核心考点培优04：复数７大重点题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优04：复数7大必考题型 (高一复习全国通用) 题型一 复数的概念与分类 3 题型二 复数的加减乘除运算 4 题型三 复数对应的点及象限 5 题型四 复数的模长 6 题型五 复数的高次方运算 6 题型六 复数对应的轨迹问题 7 题型七 复数对应的一元二次方程的根 8 思维导图 1.基本概念：虚数单位(满足：)，复数，实部为，虚部为，复数集，复平面，实轴轴，虚轴轴 2.复数的分类：当时，是实数；当时，是虚数；当时，是纯虚数 3.复数相等的充要条件： 4.共轭复数： 复数与复数互为共轭复数 5.复数的模： 6.复数的运算： 【除法】 7.复数，复平面内的点，平面向量，三者之间是一一对应关系 8.的几何意义： 两个复数在复平面上对应两点间的距离 复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 9.在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式： 令，则 (1)当时；(2)当时： 经典重现+变式提升 题型一 复数的概念与分类 方法点拨： 知识梳理 复数的定义：形如（）的数，其中为实部，为虚部，为虚数单位， 分类：实数（）、虚数（）、纯虚数（） 共轭复数：，实部相等、虚部互为相反数 复数相等： 常考结论 纯虚数需同时满足：实部为0、虚部不为0 的周期性：，周期为4 复数不能直接比较大小，只有实数可比较大小 解题方法 纯虚数判定：列方程且 复数相等：实部、虚部分别对应相等列方程组 的幂运算：用指数除以4取余数，对应周期值直接秒杀 刷经典·悟方法 【例1】 （（浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题）设复数. (1)若是实数，是纯虚数，求； (2)若互为共轭复数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得，，再求即可； （2）结合题意得，解方程即可求得答案. 【详解】（1）解：由是实数知，解得 由是纯虚数知，解得 所以， （2）解：因为， 所以，解得， 故 【变式1-1】 （2026·重庆·模拟预测）复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】已知复数是纯虚数，则实部，解得； 虚部，解得， 综上，． 【变式1-2】 （25-26高一下·河北邯郸·月考）已知为虚数单位，复数，，则（    ） A．的共轭复数为 B． C．为实数 D．的虚部为-5 【答案】BD 【分析】求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D. 【详解】因为的共轭复数为，所以A错误； 因为，，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为， 所以虚部为，所以D正确. 【变式1-3】 （内蒙古呼伦贝尔市普通高中2026届高三联合模拟考试数学试卷）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】. 题型二 复数的加减乘除运算 方法点拨：知识梳理 加减运算：实部、虚部分别相加减， 乘法运算：多项式展开， 除法运算：分母实数化，乘以分母的共轭复数， 常考结论 共轭复数乘积： 乘法分配律、交换律、结合律在复数中仍成立 ，， 解题方法 加减运算：直接合并实部、虚部 乘法运算：按多项式展开，合并同类项 刷经典·悟方法 【例2】 （25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知复数，（为虚数单位），求： (1)的模； (2)； (3)若，求的共轭复数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加法运算法则求，再求. （2）根据复数的乘法法则求值. （3）根据共轭复数的定义求解. 【详解】（1）， . （2） （3）因为，所以. 【变式2-1】 （2026·河南焦作·模拟预测）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以复数的实部为. 【变式2-2】 （25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，则（   ） A． B．z的虚部为 C．为纯虚数 D． 【答案】BC 【详解】， 所以，z的虚部为，为纯虚数，，A、D错误，B、C正确. 【变式2-3】 （2026·陕西咸阳·三模）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的模计算公式和复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】. 所以. 题型三 复数对应的点及象限 方法点拨： 复数与复平面内的点一一对应 复平面：x轴为实轴，y轴为虚轴，实轴上的点对应实数，虚轴上的非原点对应纯虚数 象限判定：根据的符号确定点所在象限 常考结论 实部、虚部：第一象限 实部、虚部：第二象限 实部、虚部：第三象限 实部、虚部：第四象限 实轴上，虚轴上 解题方法 写出复数的实部、虚部 由的符号直接判定点所在象限 纯虚数对应虚轴上的点（除原点），实数对应实轴上的点 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·山东烟台·期中）复数，，其中i是虚数单位，且为纯虚数. (1)求复数： (2)设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，O为坐标原点，若以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据复数除法运算求，结合纯虚数的定义运算求解； （2）根据复数的几何意义分类讨论平行四边形的可能性情况，结合向量的运算求解即可. 【详解】（1）因为复数，， 则， 若为纯虚数，则，解得， 所以. （2）由题意可知：，，则，， 因为以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形， 若为平行四边形，则， 所以，即； 若为平行四边形，则， 所以，即； 若为平行四边形，则， 所以，即； 综上所述：或或. 【变式3-1】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数（a，bR），则下列说法中错误的是（   ） A．若，则z为实数 B． C．若，则z在复平面内对应的点在第二象限 D．存在a＝2b，使得为纯虚数 【答案】BD 【分析】根据共轭复数的概念、复数模的概念、的乘方运算以及复数的几何意义、纯虚数的概念逐项判断. 【详解】选项A：设，则共轭复数，由得， 解得，因此是实数，A正确； 选项B：若，，，显然，等式不成立，B错误； 选项C：，因此，复平面内对应点为，在第二象限，C正确； 选项D：若，计算， 若为纯虚数,则,，无解，D错误. 【变式3-2】 （25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义和向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题得，， 所以， 其对应的复数为. 【变式3-3】 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【分析】设复数，利用复数模的公式把等式变形即可得圆的方程，根据圆的周长公式即可求解 . 【详解】设复数，则对应复平面内的点 ， 由可得，即  ，两边平方得， 这表示圆心为、半径， 圆的周长. 题型四 复数的模长 方法点拨： 复数的模：，表示复平面内点到原点的距离 模的性质：，，， 常考结论 ；；（三角不等式） 解题方法 代数形式：直接用计算 性质应用：利用、简化运算 三角不等式：求模的最值或范围 刷经典·悟方法 【例4】 （25-26高一下·浙江舟山·期中）已知在复平面内，复数所对应的点分别为，.为坐标原点，是虚数单位. (1)若，求与； (2)向量，对应的复数分别为，，若，求实数； (3)已知复数满足，求的最值. 【答案】(1)； (2)或 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用复数的乘法公式运算即可求解，求出向量与对应的向量坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式即可求解； （2）化简，求出向量与对应的向量坐标，从而得到，利用向量模长公式化简即可求解； （3）设，由可得或，分两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）若，则， 由于对应向量， 对应向量， 所以； （2）由于， 所以，， 则， 则， 化简可得：，解得：或； （3）设，则， 由，可得：， 化简得：，所以或， 由于， 当时，，且，所以， 所以时，， 当时，， 当时，，且，所以， 所以时，， 当时，， 综上，的最大值为，最小值为 【变式4-1】 （25-26高三下·甘肃武威·期中）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 【变式4-2】 （2026·四川泸州·模拟预测）在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，可得，根据运算法则，结合求模公式，即可得答案. 【详解】由题意知，，则， 所以. 【变式4-3】 （25-26高一下·山东枣庄·月考）已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，再求其模长得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，所以， 所以. 题型五 复数的高次方运算 方法点拨：计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i； 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i 刷经典·悟方法 【例5】 （2026·宁夏银川·三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 【答案】 【详解】由于，，，，故每四个连续的项之和为， ，则， 由于，，故，所以. 【变式5-1】 （河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对化简，再根据复数的幂的运算法则，可求得，则共轭复数，进而可确定其虚部. 【详解】由题意，， 所以， 所以复数的共轭复数，其虚部为. 【变式5-2】 （25-26高一下·福建厦门·月考）计算：______． 【答案】 【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】． 【变式5-3】 （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据复平面内的点写出复数及其共轭复数，再逐一验证各选项的计算结果. 【详解】由复数在复平面内对应的点为，得，其共轭复数. 对于A：，A选项正确. 对于B：，B选项错误. 对于C：，C选项正确. 对于D：， 故，D选项正确. 题型六 复数对应的轨迹问题 方法点拨：复平面内，复数对应点，复数方程可转化为平面直角坐标系中的轨迹方程 常见轨迹：圆、直线、线段、区域等 常考结论 ：以对应点为圆心，为半径的圆 ：对应点的垂直平分线 ：椭圆 ：双曲线 解题方法 设，代入复数方程，转化为的代数方程 根据方程形式判断轨迹类型（圆、直线、椭圆等） 利用复数模的几何意义直接判定轨迹 刷经典·悟方法 【例6】 （25-26高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用纯虚数的概念直接求解； （2）要将复数的模转换为表达式，结合基本不等式运用求解. 【详解】（1） 是纯虚数得出得； （2）设，所以，即， ， 则， 因为当且仅当取等，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式6-1】 （河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】先求出满足题目要求的复数在复平面内的轨迹，再求所求复数模长的最小值. 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. 【变式6-2】 （25-26高一下·安徽芜湖·期中）下列关于非零复数、的结论正确的有（   ） A．已知，则、不一定为共轭复数 B．若，则 C．若为纯虚数，则 D．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为3π 【答案】ACD 【分析】举例说明结合共轭复数的概念和复数的乘法公式计算即可判断AB；根据复数的有关概念建立关于的方程组，结合复数的几何意义计算即可判断C；根据复数乘、除法运算，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】对于A选项，不妨取，，则， 但、不互为共轭复数，故A正确； 对于B选项，不妨取，，则， 但，，即，故B错误； 对于C选项，由题意知，解得，得，所以，故C正确； 对于D选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为2的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为1的圆及其外部， 所以点所在的区域如图所示， 故点所在的区域的面积为，故D正确. 【变式6-3】 （2026·重庆·模拟预测）已知关于复数的方程的四个互异复根在复平面上顺次连接构成一个凸四边形．若这四个顶点恰好共圆，则当该圆的半径最小时a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出复数的方程的四个互异复根，在复平面用坐标表示，再根据四点共圆设出圆的方程和半径，借助列出等式，最终用表示半径，利用均值不等式求出半径最小时的值. 【详解】原方程为，解得，， 对应复平面上的点为，. 四个点关于x轴对称，因此若四点共圆，圆心在轴上， 设圆心为，半径为R ， ，得 ， 整理得，因此半径平方. 由基本不等式，等号成立当且仅当： ， 因为，故，此时圆半径最小. 题型七 复数对应的一元二次方程的根 方法点拨： 实系数一元二次方程，判别式 ：两个不相等的实数根；：两个相等的实数根；：两个共轭虚数根， 韦达定理：实系数方程中，虚根成对共轭，仍成立 常考结论 实系数方程的虚根共轭成对 若是方程的根，则也是方程的根 虚根的和、积仍满足韦达定理 解题方法 计算判别式，判断根的类型 若为虚根，利用共轭成对的性质，结合韦达定理求解参数 直接代入根的表达式计算 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，且（i为虚数单位）. (1)若是方程的一个复根，求p和q的值； (2)若复数在复平面上的对应点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，则， 由题可知：，解得，故， 因为是方程的一个复根， 所以将代入可得， 化简可得， 由题可知，， 因此，解得. （2）（2）因为， 所以在复平面对应的点为， 由题可知，在第二象限， 因此，解得. 【变式7-1】 （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，利用韦达定理，求出实数和的值，再由复数能与实数5比较大小，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】已知是实系数方程的根， 根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，另一个根为 两根和：，得； 两根积：，解得 只有实数才能比较大小，则必须是实数，且大于5. 展开乘积： 若满足大于5，需满足两个条件： 1. 虚部为0： 2. 实部大于5：把代入实部， 得：. 【变式7-2】 （25-26高一下·广西柳州·期中）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】AC 【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，，均为方程的根，由韦达定理求解即可. 【详解】对于A：，A正确. 对于B：，虚部为，故B错误. 对于C：由题意，，所以， 故向量对应的复数为，C正确. 对于D：，由题意知，，均为方程的根， 故，. 又，， 所以，，故，D错误. 【变式7-3】 （25-26高一下·浙江温州·期中）若是关于的方程的复数根，则____________． 【答案】31 【分析】易知是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个复数根， 所以是关于的方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：31 1．（江苏省海安高级中学等校2026届高三年级阶段性学情测试数学）已知复数，.在复平面内，对应的点所在的象限为（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】根据复数乘法及复数的几何意义即可求解． 【详解】，则对应点的坐标为，在第二象限． 2．（河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷）已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．为纯虚数 D． 【答案】C 【详解】由题意易知，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，当时，C显然错误； ，，故D正确. 3．（25-26高三下·辽宁·月考）若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简的形式，再求出其共轭复数，最后得到它的虚部. 【详解】， 所以，其虚部为． 4．（25-26高一下·山东临沂·月考）已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的除法运算消去分母的即可求解. 【详解】由题意得， 所以的虚部为. 5．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数乘法运算，结合虚部概念即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 6．（25-26高一下·河南·期中）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数在复平面内对应点的坐标为，对应象限即可作出判断. 【详解】解：由， 则在复平面内对应的点为，位于第二象限. 7．（山西晋城市2025-2026学年高考适应性模拟数学试题）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为，所以， 则，所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限． 8．（2026·浙江金华·二模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的乘法法则求出积，再求出该复数对应点的坐标并判断其所在象限即可. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为 又，故点在第二象限， 所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 9．（四川广元市2026届高三下学期定时训练数学试卷）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】复数，，则， 所以. 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以 11．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数运算求得以及其共轭复数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以，则的虚部为. 12．（25-26高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】， 则复数对应的点为，位于第三象限. 13．（25-26高一下·山西晋中·期中）设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 【分析】利用韦达定理和向量垂直的条件，结合复数的运算性质逐一分析选项 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由得，即，， 故，故B正确. 14．（2026·福建福州·模拟预测）已知，若复数是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将方程的根代入方程解得. 【详解】已知是方程的根，将代入方程： ，， 即，解得. 15．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 16．（2026·江西宜春·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据共轭复数的定义及复数的加减法求出，再根据复数模的计算公式即可求解． 【详解】设， 由题得，， 所以． 17．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由题意得， 所以， 所以解得，所以. 18．（24-25高二上·湖北·月考）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 且，故选项C正确. 19．（天津市十二区重点学校2026年高三毕业班联考（二）数学试卷）是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数__________. 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 20.（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 21．（25-26高一下·广东·月考）已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．若复数z为纯虚数，则 D．若为复数，则 【答案】BC 【分析】对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于B：根据复数的运算可得，进而可得虚部；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算结合模长根式运算求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：复数的虚部为，故B错误； 对于选项C：例如是纯虚数，则，，即，故C错误； 对于选项D：设， 则，，， 可得， 所以，故D正确. 22．（25-26高一下·安徽池州·期中）已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（   ） A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可判断AB；将代入方程，列出方程组求解即可判断CD． 【详解】对于AB，由得， 其虚部为，共轭复数为2i，故A正确、B错误； 对于CD，实系数方程一根为， 代入原方程得，， 解得，，故C、D正确． 23．（25-26高一下·广西·月考）以下四种说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B． C．若为纯虚数，则 D．若复数，则在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【分析】根据题意，利用复数的定义，复数的运算法则，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，逐项判断，即可求解. 【详解】对于A，复数的虚部为，所以A错误； 对于B，由复数的运算法则，可得，所以B正确； 对于C，由复数为纯虚数，则满足， 解得，所以C正确； 对于D，若复数，可得， 则在复平面内对应的点为位于第四象限，所以D错误. 24．（25-26高一下·山西阳泉·期中）已知是虚数单位，则=___________. 【答案】0 【分析】由复数的运算性质求解. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， 所以. 25．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 26．（25-26高一下·浙江·期中）已知复数，，，. (1)若，求m的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的运算法则计算得出复数的表达式，再根据可解得m的值； （2）将所求复数整理化简，根据第二象限对应的复数实部与虚部的符号特征解不等式即可. 【详解】（1）由已知得， 所以， 又，解得， 故实数m的值为. （2）由（1）得， ， 由复数在复平面上对应的点在第二象限得 ，解得， 故实数m的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优04：复数7大必考题型 (高一复习全国通用) 题型一 复数的概念与分类 2 题型二 复数的加减乘除运算 4 题型三 复数对应的点及象限 5 题型四 复数的模长 6 题型五 复数的高次方运算 7 题型六 复数对应的轨迹问题 8 题型七 复数对应的一元二次方程的根 10 思维导图 1.基本概念：虚数单位(满足：)，复数，实部为，虚部为，复数集，复平面，实轴轴，虚轴轴 2.复数的分类：当时，是实数；当时，是虚数；当时，是纯虚数 3.复数相等的充要条件： 4.共轭复数： 复数与复数互为共轭复数 5.复数的模： 6.复数的运算： 【除法】 7.复数，复平面内的点，平面向量，三者之间是一一对应关系 8.的几何意义： 两个复数在复平面上对应两点间的距离 复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 9.在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式： 令，则 (1)当时；(2)当时： 经典重现+变式提升 题型一 复数的概念与分类 方法点拨： 知识梳理 复数的定义：形如（）的数，其中为实部，为虚部，为虚数单位， 分类：实数（）、虚数（）、纯虚数（） 共轭复数：，实部相等、虚部互为相反数 复数相等： 常考结论 纯虚数需同时满足：实部为0、虚部不为0 的周期性：，周期为4 复数不能直接比较大小，只有实数可比较大小 解题方法 纯虚数判定：列方程且 复数相等：实部、虚部分别对应相等列方程组 的幂运算：用指数除以4取余数，对应周期值直接秒杀 刷经典·悟方法 【例1】 （（浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题）设复数. (1)若是实数，是纯虚数，求； (2)若互为共轭复数，求. 【变式1-1】 （2026·重庆·模拟预测）复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式1-2】 （25-26高一下·河北邯郸·月考）已知为虚数单位，复数，，则（    ） A．的共轭复数为 B． C．为实数 D．的虚部为-5 【变式1-3】 （内蒙古呼伦贝尔市普通高中2026届高三联合模拟考试数学试卷）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 题型二 复数的加减乘除运算 方法点拨：知识梳理 加减运算：实部、虚部分别相加减， 乘法运算：多项式展开， 除法运算：分母实数化，乘以分母的共轭复数， 常考结论 共轭复数乘积： 乘法分配律、交换律、结合律在复数中仍成立 ，， 解题方法 加减运算：直接合并实部、虚部 乘法运算：按多项式展开，合并同类项 刷经典·悟方法 【例2】 （25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知复数，（为虚数单位），求： (1)的模； (2)； (3)若，求的共轭复数． 【变式2-1】 （2026·河南焦作·模拟预测）复数的实部为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】 （25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，则（   ） A． B．z的虚部为 C．为纯虚数 D． 【变式2-3】 （2026·陕西咸阳·三模）若复数，则（    ） A． B． C． D． 题型三 复数对应的点及象限 方法点拨： 复数与复平面内的点一一对应 复平面：x轴为实轴，y轴为虚轴，实轴上的点对应实数，虚轴上的非原点对应纯虚数 象限判定：根据的符号确定点所在象限 常考结论 实部、虚部：第一象限 实部、虚部：第二象限 实部、虚部：第三象限 实部、虚部：第四象限 实轴上，虚轴上 解题方法 写出复数的实部、虚部 由的符号直接判定点所在象限 纯虚数对应虚轴上的点（除原点），实数对应实轴上的点 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·山东烟台·期中）复数，，其中i是虚数单位，且为纯虚数. (1)求复数： (2)设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，O为坐标原点，若以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数. 【变式3-1】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数（a，bR），则下列说法中错误的是（   ） A．若，则z为实数 B． C．若，则z在复平面内对应的点在第二象限 D．存在a＝2b，使得为纯虚数 【变式3-2】 （25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 题型四 复数的模长 方法点拨： 复数的模：，表示复平面内点到原点的距离 模的性质：，，， 常考结论 ；；（三角不等式） 解题方法 代数形式：直接用计算 性质应用：利用、简化运算 三角不等式：求模的最值或范围 刷经典·悟方法 【例4】 （25-26高一下·浙江舟山·期中）已知在复平面内，复数所对应的点分别为，.为坐标原点，是虚数单位. (1)若，求与； (2)向量，对应的复数分别为，，若，求实数； (3)已知复数满足，求的最值. 【变式4-1】 （25-26高三下·甘肃武威·期中）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】 （2026·四川泸州·模拟预测）在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 【变式4-3】 （25-26高一下·山东枣庄·月考）已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 题型五 复数的高次方运算 方法点拨：计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i； 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i 刷经典·悟方法 【例5】 （2026·宁夏银川·三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 【变式5-1】 （河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】 （25-26高一下·福建厦门·月考）计算：______． 【变式5-3】 （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 题型六 复数对应的轨迹问题 方法点拨：复平面内，复数对应点，复数方程可转化为平面直角坐标系中的轨迹方程 常见轨迹：圆、直线、线段、区域等 常考结论 ：以对应点为圆心，为半径的圆 ：对应点的垂直平分线 ：椭圆 ：双曲线 解题方法 设，代入复数方程，转化为的代数方程 根据方程形式判断轨迹类型（圆、直线、椭圆等） 利用复数模的几何意义直接判定轨迹 刷经典·悟方法 【例6】 （25-26高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数满足，求的最大值. 【变式6-1】 （河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【变式6-2】 （25-26高一下·安徽芜湖·期中）下列关于非零复数、的结论正确的有（   ） A．已知，则、不一定为共轭复数 B．若，则 C．若为纯虚数，则 D．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为3π 【变式6-3】 （2026·重庆·模拟预测）已知关于复数的方程的四个互异复根在复平面上顺次连接构成一个凸四边形．若这四个顶点恰好共圆，则当该圆的半径最小时a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七 复数对应的一元二次方程的根 方法点拨： 实系数一元二次方程，判别式 ：两个不相等的实数根；：两个相等的实数根；：两个共轭虚数根， 韦达定理：实系数方程中，虚根成对共轭，仍成立 常考结论 实系数方程的虚根共轭成对 若是方程的根，则也是方程的根 虚根的和、积仍满足韦达定理 解题方法 计算判别式，判断根的类型 若为虚根，利用共轭成对的性质，结合韦达定理求解参数 直接代入根的表达式计算 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数满足，且（i为虚数单位）. (1)若是方程的一个复根，求p和q的值； (2)若复数在复平面上的对应点在第二象限，求实数的取值范围. 【变式7-1】 （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】 （25-26高一下·广西柳州·期中）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【变式7-3】 （25-26高一下·浙江温州·期中）若是关于的方程的复数根，则____________． 1．（江苏省海安高级中学等校2026届高三年级阶段性学情测试数学）已知复数，.在复平面内，对应的点所在的象限为（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 2．（河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷）已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．为纯虚数 D． 3．（25-26高三下·辽宁·月考）若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东临沂·月考）已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南·期中）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（山西晋城市2025-2026学年高考适应性模拟数学试题）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2026·浙江金华·二模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（四川广元市2026届高三下学期定时训练数学试卷）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 11．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（25-26高一下·山西晋中·期中）设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 14．（2026·福建福州·模拟预测）已知，若复数是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）（   ） A． B． C． D． 16．（2026·江西宜春·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．5 C． D． 17．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·湖北·月考）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 19．（天津市十二区重点学校2026年高三毕业班联考（二）数学试卷）是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数__________. 20.（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 21．（25-26高一下·广东·月考）已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．若复数z为纯虚数，则 D．若为复数，则 22．（25-26高一下·安徽池州·期中）已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（   ） A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为 C． D． 23．（25-26高一下·广西·月考）以下四种说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B． C．若为纯虚数，则 D．若复数，则在复平面内对应的点在第一象限 24．（25-26高一下·山西阳泉·期中）已知是虚数单位，则=___________. 25．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 26．（25-26高一下·浙江·期中）已知复数，，，. (1)若，求m的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $