精品解析：重庆市第二外国语学校2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学试题

重庆市第二外国语学校2025—2026学年春季学期半期考试 高二年级数学试题 （全卷共19题满分：150分考试时间：120分钟） 一､本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式判断. 【详解】，，，， 只有C正确. 2. 计算的值为（ ） A. 17 B. 20 C. 26 D. 29 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 在上单调递减 D. 有极大值，没有极小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极大值点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABC错误，D正确. 4. 在的展开式中，的系数为12，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出通项公式，即可求出a. 【详解】的展开式的通项为， ∵的系数为12， ∴当6-2r=4时，解得r=1， 有，即-6a=12，解得：a=-2. 故选：B 【点睛】方法点睛：二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 5. 在南山上有三个奶茶店：店､店､店.根据平台数据，顾客选择店的概率分别为､.已知各店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店店店.若小明随机选择一个奶茶店下单，他等待超过分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】设事件为“小明选择店”，事件为“小明选择店”， 事件为“小明选择店”，事件为“小明等待超过分钟”， 则根据题意，有， ， 则， 代入数据得，故C正确. 6. 若函数在是单调减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由在上恒成立，再转化为求相应函数的最小值即得. 【详解】由已知在上恒成立， 即在上恒成立， 时，，，当时取等号， 所以. 7. 重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（ ） A. 96种 B. 144种 C. 240种 D. 384种 【答案】C 【解析】 【分析】分类计算，按分组：从中选2人捆绑在一起，也捆绑在一起，6人变成四个元素全排列得；按分组：从中选1人与捆绑在一起，6人变成四个元素全排列. 【详解】,必须安排在同一个班级，则还要从中选2人到同一班级，这样方法数为. 若去的班级有3人，则方法数为， 所以总方法数为. 8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分离同构，得到，设,则上式表明,利用导数研究函数单调性，并结合由已知条件得到的和的取值范围，得到,进而，然后将表示为的函数，利用导数求其最小值. 【详解】∵，∴，∴，即， 设,则上式表明, 求导得，当时，,单调递减， 由于，∴，∴， ∴,∴，∴,令, ,当时，单调递减；当时，单调递增， ∴, 故选：D. 【点睛】本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 重庆市第二外国语学校准备在5月开展科技文化节，高二年级现在从5名男生，4名女生中选出4人参加比赛，则下列说法正确的是（ ） A. 如果任意选择4人，有120种选法 B. 如果4人中男女各占两人，有60种选法 C. 如果男生中的甲，女生中的乙都必须参加，有21种选法 D. 如果男生中的甲，女生中的乙至少一人参加，有91种选法 【答案】BCD 【解析】 【分析】按照各选项的要求确定如何选人，然后利用组合思想计算方法数. 【详解】对A，9人中任选4人，方法数为，A错； 对B，4人中男女各占两人，方法数为，B正确； 对C，男生中的甲，女生中的乙都必须参加，方法数是，C正确； 对D，男生中的甲，女生中的乙至少一人参加，用任选4人的方法数减去两人都不参加的方法数，为：，D正确. 10. 重庆市第二外国语学校开展“科技文化节”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生.现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，表示事件“从乙组抽取1名女生”，则（ ） A. ，不是对立事件 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件的定义判断A，然后分析分别发生的情况下，乙组中男女生的人数，从而求出各概率判断BCD. 【详解】对A，从甲组随机抽取1人抽取的不是男生就是女生，二者不可能同时发生，，是对立事件，A错； 对B，由题意，，所以，B正确； 对C，发生的条件下，乙组中有5名男生，4名女生，则，C正确； 对D，发生的条件下，乙组中有4名男生，5名女生，则，D错； 11. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ） A. a的取值范围为 B. C. 若，则 D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】由有三个零点，得函数至少有两个极值点.因为，所以有两个不相等的实数根.根据，可得a的取值范围，判断A；通过判断的零点与方程的根的关系，判断B；化简，可得关系，判断C；分别求出函数在三个零点处的切线斜率，从而求得其倒数之和，判断D. 【详解】对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点. 因为，所以有两个不相等的实数根. 所以，解得，所以A正确. 对于B，的两个不相等的实数根为. 由，且关于对称. ∴，与的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B错误. 对于C， ，所以，所以，所以C正确. 对于D，由题得，其简图如下： ， 所以， 同理， 故 ．所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望E=8.9，则y的值为 . 【答案】0.4 【解析】 【详解】由已知得 解得 13. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，小王不超过2次就按对的概率为__________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】不超过2次就按对，包含第一次就按对和第一次按错第二次按对，分别求出概率后相加. 【详解】密码的最后1位是偶数，即为五个中的一个， 不超过2次就按对，包含第一次就按对，概率为，第一次按错，第二次按对，概率为， 所以“不超过2次就按对”的概率是. 14. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】已知函数，求导得， 令，解得或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此，函数在处取得极大值， 为了使在区间上有最大值，需要同时满足以下两个条件： ①极大值点在区间内，即，解得； ②区间端点处的函数值小于等于极大值，即且，由函数的单调性可知，当时，恒成立， ，解得； 综上所述，的取值范围是. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程； （2）求导，确定单调性后即可求解最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，得或. 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1）1024 （2）180 【解析】 【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和； （2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案. 【小问1详解】 前三项的二项式系数和为， 解得或-11（舍去）， 中，展开式中所有二项式系数的和为； 【小问2详解】 的展开式通项公式为， 令得，故. 17. 已知，函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，若对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）当时， 在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用导数，通过讨论求得函数的单调区间； （2）先分离参数得到对任意，恒成立，再利用导数求函数的最小值即可得解. 试题解析： 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，得，在单调递减， 由，得，在单调递增， 综上，当时， 在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为，则，， 因此，对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 令，，则， 令，得， 则当时，，在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，即， 故实数b的最大值是. 18. 亮亮玩一个游戏：一开始他准备了2个罐子，每个罐子里都放着红､黄､蓝三种颜色的球各一个.然后他在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机抽出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. （1）求经过1轮交换后罐子里红球个数的分布列； （2）经过轮交换后（）： ①求两个罐子里仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有2个黄球1个蓝球的概率. 【答案】（1） 0 1 2 （2）①；②.【解析】 【分析】（1）经过一轮交换，罐子中可能红球与非红球交换，也可能红红交换，还可能是非红球与红球交换，由此可得的可能值，计算出概率后得分布列. （2）①经过轮交换后,两个罐子仍然是红,黄,蓝三种颜色的球各一个的概率为,构造与之间的递推关系进行求解; ②利用A罐子里有2个黄球1个蓝球的概率与的关系求解. 【小问1详解】 每个罐子里都放着红､黄､蓝三种颜色的球各一个，因此每次随机抽取一个的概率都是， 经过1轮交换后罐子里红球个数的取值分别为， ，，， 的分布列如下： 0 1 2 【小问2详解】 ①设经过轮交换后两个罐子里仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个的概率为，初始状态时，两个罐子都是红､黄､蓝各一个，所以， 考虑到第轮状态是由第轮的状态经过一次交换得到的， 如果第轮时，两个罐子里红､黄､蓝三种颜色的球各一个（概率为）： 经过一轮交换仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个，只能是同色球交换，概率为； 如果第轮时，两个罐子里不是红､黄､蓝三种颜色的球各一个（概率为）： 此时两个罐子里球的颜色分布必定是不均匀的（例如罐子有两个同色球）， 由于总共有2红、2黄、2蓝共6个球，两个罐子里必定是类似红、红、黄、红、黄、黄、红、蓝、蓝等组合，在这种状态下经过一轮交换，要变回红､黄､蓝和红､黄､蓝的状态，必须恰好把多出来的一个换走，并把缺少的球换进来，例如若红､红､黄，黄､蓝､蓝，则要从中抽红球（概率是），从中抽蓝球（概率是），因此交换结束概率为， 由于对称性，无论具体是哪种非均匀分布，经过一轮交换，要变回红､黄､蓝和红､黄､蓝的状态的概率都是， 综上，，即， 所以，所以是等比数列， 又，公比，所以， 所以； ②在所有可能的状态中，除了两个罐子都是红､黄､蓝的状态（概率是）之外，剩下的状态（概率为）都是非均匀分布，由于红､黄､蓝三种颜色是完全对称的，且罐子和罐子也是对称的，所有非均匀状态出现的概率是相等的， 在所有非均匀状态中,罐子的构成可能是：2红1黄、2红1蓝、2黄1红、2黄1蓝、2蓝1红、2蓝1黄共6种可能情况， 因此罐子里有2个黄球1个蓝球的概率是剩余概率的， 即. 19. 已知函数. （1）当时，记函数的导数为，求的值； （2）当时，证明：； （3）当时，令的图象在处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值. （注：是自然对数的底数） 【答案】（1）； （2） ，，， 令，则， 当时，，递减，当时，，递增， 所以时，，即，即， 时，，所以， 所以在上单调递增， 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导后代入计算； （2）利用导数求得的最小值，由最小值大于得证； （3）由得出的关系式，计算，并令，转化为关于的函数，再利用导数求得最小值. 【小问1详解】 ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， ， 所以时，，时，， 所以在上递增，在，上递减， 由题意，得， 所以， ， 由得，记， ， ，所以时，，递减，时，，递增， ， ， 设，则， 时，，递增， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第二外国语学校2025—2026学年春季学期半期考试 高二年级数学试题 （全卷共19题满分：150分考试时间：120分钟） 一､本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值为（ ） A. 17 B. 20 C. 26 D. 29 3. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 在上单调递减 D. 有极大值，没有极小值 4. 在的展开式中，的系数为12，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 在南山上有三个奶茶店：店､店､店.根据平台数据，顾客选择店的概率分别为､.已知各店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店店店.若小明随机选择一个奶茶店下单，他等待超过分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在是单调减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（ ） A. 96种 B. 144种 C. 240种 D. 384种 8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 重庆市第二外国语学校准备在5月开展科技文化节，高二年级现在从5名男生，4名女生中选出4人参加比赛，则下列说法正确的是（ ） A. 如果任意选择4人，有120种选法 B. 如果4人中男女各占两人，有60种选法 C. 如果男生中的甲，女生中的乙都必须参加，有21种选法 D. 如果男生中的甲，女生中的乙至少一人参加，有91种选法 10. 重庆市第二外国语学校开展“科技文化节”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生.现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，表示事件“从乙组抽取1名女生”，则（ ） A. ，不是对立事件 B. C. D. 11. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ） A. a的取值范围为 B. C. 若，则 D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望E=8.9，则y的值为 . 13. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，小王不超过2次就按对的概率为__________. 14. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项. 17. 已知，函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，若对任意，恒成立，求实数的最大值． 18. 亮亮玩一个游戏：一开始他准备了2个罐子，每个罐子里都放着红､黄､蓝三种颜色的球各一个.然后他在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机抽出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. （1）求经过1轮交换后罐子里红球个数的分布列； （2）经过轮交换后（）： ①求两个罐子里仍然是红､黄､蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有2个黄球1个蓝球的概率. 19. 已知函数. （1）当时，记函数的导数为，求的值； （2）当时，证明：； （3）当时，令的图象在处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值. （注：是自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $