去），（舍去）， ④当 时，函数最小值为，最大值为 ； 根据题意得： ， 即 ， 解得 （舍去），（舍去）， 综上所述 或 . 【解析】【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为：，据此求解即可； （2）令a分别等于a1、a2，代入抛物线后联立两式可得，由题意可得x1，x2的值与a无关，据此可得x(x-2)=0，求解得出x1与x2的值，再代入待求式子即可可得答案； （3）将a=1代入抛物线的解析式并配成顶点式可得y=(x-1)2+3，可得抛物线开口向上，对称轴直线为x=1，故当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；然后分类讨论：①当t≤1时，②当t≥2时，③当1＜t≤时，④当＜t＜2时，四种情况分别根据函数的增减性表示出最大及最小值，结合 该二次函数的最大值与最小值的差为2建立方程，求解并检验可得答案. 23．【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线 （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为 （3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时， 【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。 （1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。 （2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。 （3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。 （1）解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为； （3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 24．【答案】（1）因为（t为常数） 所以对称轴为：直线x=2. （2）①把（0，-16）代入得， 解得：t=2或8. ②由①得：t=2或8， 顶点为（2，-18）， 当t=2时，-3≤m≤2≤n， 因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n， 所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方， 因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6， 所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5； 当t=8时，3≤m≤8≤n， 因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n， 所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方， 因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6， 所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴， 所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24. 综上所述，d=4.5或24. 【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴解答； （2）①直接将代入抛物线解析式，得到关于t的方程解答即可； ②分和8两种情况，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，然后根据n-m的 的最大值为6列方程求出d的值解答即可． 25．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象与轴交于两点， ∴将点A和点B的坐标代入可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为（1，-4）. （2）解：∵ 点P满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上， ∴点P在对称轴上， 设P（1，m-4）， ∴点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4）， ∴， 解得：m=0（舍去）或m=1， 即平移的距离m=1. （3）解：点D的坐标为或. 【解析】【解答】解：点D的坐标为或.理由如下： ∵当x=0时，y=-3， ∴点C的坐标为（0，-3）， 当点D在点C左侧时，二次函数的最小值为-3， ∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴点D的纵坐标为4， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为； 当点D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为-4， ∵ 在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴点D的纵坐标为5， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）， ∴点D的坐标为（4，5）， 当点D在点C右侧且在对称轴左侧时，二次函数的最大值为-3，不符合题意，舍去， 综上所述：点D的坐标为或. 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入计算求解即可； （2）先求出点P在对称轴上，再求出点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），最后解方程计算求解即可； （3）先求出点C的坐标为（0，-3），再分类讨论，计算求解即可. 26．【答案】（1）解： . （2）解：， 当时，y随x的增大而减小 ， . （3）解：当k<0时， 当时，该函数有最小值， 当x=0时，y=k=-1； 当时， 当时，该函数有最小值， 当x=k时，，解得(舍去)； 当k>3时， 当时，该函数有最小值， 当x=3时，，解得(舍去)， 综上所述，k=或. 【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标. (2)由二次函数的性质可得当时，y随x的增大而减小 ，故. (3)利用二次函数的性质对k的取值范围进行分类讨论，当k<0时，当x=0时，y有最小值，解得k=-1；当时，当x=k时，y有最小值，解得(舍去)；当k>3时，当x=3时，y有最小值，解得(舍去)，综上所述，k=或. 学科网（北京）股份有限公司 $