精品解析：天津市第四十五中学2025-2026学年第二学期高一数学练习一

2025~2026学年第二学期高一数学练习一 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内． 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为i B. 的共轭复数为 C. 对应的点在第二象限 D. 3. 若向量，，则与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 5. 如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 12 6. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交 D. 若，，，则 7. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，若M、N分别是边上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（　　） A. [﹣3，﹣1] B. [﹣3，1] C. [﹣1，1] D. [1，3] 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上. 9. 已知复数z（i是虚数单位），则z的虚部是　 . 10. 已知向量，则向量在向量方向上的投影的坐标为______． 11. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 12. 已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为_____________． 13. 如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　． 14. 已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________． 三、解答题：本大题共5小题，满分44分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程 15. 已知，复数，i是虚数单位． （1）若复数z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，求m的取值范围． 16. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 17. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知圆锥部分的高为2.5米，圆柱部分的高为10米，底面圆的半径为5米． （1）求该粮仓体积； （2）已知修建该粮仓的顶部每平米需要200元，侧面每平米150元，求修建该粮仓的费用． 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且. （1）求的值； （2）若，的面积为，求的值. 19. 设的内角所对边分别为，且． （1）若，的面积为，求的周长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高一数学练习一 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内． 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法运算求解 【详解】 故选：D. 2. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为i B. 的共轭复数为 C. 对应的点在第二象限 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数z进行整理化简得到，再选出正确的选项即可. 【详解】∵复数满足，∴，化为：. ∴的虚部为1，，对应的点在第二象限，. 故选：C. 【点睛】这个题目考查了复数问题，复数由实部加上虚部和i构成；复数 的共轭复数为；复数的几何意义之一就是和点一一对应；复数的模长等于. 3. 若向量，，则与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与的坐标，然后根据向量夹角余弦公式即可求夹角. 【详解】因为向量，，所以，， 所以，，， 设与的夹角为，则，又，所以. 故选：C 4. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：，得， 由正弦定理：. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型. 5. 如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则得出边长再计算求解. 【详解】因为，， 所以，， 则的面积是. 故选：D. 6. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行、面面平行关系判断ABD；由反证法结合题意推理判断C. 【详解】对于A，当，时，或相交或者是异面直线，A错误； 对于B，当，时，或，B错误； 对于C，假设均不与l相交，由，得，又， 则，因此，与为异面直线相矛盾，则l与中至少一条相交，C正确； 对于D，若，，，则或，D错误. 故选：C 7. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果. 【详解】由题意得，， 在中，，，则， 在中，， 则， 由正弦定理得，，得， 在中，，则， 所以. 故选：C 8. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，若M、N分别是边上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（　　） A. [﹣3，﹣1] B. [﹣3，1] C. [﹣1，1] D. [1，3] 【答案】A 【解析】 【详解】建立如图所示的以A为原点， AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系， 则B（2，0），A（0，0），D（12，32）． ∵满足则 ， 因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时， ． 本题选择A选项. 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上. 9. 已知复数z（i是虚数单位），则z的虚部是　 . 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求． 【详解】∵z， ∴z的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 10. 已知向量，则向量在向量方向上的投影的坐标为______． 【答案】##(0.8,0.6) 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解. 【详解】由题得， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为， 故答案为: . 11. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 12. 已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 由正方体的对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解． 【详解】设正方体棱长为，则，解得， ∴内切球半径为，表面积为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　． 【答案】 【解析】 【详解】由图及题意得 ， =   ∴ =( )( )= + = = . 14. 已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，且，利用正弦定理可得：．利用余弦定理可得，结合解得．由余弦定理，基本不等式可求出的最大值，进而可求三角形面积的最大值． 【详解】解：由，且，利用正弦定理可得：，即． ∴ ∵． ∴. ∴，即，当且仅当时等号成立， ∴面积，当且仅当时等号成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三角形、正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共5小题，满分44分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程 15. 已知，复数，i是虚数单位． （1）若复数z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解；（2）利用复数的几何意义列不等式组求解. 【详解】解：（1）若复数z为纯虚数，则，解得. （2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，则，解得：. 16. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为与的夹角是 所以， 【小问2详解】 因为， 设和的夹角为， 则. 17. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知圆锥部分的高为2.5米，圆柱部分的高为10米，底面圆的半径为5米． （1）求该粮仓体积； （2）已知修建该粮仓的顶部每平米需要200元，侧面每平米150元，求修建该粮仓的费用． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式、圆锥的体积公式计算可得答案； （2）计算出圆锥的侧面积可得圆锥顶部花费，再计算出圆柱面积可得圆柱花费，从而得到修建该粮仓的费用． 【小问1详解】 由题知该粮仓底面圆的半径，圆柱高，圆锥高． 圆柱的体积． 圆锥的体积． 所以该组合体体积立方米； 【小问2详解】 由题意可知圆锥部分展开为扇形，扇形的弧长，母线长， 所以圆锥的侧面积， 所以圆锥顶部需要花费元； 圆柱部分展开为矩形，面积， 所以圆柱部分需要花费元，所以修建该粮仓的费用为元． 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且. （1）求的值； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再由正弦定理得，然后用两角和的正弦公式和内角关系，化简求解. （2）由（1）知，再结合，求得 ，再由余弦定理求解. 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴， ∵， ∴. （2）由，，得， 又， ∴， 当时，，； 当时，，. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19. 设的内角所对边分别为，且． （1）若，的面积为，求的周长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式、诱导公式得到，根据三角形面积公式求出，结合余弦定理求出，即可得到三角形周长. （2）利用两角差的余弦公式、辅助角公式进行化简，得到，根据锐角三角形求出的范围，进而求值域即可. 【小问1详解】 中，，所以. 由得，， 整理得. 又，所以，则，所以. 由三角形面积公式得，所以. 由余弦定理得， 所以，所以. 故的周长为. 【小问2详解】 . 由（1）得，，因为为锐角三角形，所以， 所以，则， 所以，解得，则. 又在上单调递增，所以. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $