7.2 复数的四则运算（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的四则运算（单元教学设计） 一、【单元目标】 本节内容讨论复数集中的四则运算问题,即研究复数的加、减、乘、除运算,其中加法、乘法运算是核心,减法、除法运算分别是它们的逆运算.除此之外,还讨论了复数加法、减法运算的几何意义.本节侧重提升学生的数学运算、直观想象素养,以及概括理解能力、分析计算能力. 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 1．认知基础 本节内容是本章的核心，也是学好复数的重中之重.在学习本节之前，学生已经学习了物理中矢量的加减运算，力的合成与分解等知识，为本节内容有一定的正向的推进作用。 2.认知障碍 一方面，学生对于知识的把握是零碎、分散的.对复数概念是不了解的，需要在老师的启发引导下探究体会复数运算的的要素；另一方面，学生相等的问题常常会默认为是数量上的相等，缺乏严谨的思维习惯.复数相等和复数的运算是本节解决问题的关键所在。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排： 约2课时 教学重点： 1.复数的加、减运算及其几何意义 2.复数的乘、除运算 教学难点： 复数的四则运算综合应用 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 7.2.1 复数的加减运算及其几何意义 问题1：如何定义复数的加、减运算？ 【破解方法】从课本定义出发，让学生理解复数加法和减法运算的定义。 问题2：如何理解复数加减运算的运算律问题以及与向量加法与减法运算相统一？ 【破解方法】在学习过程中，利用例题理解复数运算的基本方法，以及比较与向量加减的区别与联系。 【教学过程】 复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意,,∈C，有 ①交换律：+=+； ②结合律：(+)+=+(+). (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差 -对应的向量是-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 例1计算. 解： . 问题3：如何解决复平面内两点之间的距离问题？ 【破解方法】利用学习过程的探究，完善数学认知结构。 例2. 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. 分析：由于复平面内的点，对应的复数分别为，，由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为，从而点，之间的距离为. 解：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为 . 六、【教学成果自我检测】 1．课前预习 一、单选题 1．已知、，且，若，则的最大值是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】设，，故，，则， ， ，当时，有最大值为4. 故选：C 2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】z在复平面内对应的点为，则复数， 则，由复数的模长公式可得， 故选：D． 3．若，则（    ） A． B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以， . 故选：B. 二、填空题 4．______．（其中i是虚数单位） 【答案】 【详解】 故答案为： 5．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______． 【答案】5 【详解】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 三、解答题 6．已知复数（a，），存在实数t，使成立. (1)求证：为定值； (