2026年甘肃省兰州市中考数学押题卷

2026兰州中考数学押题卷 总分120分 用时120min 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．﹣2026的倒数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．2026 2．截至2026年2月末，我国外汇储备规模达34278亿美元．将34278亿用科学记数法表示为（　　） A．3.4278×104 B．3.4278×1012 C．3.4278×1013 D．0.34278×1013 3．计算的结果等于（　　） A． B． C．x+2 D．1 4．如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOC＝130°，∠BOE＝25°，则∠DOE的度数是（　　） A．105° B．100° C．110° D．95° 5．龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（　　） A．60° B．150° C．30° D．120° 6．如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　） A．1m B． C． D． 7．已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜2 D．m＞2 8．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠COB＝40°，则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 10．为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（　　） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B．第1﹣3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C．相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D．每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 11．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点，点C为线段OA上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D，点C从原点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．分解因式：x3﹣2x2＝　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为 　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，线段BE的垂直平分线分别与AB，BC，BE交于点F，G，M．若AB＝5，AD＝6，则BG的长为　 　 ． 15． AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对AI赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为　 　 ．（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢AI赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.75 0.80 0.83 0.80 0.79 0.80 0.81 0.81 0.82 0.80 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：； 17．（5分）解不等式组：． 18．（5分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣2），其中a＝3． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴和x轴分别交于点C和点D，其中B点坐标为（﹣4，﹣1），点M在反比例函数图象上． （1） 点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点M在点A的右侧且横坐标为4，求S△AOM． 20．（7分）2025年8月7日傍晚，甘肃兰州市榆中县等地遭遇连续强降雨，牵动了社会各界的心．为精准掌握山区地形数据，助力灾后隐患排查与防汛监测，某学习小组开展实地测量实践．他们设计了如下方案：如图，已知某座山AB的对面有一座小山CD，CD的顶部有一座通讯塔CE，且点E，C，D在同一条直线上，从B处测得塔底C的仰角（∠CBD）为37°，测得塔顶E的仰角（∠EBD）为48°，CE＝30.6m，求两座山之间水平距离BD的长．（参考数据：tan37°≈0.75，tan48°≈1.11） 21．（7分）某学校为了普及消防安全知识，随机在七、八年级分别抽取20名同学进行相关知识测试，统计他们的测试成绩（x），并绘制相关统计图（不完整），请你根据以下数据完成下列任务． 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 八年级成绩在80≤x＜90之间的数据为：89，88，85，81． （1）填空：m＝　 　 ，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； （2）请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 84.7 a 84.5 89 八年级 84.7 96 b 93 其中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （3）请根据上述统计图表的信息，分析哪个年级对消防安全知识掌握的较好，说明理由． 22．（7分）阅读下列材料，完成相应的任务． 如图1，点B，C分别为∠A两边上的点，如何利用无刻度的直尺和圆规在B，C之间画一条过点A的直线，使得点B，C到这条直线的距离相等？ 下面是小成的作图思路： 第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧在∠A内部交于点D； 第三步：作直线AD，则点B，C到直线AD的距离相等． … （1）请你根据小成的作图思路，在图1中，利用无刻度的直尺和圆规完成作图． （2）根据（1）中的作图，请你证明点B，C到直线AD的距离相等． （3）你还有其他作图方法吗？请在图2中完成尺规作图．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以边BC为直径作⊙O交AB于点D，DE为⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：AC⊥DE； （2）若⊙O的半径为5cm，AD＝8cm，求CE的长． 24．（8分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣8a（a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过两个不同点P（x1，y1）、Q（x2，y2）． ①当y1＝y2≠0时，若，求a的值； ②当1＜x1＜2，x2＝m时，总有y1＞y2，求满足条件的m的取值范围． 25．（8分）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动． 如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC＝4cm． 【操作发现】 （1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是 　 　 ． （2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，请你判断四边形ACGC′的形状，并证明你的结论． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”． （1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝　 　 ．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC，的“关联点”是 　 　 ； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围； （3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⨀T，若线段MN上存在点P，使点P为⨀T的“关联点”，直接写出t的取值范围． 第39页 共28页 ◎ 第40页 共28页 学科网（北京）股份有限公司 2026兰州中考数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B A D D A D D C C 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．（3分）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．﹣2026的倒数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．2026 【答案】B 【解答】解：﹣2026 的倒数是． 故选：B． 2．（3分）截至2026年2月末，我国外汇储备规模达34278亿美元．将34278亿用科学记数法表示为（　　） A．3.4278×104 B．3.4278×1012 C．3.4278×1013 D．0.34278×1013 【答案】B 【解答】解：将34278亿用科学记数法表示为：3.4278×1012． 故选：B． 3．（3分）计算的结果等于（　　） A． B． C．x+2 D．1 【答案】B 【解答】解：原式， ， ， ． 故选：B． 4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOC＝130°，∠BOE＝25°，则∠DOE的度数是（　　） A．105° B．100° C．110° D．95° 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，∠BOD＝∠AOC＝130°， ∵∠BOE＝25°， ∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝130°﹣25°＝105°． 故选：A． 5．（3分）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（　　） A．60° B．150° C．30° D．120° 【答案】D 【解答】解：根据外角和360°可知： 六边形一个外角的度数为， ∴它的一个内角的度数为180°﹣60°＝120°． 故选：D． 6．（3分）如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　） A．1m B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比， ∴雕像下部的高度2＝（1）m， 故选：D． 7．（3分）已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜2 D．m＞2 【答案】A 【解答】解：∵正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴2m﹣1＜0， 解得． 故选：A． 8．（3分）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：依题意，得：． 故选：D． 9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠COB＝40°，则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D 【解答】解：∵∠COB＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝140°， ∴． 故选：D． 10．（3分）为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（　　） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B．第1﹣3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C．相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D．每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 【答案】C 【解答】解：由题意可知， A．5期“100米短跑”集训的时间共计是：5+7+10+14+20＝56（天），故本选项结论错误，不符合题意； B．第1﹣3期定期监测，李明始终比王华跑得快，故本选项结论错误，不符合题意； C．12.58﹣11.52＝1.06＞13.05﹣12.58＝0.47，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，符合题意； D．每期训练的时间以10天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 11．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点，点C为线段OA上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D，点C从原点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当0＜t≤2时，St2， 当2＜t≤4时，St2（2t﹣4）2t2+8t﹣8， 观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C． 故选：C． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．（3分）分解因式：x3﹣2x2＝x2（x﹣2）　 ． 【答案】x2（x﹣2）． 【解答】解：原式＝x2（x﹣2）， 故答案为：x2（x﹣2）． 13．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为 k≤4且k≠1　 ． 【答案】k≤4且k≠1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根， ∴， 解得：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，线段BE的垂直平分线分别与AB，BC，BE交于点F，G，M．若AB＝5，AD＝6，则BG的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，， 由勾股定理可得，， ∵CF垂直平分BE， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90° ∴∠ABE+∠MBG＝90°， ∵BE⊥FC， ∴∠BMC＝90°， ∴∠MGB+∠MBG＝90°， ∴∠ABE＝∠MGB， ∴△ABE∽△BGM， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．（3分）AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对AI赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为　0.8　 ．（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢AI赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.75 0.80 0.83 0.80 0.79 0.80 0.81 0.81 0.82 0.80 【答案】0.8． 【解答】解：由表可知，当抽测学生数n＝1000时，喜欢AI赋能数学课堂的学生数与n的比值为0.80， 因此估计学生喜爱A赋能数学课堂的概率约为0.8， 故答案为：0.8． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算： ； 【答案】8； 【解答】解：（1）原式＝4+3﹣1+2＝8； 17．（5分）解不等式组：． 【答案】﹣5＜x＜4． 【解答】解：解不等式x+6＜10可得：x＜4； 解不等式3（x+2）＞x﹣4可得：x＞﹣5； 所以该不等式组的解集为：﹣5＜x＜4． 18．（5分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣2），其中a＝3． 【答案】2a﹣4，2． 【解答】解：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣2） ＝a2﹣4﹣（a2﹣2a） ＝a2﹣4﹣a2+2a ＝2a﹣4， 当a＝3时，原式＝2×3﹣4＝2． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴和x轴分别交于点C和点D，其中B点坐标为（﹣4，﹣1），点M在反比例函数图象上． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点M在点A的右侧且横坐标为4，求S△AOM． 【答案】（1）A（2，2），； （2）3． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得b＝1， ∴， 把B（﹣4，﹣1）代入，得， 解得k＝4， ∴， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴A（2，2）； （2）由条件可知点M的横坐标为， ∴M（4，1）， 设直线AM的表达式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴， 当x＝0时，y＝3， 设直线AM与y轴交于E，则E（0，3）， ∴OE＝3， ∴． 20．（7分）2025年8月7日傍晚，甘肃兰州市榆中县等地遭遇连续强降雨，牵动了社会各界的心．为精准掌握山区地形数据，助力灾后隐患排查与防汛监测，某学习小组开展实地测量实践．他们设计了如下方案：如图，已知某座山AB的对面有一座小山CD，CD的顶部有一座通讯塔CE，且点E，C，D在同一条直线上，从B处测得塔底C的仰角（∠CBD）为37°，测得塔顶E的仰角（∠EBD）为48°，CE＝30.6m，求两座山之间水平距离BD的长．（参考数据：tan37°≈0.75，tan48°≈1.11） 【答案】两座山之间水平距离BD的长约为85m． 【解答】解：由题意得：ED⊥BD， 设BD＝xm， 在Rt△BCD中，∠CBD＝37°， ∴CD＝BD•tan37°≈0.75x（m）， 在Rt△BED中，∠EBD＝48°， ∴ED＝BD•tan48°≈1.11x（m）， ∵EC+CD＝ED， 30.6+0.75x＝1.11x， 解得：x＝85， ∴BD＝85m， 两座山之间水平距离BD的长约为85m． 21．（7分）某学校为了普及消防安全知识，随机在七、八年级分别抽取20名同学进行相关知识测试，统计他们的测试成绩（x），并绘制相关统计图（不完整），请你根据以下数据完成下列任务． 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 八年级成绩在80≤x＜90之间的数据为：89，88，85，81． （1）填空：m＝　45　 ，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； （2）请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 84.7 a 84.5 89 八年级 84.7 96 b 93 其中a＝　92　 ，b＝　88.5　 ； （3）请根据上述统计图表的信息，分析哪个年级对消防安全知识掌握的较好，说明理由． 【答案】（1）45； ； （2）92；88.5； （3）八年级对消防安全知识掌握的较好， ∵两个年级成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，且八年级成绩的众数大于七年级成绩的众数， ∴八年级对消防安全知识掌握的较好． 【解答】解：（1）七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 由题意得，， ∴m＝45； 七年级成绩在80≤x＜90之间的数据有20﹣1﹣1﹣4﹣7＝7个， 补全统计图如下： （2）七年级成绩中得分为92分的人数最多，故七年级成绩的众数为92分，即a＝92； 20×10%＝2，20×5%＝1，20×20%＝4， 把八年级成绩按照从低到高的顺序排列，第10个数据和第11个数据分别为88分，89分， ∴八年级成绩的中位数为分，即b＝88.5； 故答案为：92；88.5； （3）八年级对消防安全知识掌握的较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，且八年级成绩的众数大于七年级成绩的众数， ∴八年级对消防安全知识掌握的较好． 22．（7分）阅读下列材料，完成相应的任务． 如图1，点B，C分别为∠A两边上的点，如何利用无刻度的直尺和圆规在B，C之间画一条过点A的直线，使得点B，C到这条直线的距离相等？ 下面是小成的作图思路： 第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧在∠A内部交于点D； 第三步：作直线AD，则点B，C到直线AD的距离相等． … （1）请你根据小成的作图思路，在图1中，利用无刻度的直尺和圆规完成作图． （2）根据（1）中的作图，请你证明点B，C到直线AD的距离相等． （3）你还有其他作图方法吗？请在图2中完成尺规作图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）如解图1，直线AD即为所求． （2）如图1，连接BD，CD，BC交AD于点O，过点B，C分别作BM⊥AD，CN⊥AD， 由作图，知CD＝AB，BD＝AC， ∴四边形ABDC为平行四边形． ∴OB＝OC． ∵CN⊥AD，BM⊥AD， ∵∠BMO＝∠CNO＝90°． ∵∠BOM＝∠CON， ∴△BMO≌△CNO（AAS）， ∴BM＝CN，即点B，C到直线AD的距离相等； （3）如图2，直线AD即为所求． 【解答】（1）解：如解图1，直线AD即为所求． （2）证明：如图1，连接BD，CD，BC交AD于点O，过点B，C分别作BM⊥AD，CN⊥AD， 由作图，知CD＝AB，BD＝AC， ∴四边形ABDC为平行四边形． ∴OB＝OC． ∵CN⊥AD，BM⊥AD， ∵∠BMO＝∠CNO＝90°． ∵∠BOM＝∠CON， ∴△BMO≌△CNO（AAS）， ∴BM＝CN，即点B，C到直线AD的距离相等； （3）解：连接BC，作线段BC的垂直平分线与BC交于点D，作直线AD，如图2，直线AD即为所求． 过点B，C分别作BM⊥AD，CN⊥AD，垂足分别为M，N． ∴∠BMD＝∠CND＝90°． ∵BD＝CD，∠BDM＝∠CDN， ∴△BMD≌△CND（AAS）， ∴BM＝CN，即点B，C到直线AD的距离相等． 23．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以边BC为直径作⊙O交AB于点D，DE为⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：AC⊥DE； （2）若⊙O的半径为5cm，AD＝8cm，求CE的长． 【答案】（1）连接OD，如图， ∵DE为⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴∠EDO＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠A， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠BDO， ∴∠BDO＝∠A， ∴OD∥AC， ∴∠CED＝180°﹣∠ODE＝90°， ∴AC⊥DE． （2）． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵DE为⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴∠EDO＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠A， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠BDO， ∴∠BDO＝∠A， ∴OD∥AC， ∴∠CED＝180°﹣∠ODE＝90°， ∴AC⊥DE． （2）解：连接OD、CD，如图， ∵⊙O的半径为5cm，BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，BC＝10cm， ∵AC＝BC， ∴AD＝BD＝8cm， ∴（cm）， ∵∠CDE+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠CDE， ∵∠ADC＝∠CED＝90°， ∴△ADC∽△DEC， ∴，即， 解得：． 24．（8分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣8a（a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过两个不同点P（x1，y1）、Q（x2，y2）． ①当y1＝y2≠0时，若，求a的值； ②当1＜x1＜2，x2＝m时，总有y1＞y2，求满足条件的m的取值范围． 【答案】（1）x＝﹣1； （2）①a＝﹣4；②当a＞0时，﹣3＜m＜1；当a＜0时，m＞2或m＜﹣4． 【解答】解：（1）该抛物线的对称轴是直线； （2）①由条件可知： ， 把上式代入中，得：， ∴x1﹣2＝a﹣x2， ∴a＝x1+x2﹣2． 又∵y1＝y2， ∴x1+x2＝﹣2， ∴a＝﹣2﹣2＝﹣4； ②由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵1＜x1＜2， ∴点P（x1，y1）在对称轴右侧， 当a＞0时， 函数图象在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小， 由条件可知当Q（x2，y2）不在对称轴左侧时，则有﹣1＜m＜1； 当Q（x2，y2）在对称轴左侧时，则有﹣3＜m＜﹣1， 所以﹣3＜m＜1； 当a＜0时， 函数图象在对称轴右侧y随x增大而减小，在对称轴左侧y随x增大而增大， 由条件可知当Q（x2，y2）不在对称轴左侧时，则有m＞2； 当Q（x2，y2）在对称轴左侧时，则有m＜﹣4； 综上所述，当a＞0时，﹣3＜m＜1．当a＜0时，m＞2或m＜﹣4． 25．（8分）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动． 如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC＝4cm． 【操作发现】 （1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是 　菱形　 ． （2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，请你判断四边形ACGC′的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）菱形； （2）正方形，证明见解析； 【解答】解：（1）在图1中， ∵AC是矩形ABCD的对角线， ∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 在图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD， ∴∠BAC＝∠AC'D， ∵∠CAC'＝∠α＝∠BAC， ∴∠CAC'＝∠AC'D， ∴AC∥C'E， ∵AC'∥CE， ∴四边形ACEC'是平行四边形， 又∵AC＝AC'， ∴▱ACEC'是菱形， 故答案为：菱形； （2）四边形ACGC′是正方形，证明如下： 在图1中，∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90° 在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠DAC'， ∴∠BAC+∠DAC'＝90°， ∵点D，A，B在同一条直线上， ∴∠CAC'＝90°， 由旋转知，AC＝AC'， ∵点F是CC'的中点， ∴AG⊥CC'，CF＝C'F， ∵AF＝FG， ∴四边形ACGC'是平行四边形， ∵AG⊥CC'， ∴▱ACGC'是菱形， 又∵∠CAC'＝90°， ∴菱形ACGC'是正方形； 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”． （1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝　5　 ．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC，的“关联点”是 P2，P4 ； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围； （3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⨀T，若线段MN上存在点P，使点P为⨀T的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）d＝5，P2、P4； （2）﹣6≤b≤6； （3）1﹣2t≤﹣2或t≤4． 【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3）， ∴OC＝5， ∴d＝5， ∵P1（﹣1，0）， ∴P1O＝1， ∴P1不是矩形AOBC的“关联点”； ∵P2（2，8）， ∴P2到AC的距离为5， ∴P2是矩形AOBC的“关联点”； ∵P3（3，1）， ∴P3到OB的距离为1， ∴P3不是矩形AOBC的“关联点”； ∵， ∴P4O＝5， ∴P4是矩形AOBC的“关联点”； 故答案为：5，P2，P4； （2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形， ∴， 过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M， 当时，，∠MNO＝45°， ∵ON＝6， ∴﹣6≤b≤6时直线y＝x+b上存在点P使P为正方形DEFG的关联点． （3）∵⊙T的圆心为T（t，0）半径为1， ∴d＝2 当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于L交于K，交y轴于H， 当KL＝2时，TL＝3， ∵M（1，0），， ∴OM＝1，， 在Rt△OMN中MN＝2， ∵ON⊥OM，TL⊥MN， ∴∠ONM＝∠OTH， 有∵∠TLM＝∠NOM＝90°， ∴△TLM∽△NOM， ∴， ∴， ∴，此时T（1﹣2，0） 当TM＝3时，OT＝2， ∴T（﹣2，0）， ∴1﹣2t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“关联点”； 当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3，此时T（4，0）， 当NT＝3时，3， 解得t＝±（负值舍去）， ∴当t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“关联点”； 综上，1﹣2t≤﹣2或t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“关联点”． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/18 8:54:09；用户：绘学B区资料下载；邮箱：15693311191；学号：65108399 $