期中核心考点04：立体几何表面积与体积【7个基础题型+4个培优题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中核心考点04：立体几何】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础过关检测】 【题型1：立体图形直观图】 【练方法】 知识梳理 1斜二测画法核心规则 建系：原图，直观图，夹角或 平行关系：与轴平行的线段，平行关系不变，长度不变 与轴平行的线段，平行关系不变，长度变为原来的 与轴平行的线段，长度与方向均不变 2原图与直观图的面积关系 解题方法 1原图转直观图 按斜二测规则画坐标系，确定关键点坐标，按比例缩放轴长度，依次连线 2直观图还原原图 将轴方向线段长度乘以2，恢复直角坐标系，计算原图的边长、面积 3面积换算 直接套用面积比例公式，无需画图，快速计算 【题型突破】 1．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知为等腰直角三角形，所以， 如下图所示，平面图形中， 所以. 2．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 【答案】D 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 3．（25-26高一下·湖南·月考）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，所以. 4．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 5．（25-26高一下·福建福州·期中）是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 【答案】 【分析】由等边三角形面积公式求的面积，进而根据的直观图的面积，可得答案． 【详解】已知原图是边长为2的正三角形， 所以的面积， 所以的面积为. 【题型2：棱锥的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1棱锥的结构特征 底面为多边形，侧面为共顶点的三角形，高为顶点到底面的垂线段 2表面积公式 侧面积：各侧面三角形面积之和，正棱锥侧面积（为底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为高） 解题方法 1表面积计算 先求底面边长与周长，再求斜高或各侧面的高，计算侧面积，最后加底面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式计算；高未知时，可通过勾股定理或等体积法求解 3正棱锥问题 利用底面中心与顶点连线为高，结合底面外接圆半径，构造直角三角形求斜高、高 【题型突破】 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由正四面体的表面积求出其中一个正三角形的面积，再求出正三角形的边长即为棱长. 【详解】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为， 则正三角形面的面积，所以 故选：C 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 8．（2026高一·全国·专题练习）在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，相交于，可证平面，利用四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】连接，相交于，则， 由正棱柱的性质可知平面，平面， 所以，又，平面， 则平面，且， 所以四棱锥的高为，其体积为， 解得． 9．（25-26高二上·北京·开学考试）一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积. 【详解】    由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 10．（2025·陕西西安·一模）若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在底面的投影为，确定球心的位置，求，由此可求底面棱和侧面三角形的高，进而可求表面积. 【详解】在正四棱锥中，设点在底面的投影为，则为正方形的中心， 过作正四棱锥的截面，如图： 因为，，所以正四棱锥的外接球球心在的延长线上， 则，， 所以. 在正四棱锥中，如下图： ，， 中边上的高为， 故该正四棱锥的表面积为． 故选： 【题型3：棱柱的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1棱柱的结构特征 两底面平行且全等，侧面为平行四边形，侧棱互相平行且相等，直棱柱侧棱与底面垂直 2表面积公式 侧面积：直棱柱（为底面周长，为侧棱长），斜棱柱各侧面平行四边形面积之和 表面积： 3体积公式 （为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 直棱柱直接用底面周长乘侧棱长求侧面积，再加两个底面积；斜棱柱需分别计算各侧面面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式；斜棱柱的高为两底面间的垂直距离，需注意与侧棱的区别 3特殊棱柱（长方体、正方体） 直接用公式计算：长方体，正方体，表面积分别为、 【题型突破】 11．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积，表面积， ，，解得. 故答案为：C. 12．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【详解】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积.    （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以.    又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（   ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，故D正确. 故选：ACD 14．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3 【答案】B 【分析】因为分别为的中点，得到，利用棱台的体积公式，求得，得到则，即可求得的值. 【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则， 因为分别为的中点，所以， 所以，则，所以. 故选：B. 15．（24-25高一下·山东·期中）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析， 【分析】（1）分别求得三棱柱的体积和三棱锥的体积，即可得出四棱锥的体积； （2）利用勾股定理求得边长，分别计算出所求几何体的各个表面的面积可得结果. 【详解】（1）三棱柱的体积， 三棱锥的体积为 所以四棱锥的体积. （2）为直角三角形， 理由：由题意得，，， 从而，即，可得为直角三角形， 所以， 所以 ， 因此几何体的表面积为. 【题型4：棱台的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1棱台的结构特征 由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到，上下底面平行且相似，侧棱延长线交于一点，侧面为梯形 2表面积公式 侧面积：正棱台（为上下底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 先求上下底面的周长和面积，再求斜高，计算侧面积，最后加上下底面积 2体积计算 直接代入棱台体积公式；也可还原为原棱锥，用大棱锥体积减去小棱锥体积求解 3还原法 延长侧棱补全为棱锥，利用相似三角形求出原棱锥的高，再计算体积差 【题型突破】 16．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的截面特征求出棱台的高，代入棱台的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，该正四棱台上表面边长为1，下表面边长为2，设侧面梯形的高为，棱台的高为. 作正四棱台的截面图如下： 则，解得. 所以. 所以该棱台的体积为. 17．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 【答案】/ 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： 取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点， 因为，所以 在直角三角形中，， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，. 18．（23-24高三上·福建厦门·期中）在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为，则， 则， 故，则， 所以该棱台的体积为. 故选：C. 19．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 20．（23-24高三上·山东·月考）如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为__________．      【答案】 【分析】首先根据正棱台的侧面积得到斜高为1，再计算正棱台的高即可. 【详解】如图所示：      设正四棱台的侧高为，高为， 棱台的侧面积，所以. 所以. 故答案为： 【题型5：圆锥的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1圆锥的结构特征 由直角三角形绕一条直角边旋转而成，底面为圆，母线长相等，高为顶点到底面圆心的垂线段 2关键参数关系：母线（为底面半径，为高） 3表面积公式 侧面积： 表面积： 4体积公式 解题方法 1表面积计算 先求底面半径和母线长，直接代入公式计算侧面积和表面积 2体积计算 确定底面半径和高，代入公式计算；母线、高、底面半径已知任意两个，可求第三个 3轴截面应用 利用等腰三角形轴截面，通过勾股定理快速求出母线、高或底面半径 【题型突破】 21．（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【详解】设该圆锥的高为，母线为, 依题意可得，解得， 所以圆锥的母线长为， 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为； 设对应圆心角的弧度数为，则，因此. 22．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得. 【详解】因为圆锥的母线，高， 所以底面半径， 故其体积. 故选：A. 23．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知圆锥的底面半径为4，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．1 B．12 C． D．48 【答案】C 【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，解得， 则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，设顶角为， 可得，所以； 可知过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面是以为腰的等腰三角形， 设顶角为，则三角形面积. 当时，截面面积取得最大值为. 24．（25-26高一下·福建福州·期中）已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以. 25．（25-26高一下·山东淄博·月考）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【答案】(1) (2)；当时， 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式，圆锥的底面积公式，圆锥的表面积公式求解； （2）设圆柱的底面半径为，利用三角形相似得到，解得，求出圆柱的轴截面面积，得到是的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 【题型6：圆柱的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1圆柱的结构特征 由矩形绕一条边旋转而成，底面为等圆，母线平行且相等，高为两底面间的距离，等于母线长 2表面积公式 侧面积：（为底面半径，为高） 表面积： 3体积公式 解题方法 1表面积计算 已知底面半径和高，直接代入公式计算侧面积和表面积 2体积计算 代入公式直接计算；已知表面积或体积，可列方程反求或 3轴截面应用 利用矩形轴截面，已知底面直径和高，可直接计算相关参数 【题型突破】 26．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，实心圆锥 PO的轴截面是一个底边长为12，腰长为10 的等腰三角形，过PO上一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱OO'，若剩下几何体的表面积为，则圆柱的高为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算求出挖去的圆柱底面半径和高即可. 【详解】根据题意圆锥的底面直径为12和高是， 因为圆锥底面半径与圆锥的高比值为，设圆柱的高，圆柱的底面半径为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去的圆柱的侧面积， 圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为，所以. 所以圆柱的高， 故选：C 27．（25-26高二上·北京怀柔·期中）面积为2的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方形绕其一边旋转一周所得的几何体是圆柱，即求圆柱侧面积. 【详解】正方形的面积为2，则其边长为. 正方形绕其一边旋转一周所得的几何体是以为底面半径及母线长的圆柱， 其侧面积. 故选： 28．（25-26高二上·贵州遵义·期中）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是_____. 【答案】 【分析】根据已知几何体的表面积为圆锥表面积与挖去圆柱侧面积的和，再应用圆柱、圆锥的侧面积和表面积求法求面积. 【详解】由题意，几何体的表面积为圆锥表面积与挖去圆柱侧面积的和， 又圆柱底面半径为，高为2，则其侧面积为， 圆锥的母线长为，底面周长为，则其表面积为， 所以几何体的表面积为. 故答案为： 29．（25-26高二上·北京·期中）面积为4的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆柱侧面积公式求解即得. 【详解】面积为4的正方形边长为2， 绕该正方形任意一边所在直线旋转一周，所得的几何体都是底面半径为2，母线长为2的圆柱， 所以所得几何体的侧面积为. 故选：B 30．（25-26高二上·上海·期中）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】设圆柱的高为，由圆柱的侧面积为，列出方程，求得，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】已知圆柱的半径，设圆柱的高为， 由圆柱的侧面积为，可得，解得， 圆柱体积为：. 故答案为：. 【题型7：圆台的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1圆台的结构特征 由直角梯形绕垂直于底边的腰旋转而成，上下底面为平行的相似圆，母线长相等，高为两底面间的距离 2关键参数关系：母线（为上下底面半径，为高） 3表面积公式 侧面积： 表面积： 4体积公式 解题方法 1表面积计算 先求上下底面半径和母线长，代入公式计算侧面积和表面积 2体积计算 直接代入圆台体积公式；也可还原为圆锥，用大圆锥体积减去小圆锥体积求解 3还原法 延长母线补全为圆锥，利用相似三角形求出原圆锥的高和底面半径，再计算体积差 【题型突破】 31．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出圆台上、下底面的半径和，母线长及高的值，再代入圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为，高为. 由圆台上、下底面面积分别是，，可得，解得， 由圆台的侧面积是，可得，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积为. 32．（25-26高一下·天津·期中）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 33．（25-26高二上·上海·期中）（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 【答案】（1）证明见解析 ；（2），；（3） ． 【分析】（1）补形得出圆台体积等于圆锥体积的差计算证明； （2）应用圆台，圆柱，圆锥的体积计算求解； （3）应用圆台，圆柱，圆锥的侧面积计算求解. 【详解】（1）补形成圆锥，圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥的体积，大圆锥高为，小圆锥高为， 大圆锥体积减去小圆锥体积为 由圆锥性质，， 由合比性质，， 表示， 所以， ． （2） 该旋转体体积等于两个圆台体积加一个圆柱体积减去两个圆锥体积． 圆台， 圆锥， 圆柱， 所求几何体的体积． （3）该旋转体的表面积等于两圆台侧面积加一个圆柱侧面积加两个圆锥侧面积， 圆台侧 圆柱侧 圆锥 所求几何体的表面积. 34．（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，. 故选：D. 35．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直角梯形绕直角边旋转，形成圆台，然后通过梯形的边长确定圆台上、下底面半径及母线长，最后利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】 如图所示，直角梯形绕直角边旋转一周得到圆台，其中： 上底面半径，下底面半径，母线长为边的长度. 在梯形中，， 则圆台的侧面积． 故选：A. 【B·能力突破题型】 【题型1：几何体的最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 1核心原理：两点之间线段最短，立体表面的最短路径问题，本质是将立体侧面展开为平面图形，再求两点间的线段长度 2常见几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台 3展开方式：沿棱或母线剪开，将侧面展开为矩形、扇形、梯形等平面图形 解题方法 1圆柱侧面最短路径 沿母线剪开，展开为矩形，底面圆周长为矩形的长，高为矩形的宽，两点间的线段长度即为最短路径 2圆锥侧面最短路径 沿母线剪开，展开为扇形，计算扇形的圆心角，确定两点在扇形中的位置，再用余弦定理求线段长度 3棱柱/棱锥侧面最短路径 沿侧棱剪开，将侧面展开为平面图形，确定两点位置，构造直角三角形，用勾股定理计算最短路径长度 4通用步骤 确定展开方式→画出展开图→确定两点位置→计算线段长度 【题型突破】 36．（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【分析】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【详解】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 37．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 38．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    【答案】 【分析】根据条件，求出各个长度，以及和的长，即可求出所需圆心角，将圆锥的侧面展开，分析可得线段AB即为所求，根据余弦定理，即可求得答案. 【详解】连接OA，OB，因为，，则，    所以劣弧即缺少的圆弧的长为，占底面圆周的，    圆O的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图，即扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的长为，则， 所以 ， 所以，则从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是. 故答案为： 39．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    40．（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 【题型2：几何体的外接球问题】 【练方法】 知识梳理 1外接球定义：经过几何体所有顶点的球，球心到各顶点的距离相等，等于球的半径 2常见几何体的外接球模型 长方体/正方体：外接球直径等于体对角线长度， 直棱柱：外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，半径（为底面外接圆半径，为高） 正棱锥：外接球的球心在高线上，设高为，底面外接圆半径为，则，解方程求 解题方法 1长方体/正方体模型 直接用体对角线公式计算外接球半径，快速秒杀 2直棱柱模型 先求底面外接圆半径，再结合高，用勾股定理求外接球半径 3正棱锥模型 确定底面外接圆半径和高，设球心在高线上，列方程求解 4补形法 将不规则几何体补成长方体、正方体或直棱柱，利用补形后的几何体的外接球求解原几何体的外接球 【题型突破】 41．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 42．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 43．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 44．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】 根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 45．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 【题型3：几何体的内切球问题】 【练方法】 知识梳理 1内切球定义：与几何体所有面都相切的球，球心到各面的距离相等，等于球的半径 2核心公式：等体积法，（为几何体体积，为表面积，为内切球半径） 3常见几何体的内切球模型 正方体：内切球直径等于棱长， 正四面体：内切球半径（为高），外接球半径，且 解题方法 1正方体模型 直接用棱长的一半作为内切球半径 2正四面体模型 利用内切球与外接球的比例关系，或用等体积法计算 3通用方法（等体积法） 先求几何体的体积和表面积，再代入公式求解内切球半径 4规则多面体 利用对称性，确定球心位置，再结合几何关系求半径 【题型突破】 46．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，且，根据题意求得，根据圆台、球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台上底面半径为，下底面半径为，且， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的，母线长， 在中，，即， 所以，故， 因为， 球的体积为， 圆台与球C的体积之比为. 47．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切球的球心将三棱锥分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球半径，再根据等体积法可得内切球半径，从而可得球的体积. 【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 48．（25-26高三上·山东威海·期中）某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的表面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆锥侧面展开图求出圆锥的底面半径和高，再确定圆锥内接球的最大半径，最后计算球的最大表面积. 【详解】扇形半径即圆锥母线， 扇形弧长即圆锥底面周长：，因此圆锥底面半径， 圆锥的高， 当球为圆锥的内切球时，表面积最大，设内切球半径为，    利用轴截面的相似性，轴截面为等腰三角形，底边长为，高为， 内切圆半径满足：， 解得：， 球的表面积. 故选：A. 49．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 50．（25-26高三上·浙江杭州·月考）某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解. 【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：    由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：B 【题型4：表面积与体积中的最值问题】 【练方法】 知识梳理 1核心思路：将表面积或体积表示为单变量函数，利用函数性质（单调性、二次函数最值、三角函数值域）求解 2常见载体：含参数的几何体、动态变化的几何体、给定约束条件的几何体 3常用方法：基本不等式、导数法、几何临界法 解题方法 1函数建模 根据几何体的参数关系，将表面积或体积表示为某一变量的函数，确定变量的取值范围 2基本不等式法 利用均值不等式，如，求面积或体积的最值，注意等号成立条件 3导数法 对函数求导，分析单调性，确定极值点，结合定义域求最值 4几何临界法 分析几何体的动态变化，找到临界位置（如相切、顶点重合），计算对应的表面积或体积 5变量消元法 【题型突破】 51．（25-26高一下·湖南·月考）为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的高，再由梯形的面积公式求解即可. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，.分别用，表示，，即可表示出，令，则，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 52．（2026·河南·模拟预测）已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径以及高，根据题意列出方程，根据基本不等式求解即可. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，已知球半径. 因为圆柱上下底面圆周都在球面上，球心在圆柱的轴线的中点， 由勾股定理得：， 所以，即，当且仅当. 则该圆柱侧面积为，故其最大值为. 53．（25-26高二上·上海·期中）一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 【答案】 【分析】先由三角形的面积公式得到母线长，再由圆锥的结构求出底面半径，然后由侧面积公式计算可得. 【详解】设过圆锥的顶点的截面的顶角为，母线长为，底面半径为 则可得过顶点的截面面积为， 又圆锥的轴截面的顶角为，故当时，截面面积的最大值为，所以， 所以底面半径为， 所以此圆锥的侧面积是. 故答案为：. 54．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知球O的半径为1，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则该四棱锥的体积最大值为______. 【答案】 【分析】得到四棱锥体积表达式，再利用不等式去求四棱锥体积的最大值. 【详解】设该四棱锥底面为四边形，四边形所在小圆半径为， 设四棱锥的高为，则，， 当且仅当即时等号成立． 故答案为: 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中核心考点04：立体几何】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础过关检测】 【题型1：立体图形直观图】 【练方法】 知识梳理 1斜二测画法核心规则 建系：原图，直观图，夹角或 平行关系：与轴平行的线段，平行关系不变，长度不变 与轴平行的线段，平行关系不变，长度变为原来的 与轴平行的线段，长度与方向均不变 2原图与直观图的面积关系 解题方法 1原图转直观图 按斜二测规则画坐标系，确定关键点坐标，按比例缩放轴长度，依次连线 2直观图还原原图 将轴方向线段长度乘以2，恢复直角坐标系，计算原图的边长、面积 3面积换算 直接套用面积比例公式，无需画图，快速计算 【题型突破】 1．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 3．（25-26高一下·湖南·月考）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 5．（25-26高一下·福建福州·期中）是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 【题型2：棱锥的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1棱锥的结构特征 底面为多边形，侧面为共顶点的三角形，高为顶点到底面的垂线段 2表面积公式 侧面积：各侧面三角形面积之和，正棱锥侧面积（为底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为高） 解题方法 1表面积计算 先求底面边长与周长，再求斜高或各侧面的高，计算侧面积，最后加底面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式计算；高未知时，可通过勾股定理或等体积法求解 3正棱锥问题 利用底面中心与顶点连线为高，结合底面外接圆半径，构造直角三角形求斜高、高 【题型突破】 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高一·全国·专题练习）在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高二上·北京·开学考试）一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西西安·一模）若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型3：棱柱的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1棱柱的结构特征 两底面平行且全等，侧面为平行四边形，侧棱互相平行且相等，直棱柱侧棱与底面垂直 2表面积公式 侧面积：直棱柱（为底面周长，为侧棱长），斜棱柱各侧面平行四边形面积之和 表面积： 3体积公式 （为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 直棱柱直接用底面周长乘侧棱长求侧面积，再加两个底面积；斜棱柱需分别计算各侧面面积 2体积计算 确定底面和对应的高，直接代入公式；斜棱柱的高为两底面间的垂直距离，需注意与侧棱的区别 3特殊棱柱（长方体、正方体） 直接用公式计算：长方体，正方体，表面积分别为、 【题型突破】 11．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 13．【多选题】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（   ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为 14．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3 15．（24-25高一下·山东·期中）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 【题型4：棱台的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1棱台的结构特征 由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到，上下底面平行且相似，侧棱延长线交于一点，侧面为梯形 2表面积公式 侧面积：正棱台（为上下底面周长，为斜高） 表面积： 3体积公式 （为两底面间的距离） 解题方法 1表面积计算 先求上下底面的周长和面积，再求斜高，计算侧面积，最后加上下底面积 2体积计算 直接代入棱台体积公式；也可还原为原棱锥，用大棱锥体积减去小棱锥体积求解 3还原法 延长侧棱补全为棱锥，利用相似三角形求出原棱锥的高，再计算体积差 【题型突破】 16．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 18．（23-24高三上·福建厦门·期中）在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 20．（23-24高三上·山东·月考）如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为__________．      【题型5：圆锥的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1圆锥的结构特征 由直角三角形绕一条直角边旋转而成，底面为圆，母线长相等，高为顶点到底面圆心的垂线段 2关键参数关系：母线（为底面半径，为高） 3表面积公式 侧面积： 表面积： 4体积公式 解题方法 1表面积计算 先求底面半径和母线长，直接代入公式计算侧面积和表面积 2体积计算 确定底面半径和高，代入公式计算；母线、高、底面半径已知任意两个，可求第三个 3轴截面应用 利用等腰三角形轴截面，通过勾股定理快速求出母线、高或底面半径 【题型突破】 21．（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 22．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知圆锥的底面半径为4，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．1 B．12 C． D．48 24．（25-26高一下·福建福州·期中）已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一下·山东淄博·月考）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【题型6：圆柱的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1圆柱的结构特征 由矩形绕一条边旋转而成，底面为等圆，母线平行且相等，高为两底面间的距离，等于母线长 2表面积公式 侧面积：（为底面半径，为高） 表面积： 3体积公式 解题方法 1表面积计算 已知底面半径和高，直接代入公式计算侧面积和表面积 2体积计算 代入公式直接计算；已知表面积或体积，可列方程反求或 3轴截面应用 利用矩形轴截面，已知底面直径和高，可直接计算相关参数 【题型突破】 26．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，实心圆锥 PO的轴截面是一个底边长为12，腰长为10 的等腰三角形，过PO上一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱OO'，若剩下几何体的表面积为，则圆柱的高为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 27．（25-26高二上·北京怀柔·期中）面积为2的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·贵州遵义·期中）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是_____. 29．（25-26高二上·北京·期中）面积为4的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 30．（25-26高二上·上海·期中）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 【题型7：圆台的表面积与体积】 【练方法】 知识梳理 1圆台的结构特征 由直角梯形绕垂直于底边的腰旋转而成，上下底面为平行的相似圆，母线长相等，高为两底面间的距离 2关键参数关系：母线（为上下底面半径，为高） 3表面积公式 侧面积： 表面积： 4体积公式 解题方法 1表面积计算 先求上下底面半径和母线长，代入公式计算侧面积和表面积 2体积计算 直接代入圆台体积公式；也可还原为圆锥，用大圆锥体积减去小圆锥体积求解 3还原法 延长母线补全为圆锥，利用相似三角形求出原圆锥的高和底面半径，再计算体积差 【题型突破】 31．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·天津·期中）某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______． 33．（25-26高二上·上海·期中）（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 34．（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 35．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【B·能力突破题型】 【题型1：几何体的最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 1核心原理：两点之间线段最短，立体表面的最短路径问题，本质是将立体侧面展开为平面图形，再求两点间的线段长度 2常见几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台 3展开方式：沿棱或母线剪开，将侧面展开为矩形、扇形、梯形等平面图形 解题方法 1圆柱侧面最短路径 沿母线剪开，展开为矩形，底面圆周长为矩形的长，高为矩形的宽，两点间的线段长度即为最短路径 2圆锥侧面最短路径 沿母线剪开，展开为扇形，计算扇形的圆心角，确定两点在扇形中的位置，再用余弦定理求线段长度 3棱柱/棱锥侧面最短路径 沿侧棱剪开，将侧面展开为平面图形，确定两点位置，构造直角三角形，用勾股定理计算最短路径长度 4通用步骤 确定展开方式→画出展开图→确定两点位置→计算线段长度 【题型突破】 36．【多选题】（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 37．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 38．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    39．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 40．（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【题型2：几何体的外接球问题】 【练方法】 知识梳理 1外接球定义：经过几何体所有顶点的球，球心到各顶点的距离相等，等于球的半径 2常见几何体的外接球模型 长方体/正方体：外接球直径等于体对角线长度， 直棱柱：外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，半径（为底面外接圆半径，为高） 正棱锥：外接球的球心在高线上，设高为，底面外接圆半径为，则，解方程求 解题方法 1长方体/正方体模型 直接用体对角线公式计算外接球半径，快速秒杀 2直棱柱模型 先求底面外接圆半径，再结合高，用勾股定理求外接球半径 3正棱锥模型 确定底面外接圆半径和高，设球心在高线上，列方程求解 4补形法 将不规则几何体补成长方体、正方体或直棱柱，利用补形后的几何体的外接球求解原几何体的外接球 【题型突破】 41．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 42．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 45．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型3：几何体的内切球问题】 【练方法】 知识梳理 1内切球定义：与几何体所有面都相切的球，球心到各面的距离相等，等于球的半径 2核心公式：等体积法，（为几何体体积，为表面积，为内切球半径） 3常见几何体的内切球模型 正方体：内切球直径等于棱长， 正四面体：内切球半径（为高），外接球半径，且 解题方法 1正方体模型 直接用棱长的一半作为内切球半径 2正四面体模型 利用内切球与外接球的比例关系，或用等体积法计算 3通用方法（等体积法） 先求几何体的体积和表面积，再代入公式求解内切球半径 4规则多面体 利用对称性，确定球心位置，再结合几何关系求半径 【题型突破】 46．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 47．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·山东威海·期中）某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的表面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高三上·浙江杭州·月考）某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（   ） A． B． C． D． 【题型4：表面积与体积中的最值问题】 【练方法】 知识梳理 1核心思路：将表面积或体积表示为单变量函数，利用函数性质（单调性、二次函数最值、三角函数值域）求解 2常见载体：含参数的几何体、动态变化的几何体、给定约束条件的几何体 3常用方法：基本不等式、导数法、几何临界法 解题方法 1函数建模 根据几何体的参数关系，将表面积或体积表示为某一变量的函数，确定变量的取值范围 2基本不等式法 利用均值不等式，如，求面积或体积的最值，注意等号成立条件 3导数法 对函数求导，分析单调性，确定极值点，结合定义域求最值 4几何临界法 分析几何体的动态变化，找到临界位置（如相切、顶点重合），计算对应的表面积或体积 5变量消元法 【题型突破】 51．（25-26高一下·湖南·月考）为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 52．（2026·河南·模拟预测）已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·上海·期中）一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 54．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知球O的半径为1，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则该四棱锥的体积最大值为______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $