立体几何初步：线面角最值问题、面面角最值问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

立体几何初步：线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 立体几何初步：线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 考点目录 线面角最值问题 面面角最值问题 考点一 线面角最值问题 例1．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 例2．（24-25高一下·福建厦门·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，，记PA与平面所成角为，求的最大值. 例3．（25-26高一下·山东日照·月考）如图，正方形边长为4，E为AB中点，F为边BC上的动点．将沿DE翻折到，沿EF翻折到． (1)求证：平面； (2)若F是边BC上的中点，求点S到平面的距离； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值． 变式1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·月考）如图1，在平面四边形ABCD中，，，，，，将沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面ABD； (2)在三棱锥中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD的中点，设平面CEF与平面ADC的交线为l． ①证明：∥； ②若Q为l上的动点，求直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值． 变式2．（25-26高一下·安徽马鞍山·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 变式3．（25-26高一下·江苏常州·月考）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 考点二 面面角最值问题 例1．（24-25高一下·广东广州·期末）在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.    (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 例2．（25-26高一下·福建三明·月考）如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和， (1)求证：平面平面； (2)判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由； (3)求二面角的正切值的最大值． 例3．（25-26高一下·浙江温州·月考）如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.    (1)当平面⊥平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求二面角的最大值. 变式1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．    (1)若，求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的最大值． 变式2．（25-26高一下·浙江衢州·月考）在矩形中，AB＝4，AD＝2．点分别在上，且AE＝2，CF＝1．沿将四边形翻折至四边形，点平面． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角； (3)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求的最大值． 变式3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知矩形，设是边上的点，且，现将沿着直线翻折至， (1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值； (2)设二面角的大小为，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何初步：线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 立体几何初步：线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 考点目录 线面角最值问题 面面角最值问题 考点一 线面角最值问题 例1．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【答案】(1) (2)点E在线段AD上靠近点D的四等分点处，最大角的正弦值， 【分析】（1）由求距离； （2）设直线与平面所成的角为，则，当时最大. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ， 设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得． 故点D到平面PBC的距离为． （2）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，不在平面内，∴， ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离． 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时． 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的四等分点处． 即点E在线段AD上靠近点D的四等分点处时，直线与平面所成的角最大， 最大角的正弦值是，此时. 例2．（24-25高一下·福建厦门·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，，记PA与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行推导出线面平行，即证明即可. （2）根据垂直关系和勾股定理可知，要使得，则需要证明即可，即证明底面为菱形. （3）因为底面是菱形，设边长为，设点到平面的高为，根据等体积法，得到，从而可将的表达式列出来，根据基本不等式的性质求出最大值即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以. 因为底面为平行四边形，分别为线段的中点， 所以， 所以. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，不在平面内，所以平面. （2）连接交于点，连接，则. 因为平面，平面， 所以. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以. 所以是的中垂线，所以. 在直角中，， 所以，即. （3）因为底面是菱形，设边长为，设点到平面的高为， 因为，所以，所以，所以. 根据勾股定理，而. 所以为等腰三角形，其高为. 所以棱锥的体积为. 又的面积为， 所以棱锥的体积为. 所以根据等体积法，解得. 所以. 根据基本不等式的性质得. 所以，当且仅当， 即时等号成立. 此时取最大值为. 例3．（25-26高一下·山东日照·月考）如图，正方形边长为4，E为AB中点，F为边BC上的动点．将沿DE翻折到，沿EF翻折到． (1)求证：平面； (2)若F是边BC上的中点，求点S到平面的距离； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）的结论，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）设，用表示点到平面的距离，进而表示出，再借助对勾函数的单调性及正弦函数单调性求解即得. 【详解】（1）由正方形，得，而平面平面， 所以平面. （2）在中，， 显然，即，， 由（1）知，平面，于是， 又， 设点S到平面的距离为，由，得，解得， 所以点S到平面的距离为. （3）设在平面上的射影为，连接，则为直线SE与平面所成角为， 设，则，， 在中，， 由余弦定理得，， 则，由， 得， 即，解得，因此， 令，，而对勾函数在上递减， 则当，即时，取得最小值，取得最大值，而， 所以的最大值为. 变式1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·月考）如图1，在平面四边形ABCD中，，，，，，将沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面ABD； (2)在三棱锥中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD的中点，设平面CEF与平面ADC的交线为l． ①证明：∥； ②若Q为l上的动点，求直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解； 【分析】（1）根据勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）①根据题意可证∥平面CEF，结合线面平行的性质分析证明；②过点作平面∥平面，直线CF与平面QGE所成角即为直线CF与平面所成角，利用等体积法求点到平面的距离为，进而求线面夹角的正弦值，结合二次函数分析求解. 【详解】（1）在中，可得， 在中，由余弦定理，即， 因为，则， 可得， 且，平面ABD， 所以平面ABD. （2）①因为点E，F分别为线段AB，BD的中点，则∥，且， 由平面CEF，平面CEF，可得∥平面CEF， 又因为平面ADC，且平面CEF与平面ADC的交线为l， 所以∥； ②因为∥，且平面CEF，平面ADC， 可知，则平面ADC， 规定点为起点，方向为正方向，设， 过点作平面∥平面，如图所示： 可知：直线CF与平面QGE所成角即为直线CF与平面所成角，设为， 则， 可得， 在中，， 且，则， 设点到平面的距离为， 因为，则， 解得， 则， 设，则，可得， 若，则； 若，则， 可知，即时，取到最小值，取到最大值； 综上所述：直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值为. 变式2．（25-26高一下·安徽马鞍山·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）取的中点,通过证明平面以及平面可得面面平行，即可求证； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值。 【详解】（1）连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，    由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面, （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 变式3．（25-26高一下·江苏常州·月考）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可 （2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算， 把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可. ②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题. 【详解】（1）由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得：. （2）①如图，分别取的中点，连接，显然有， 所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，，    因为平面，平面，所以，，，， 因为，，所以平面，又因为平面，所以， 由点处的离散曲率为可得， 所以，，，而，， 所以，故异面直线与的夹角的余弦值为. ②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，设， 在中， 因为，所以，所以， 故， 当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为.    考点二 面面角最值问题 例1．（24-25高一下·广东广州·期末）在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.    (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）由（1）的信息，利用定义法求出线面的正弦值. （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面.    （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为.    例2．（25-26高一下·福建三明·月考）如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和， (1)求证：平面平面； (2)判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由； (3)求二面角的正切值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)是； (3) 【分析】（1）先证，得，推出平面即得； （2）通过取,连接证，求出，由余弦定理求得. （3）作于，作于，证平面，得二面角的平面角，由中，，只需使最大，利用动点的轨迹，分析即得的最大值. 【详解】（1）在菱形中，，， 由余弦定理得，， 即，又由，故， 由翻折性质知，又因为平面 ，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 如图1所示，在上取点，使，连接因， 则有，又，且则有， 因和的两边方向相同，由等角定理得， 由（1）知平面，平面，故可得 ， 在中，由余弦定理可得， ，故. （3） 如图2所示，由（1）得平面平面， 在平面内，过作于， 在平面内，过作，垂足为， 因为平面平面， 平面平面平面，所以平面， 平面. 即为二面角的平面角，， 在菱形中，易得，故，由平面 知，点在以为圆心的圆弧上， 所以当时，取得最大值1， 此时，因为为锐角，的最大值为. 例3．（25-26高一下·浙江温州·月考）如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.    (1)当平面⊥平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求二面角的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在图1中，可得，进而可证面BCD，即是直线与平面所成角，运算求解即可； （2）根据垂直关系分析可得是二面角的平面角，设，可得，结合三角恒等变换可得，进而可得结果. 【详解】（1）在图1中，连接交于点， 则， 可知，可得， 则，， 因为平面平面BCD，平面平面，平面， 所以面BCD. 则是直线与平面所成角，所以.    （2）如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.    由（1）可知：，，，平面， 则平面，且平面，可得. 且，，平面，所以平面. 由平面，可得. 且，，平面，所以平面， 由平面，可得， 所以是二面角的平面角， 设， 由（1）可知：， 在直角三角形中，，则， 因为，则，可得，所以， 在直角三角形中，. 设，则， 即，解得，当时，等号成立， 所以， 又因为，则， 所以二面角的最大值为. 变式1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．    (1)若，求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）先求出平面平面时的二面角的正弦值，再求出翻折到越过平面平面时的位置后的二面角平面角的正弦值的最大值，比较可得答案. 【详解】（1）由题意矩形中，，M是AD的中点， 可知, ， 设O为中点，连接，则，    又，， 故， 又    ，O为中点，故，而， 故，故， 而平面，故平面， 平面，故平面平面； （2）由（1）可知，将沿着BM翻折至平面平面时， 二面角逐渐增大， 当平面平面时，作，垂足为E，连接，    因为O为中点，则E为中点，此时; 由于平面，平面，故， 平面，故平面， 则为二面角的平面角，而, 故； 下面考虑翻折到越过平面平面时的位置后的情况： 设Q为中点，连接，则四边形为正方形， 连接，则O在上，则，    平面，故平面， 平面，故平面平面， 平面平面，作，垂足为F， 则平面，平面，故,， 作，垂足为G，连接， 平面，故平面， 故为二面角的平面角， 设，当时，二面角的正弦值为0； 当时，， 作，垂足为H，则四边形为矩形， 则，故， 故 ， 由于，故，故， 当且仅当，即时等号成立， 即二面角的正切值的最大值为， 此时二面角的正弦值的最大值， 由于，故二面角的正弦值的最大值. 变式2．（25-26高一下·浙江衢州·月考）在矩形中，AB＝4，AD＝2．点分别在上，且AE＝2，CF＝1．沿将四边形翻折至四边形，点平面． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角； (3)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）由得平面，得平面，从而得平面平面，即可证明平面； （2）延长交于点，，可证得，进而得，即，从而，所以平面，则，即得答案； （3）在平面内作于点，作于，作于，可证得，，即为二面角的平面角，结合三角函数即可得解． 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为，所以平面平面， 因为面，所以平面. （2）延长交于点，， 且，则， ，则， 故，而， 故，则，即， 从而，又，平面， 所以平面，而平面，则， 所以异面直线与所成的角为. （3）如图，在平面内作于点，作于，作于， ，则平面， 平面，则， 又，，平面，所以平面， 所以，又因为， 所以平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以为二面角的平面角， 设 当时，点与点重合，由，可得， 当时，因为，所以， 所以，故， 所以， 同理当时，， 所以，故， 所以， 设，则， 所以，其中， 由，解得， 所以的最大值为，此时，又，解得. 所以，当时，取最大值 变式3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知矩形，设是边上的点，且，现将沿着直线翻折至， (1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值； (2)设二面角的大小为，求的最大值. 【答案】(1)为，正切值是 (2) 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质可得面，再结合余弦定理可得，，进而根据线面角的定义求解直线与平面所成角的正切值即可； （2）作，垂足为，作，垂足为，根据线面垂直的判定与性质可得，设，根据三角形中的关系可得，再根据二倍角公式化简求解最值即可 【详解】（1）当为时，可以使面面.证明如下： 取中点，则. 在中， ，此时. 又平面平面 面面 此时面为在面上的射影是与面所成角 在中，， 即直线与平面所成角的正切值是 （2）作，垂足为，且面，则面， 作，垂足为，则，设 则， ， 当且仅当时，取到等号， 故的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $