精品解析：安徽合肥市第五中学等六校2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学试卷

2026年春季学期期中考试高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时间时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得瞬时速度， 当时间时，可得， 即当时间时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 2. 某小区有 3 个不同的快递驿站 （驿站 ），现在有 5 件快递需要分发到这 3 个驿 站， 每件快递只能分发到其中一个驿站， 那么不同的分发方法有多少种?（ ） A. 15 B. 125 C. 243 D. 81 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，每个快递有3 个不同的快递驿站， 则不同的分发方法有种． 3. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 4. 已知，且，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列、组合数公式，逐一化简验证各选项等式两边是否相等，判断正误. 【详解】对于选项A,由，，得，故A正确； 对于选项B，由，得，故B正确; 对于选项C,例如则即，故C不正确； 对于选项D，因为， 所以，故D正确。 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 的个位数是9 【答案】C 【解析】 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断D；由并应用二项式定理求对应项系数判断C. 【详解】由题设，令，则，A错误； 令，则， 所以，即，B错误； 由， 展开式通项为，， 当时，，即， C正确. 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，D错误； 7. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，，， 即，即， 故． 故选：C. 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得只有1个整数解，利用导数分析函数的单调性，令，则的图象是一条过定点的直线，画出函数图象，结合图象分析即可求解. 【详解】因为，，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 令，则的图象是一条过定点的直线， 当时，不符合题意； 则，如图，当的图象经过时， 直线的斜率分别为， 不等式只有1个整数解， 由图可知. 故选：. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算逐项分析即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用这6个数字，可以组成个没有重复数字的三位数 B. 将2个个个排成一排，则共有种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲､乙､丙三个班，每班至少一个名额，则共有种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：用这6个数字，可以组成没有重复数字的三位数为： ，故A错误； 选项B：将2个个个排成一排，总排列数为：种，故B正确； 选项C：6个相同元素排成一排，产生5个空隙，插入两个隔板分成3份，对应组合数为： 种，故C正确； 选项D：分两种情况：两男一女和两女一男，共有，故D错误． 11. 已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据关于点对称，可得，将代入即可判断A；根据，利用累加法可判断B；通过证明即可判断C；根据得，可得函数周期为，即可判断D. 【详解】因为关于点对称， 则， 取，则，故A错误； 因为，， 所以，，，， 累加可得， 所以，故B正确； 由得， 两端求导得，即， 所以图象关于直线对称，即为的一条对称轴，故C正确； 由得， 所以函数的周期为， 故，所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】根据题意10次搬盒子任选其中3次搬第一堆的3个盒子，应用组合数求不同的搬法数. 【详解】由题设，共需搬10次，选择其中3次搬走第一堆的3个盒子，故有， 故答案为：120 13. 在微积分中“以直代曲”是最基本､最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为__________，用此结论“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】函数，求导得，在处，斜率为， 曲线在点处的切线方程为：； ，借用“以直代曲”的方法，， 令，则． 14. 若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数后，利用导数研究函数的单调性，作出大致图象，数形结合求解. 【详解】有且仅有两个零点，故有两个解， 设，则直线与函数的图象有两个交点． 由，显然函数在上单调递增， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如图所示， 其中，， 则实数a的取值范围为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 16. 在的展开式中，______．给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项； （3）求展开式中的系数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）选①②③，答案均为 （2） （3）400． 【解析】 【分析】（1）选①，，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； 选②，令，则，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； 选③，易知，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； （2）由（1）知，根据展开式的通项公式求出每一项，比较后得到结论； （3）在（2）基础上，得到含的项和常数项，乘以中相应的项，得到答案. 【小问1详解】 若选①，易知，则， 此时的展开式的通项公式为， 令得，故常数项为． 若选②，令，则，则． 此时的展开式的通项公式为， 令得，故常数项为． 若选③，易知，则． 此时的通项公式为， 令得，故常数项为． 【小问2详解】 由（1）知，则展开式的通项为， 由于，，，， ，， 故展开式中系数最大的项为第3项，． 【小问3详解】 因为，所以问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以1，该项为， 再求展开式中常数项乘以，该项为， 所以展开式中含的项为， 所以其系数为400． 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）当时，证明：. 【答案】（1）当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； （2） 证明：当时，，设， ， 令， 则，即在上单调递增， ， 故，使得，即， 整理得，因为，所以， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故， 即，即，则. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性，得到极值情况； （2）令，求出导函数得到函数单调性，故，证明出结论. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 则， 当时，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； 综上，当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3） 因，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以对，都有成立， 所以，成立． 【解析】 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【小问1详解】 解：若，则， 得或（舍），所以. 所以的零点为； 【小问2详解】 若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 19. 拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 （1）过点作曲线的切线，求切线方程： （2）若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，其中．求的拐点． 【答案】（1）或． （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求，再利用点斜式求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，作函数的大致图象，由时，成立，可得，求函数的对称中心，利用对称性化简可得，结合图象进一步化简，由此可求结论， （3）由条件结合导数运算法则可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． 【小问2详解】 ，当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下， 所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 【小问3详解】 ， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期中考试高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时间时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）. A. B. C. D. 2. 某小区有 3 个不同的快递驿站 （驿站 ），现在有 5 件快递需要分发到这 3 个驿 站， 每件快递只能分发到其中一个驿站， 那么不同的分发方法有多少种?（ ） A. 15 B. 125 C. 243 D. 81 3. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 的个位数是9 7. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用这6个数字，可以组成个没有重复数字的三位数 B. 将2个个个排成一排，则共有种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲､乙､丙三个班，每班至少一个名额，则共有种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 11. 已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答） 13. 在微积分中“以直代曲”是最基本､最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为__________，用此结论“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）． 14. 若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 16. 在的展开式中，______．给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项； （3）求展开式中的系数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）当时，证明：. 18. 已知函数． （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，证明：． 19. 拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 （1）过点作曲线的切线，求切线方程： （2）若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，其中．求的拐点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $