专题5.2 分式的乘除 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

分式的乘除知识归纳与题型总结 思维导图 乘法法则一分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 分式的乘除 除法法测一 分式除以分式，把除式的分子、分母颜倒位置后，与被除式相乘 分式的乘除 分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别乘方 分式的浸台运算 式与数有相同的混合运算顺序一先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的 培优讲练 考点01分式的乘除 考点梳理 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表 示为异·台=胎 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表 示为层÷后=骨：号-是 典例引领 考向01 分式乘法 【例1】计算： (g2+号2的结果为 【答案】x2y4+1 【分析】根据分式乘法法则，积的乘方法则进行计算即可· 【详解】解：(+2=xy+1 2 x 1/27 考向02分式除法 【例2】计算： 2 x x2-1x-1 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结 果 【详解】解： x2-1x-1 x2 x-1 (x+1)(x-1)x x+1 考向03分式乘除混合运算 【例3】计算(x+y)÷+y.x 的结果是() xx+y A.x+y B. x2 C.x+y 0 x+y (x+y)2 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算.首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可。 【详解】解：原式=(x+y以xx x+y x+y x2(x+y) (x+y)2 x2 = x+y 一对点提升 【对点1】计算5ab.12x 的结果是() 3c Sab2 B.4c Aac 4b D. b C. 3b ac 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果. 2/27 【详解】解：原式_5abI2c2_4e 3cSab2 b 【对点2】如图，兰兰的作业纸被撕下来一部分，则被撕下部分的式子是 -x-1 【答案】x+1 【分折】将题中要求的式了转化为家一 ，，根据分式乘除运算法则计算即可. x-11 【详解】解：一xx-x+X王x+' 所以被撕下部分的式子是x+1. 【对点3】计算-42÷0. b a 【答案】- a 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果， 【详解】解：-a2÷0.6 b a r培日 6.b2 a 、6 考点02分式的乘方 考点梳理 交个 般地，当n是正整数时， P=号…君== 即（层= 影.这就 是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方 典例引领 3/27 考向01分式乘方 【例1】计算 5x2y 的结果是() -4x A.10x2y B.25x'y c. 25x2y2 D. -x2y2 4x 16 16 4 【答案】c 【分析】先约分，再利用分式的乘方法则，结合积的乘方法则化简即可得到结果. 【详解】解： 5x2y 4x -41 16 考向02 含乘方的分式乘除混合运算 【例2】计算a 1 的结果是() 0 A.a B.a3 C.ao D.a 【答案】A 【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果， 【详解】解： =a3. a =a :化简得结果为a 三对点提升 【对点1】计算： a (其中n为正整数) 【答案】 b2n 4/27 【详解】解： 【对点2】 1 【答案】 y 【分析】先根据分式的乘方法则计算两个分式的乘方，再将分式除法转化为分式乘法.最后 约分得到结果。 【详解】解： "yy 1 y 考点03分式的混合运算 考点梳理 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的 典例引领 考向01分式加减乘除混合运算 【例1】先化简，再求值： a+b a2+b2 1 其中a=6,b=-2. a-b a2-2ab+b2 a-b 【答案】 、262 ,-1 a-b 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再代入α、b值求解即可. a2-b2-(a2+b2） 【详解】解；原式= -(a-b) (a-b) 5/27 =a2-bB2-a2-b2 a-b 263 a-b 、26 a-b' 当a=6,b=-2时，原式= 2×(-2)2 =-1, 6-(-2 考向02分式化简求值 【例2】先化简，再求值： a+2 a-3+0+2 a2-4a+4 其中a=1. a-3 【答案】+2， a-2-3 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可。 【详解】解： a+2 a2-4a+4 +a+2÷ a-3 -3 _a+2+(a+2(a-3）.a2-4a+4 a-3 a-3 =a+2+a2-3a+2a-6a2-4a+4 a-3 a-3 =a2-4a2-4a+4 a-3 a-3 =a+2a-2.a-3 a-3 a-23 =0+2 a-2 1+2 当a=1时，原式= =-3」 1-2 考向03分式最值 【例3】已知X,y为正实数，则2+8x+”的最小值为（) x y A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式a+b≥2√ab(当且仅当a=b时取等号) 求解最小值 6/27 【详解】解：：x,y为正实数， :原式2+8x+y可拆分化简为：2y+8x+之-2华+8+1， x xy y x y :正实数a,b满足a+b≥2√ab, 令a=2Y,b=8 8x y 则2y+8x≥22y.8x=216=8. x y Vx y 当且仅当2-8x 即y=2x时取等号， x y :2y+8x+128+1=9. x y 即原式的最小值为9， 故选D。 一对点提升 【对点1】先化简，再求值： g+2a+la- 在-1、0、1、2中选择一个你喜欢的数 a2+a 作为a的值代入求值. 【路案】1 【分析】先计算分式的混合运算，根据分式分母不为0且除数不为0，得a≠0，a≠-1， a≠1，将a=2代入计算即可. 【详解】解： a2+2a+1.1 ÷a-a =a+12a2-1 a(a+1 a =(a+l(a+l(a-l） a(a+1) a =(a+1 a X a(a+1)(a+1(a-1 1 7/27 将a=2代入得， 原式 1 211 【对点2】先化简： a-4a+4a-4a】 a2-4"a+2 再从-2、-1、0、1、2中选择一个合适的a 值代入求值. 【答案】当a=1时，原式=1或当a=-1时，原式=-1. a 【详解】解： a2-4a+4, ÷a- a2-4"a+2 （a-22,a2+2a-4a （a+2)(a-2 a+2 a-2.aa-2) a+2a+2 =0-2.a+2 a+2 a(a-2) 由题意可知，分式有意义的条件是所有分母不为零且除式不为零，故a2-4≠0且 ≠0， a+2 解得a≠±2且a≠0， 当a=1时，原式=1， 当a=-1时，原式=-1. 【对点3】分式x2+2x+5 1 的最大值是() A.5 B.6 c. 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最 大值即可. 【详解】解：：x2+2x+5=(x+12+4,且(x+1)≥0， .x2+2x+5=(x+1)2+4≥4， .x2+2x+5的最小值为4， 8/27 “分式25的最大值是 x2+2x+5 故选：C 好题冲关 三一能力提升 一、选择题 x2-4 x-2 1.先化简。+4红+4x+2,再选取合适的整数代入，下列说法正确的是（） A.化简结果为x+2,x可取2 B.化简结果为x+2,x可取0 C.化简结果为+2 -2x可取1 D.化简结果为-2 x+2x可取2 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再根据分式有意义 的条件确定x的取值范围，最后判断选项即可. 【详解1解：原式--2x+2.+2-x+2 （x+2)2 x-2 根据分式有意义的条件分母不能为0，除式不能为0， 可得(x+2)2≠0x-2≠0 即x≠2且x≠-2 逐一判断选项： A.x=2时，除式为0，分式无意义，错误； B.化简结果为x+2,x=0,满足x≠2且x≠2，符合要求.正确： C.化简结果错误，错误： D.化简结果错误，且x=2时，分式无意义，错误 2.已知m、n满足1-上+L=0,则-严的值为0 。 m n m-n m n A.√i B.±√i C.5 D.±5 9/27 【答案】D 【分析】先对已知等式通分化简，得到m2+n2与m的关系，再对所求式子变形，利用完全 平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果， 【详解】解：：上_上-”-m-m-n, m n mnmn :原等式变形为，-m-”+1 -=0, mn m-n 移项得，1。m-n m-n mn 交叉相乘得，（m-n=mn,即m2-2mn+n2=mn, 整理得，m2+n2=3mn, n m n2-m2 m n mn 两边平方得： /nm2_(n2-m2_(m2+m2-4m2n2 m n (mn m'n2 将m2+n2=3mn代入得： (n_m_(3mn2-4m2n2_9m2n2-4m2n25m2nm2 m n m'n2 m'n2 mn25, ”-m=士5】 m n 3.下列说法正确的是() A.当x≠-2时，分式+2有意义 日。分式会与守的最商公分母是2寸 1 C.无论x为何值，一的值总为正数D.当分式一°值为0时，m=士4一 m+4 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为 零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式x+2有意义的条件是分母不为0，即x≠0，不是x≠-2， 所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式 3与 1 2x 的最简公分母是22，不是2y2,所以B错误： 10/27 C选项，因为对任意x都有x≥0，所以r+121>0,分了1>0，所以+>0恒成立，所 以C正确： D选项，因为分式值为0需满足分子为0且分母不为0，由m2-16=0得m=±4，又 m+4≠0即m≠-4，所以m=4,D错误。 4,计第。的带果等于（) A.-1 C.- 1 B.2-a D.-1 a+2 -2 【答案】C 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果 【详解】解：原式=a-2a+2a-2 4 1 4 a+2 Γ(a-2)(a+2）(a-2)(a+2) 4-(a+2) =(a-2a+2) 2-a (a-2)(a+2) 、1 a+2 5.化简分式： a-2L,1=a+1,则11部分的整式为() a-1a2-1 A.a-1 B.a+1 C.a-2 D.a+2 【答案】C 【详解】解：：a-2 =a+1, a-1a2-1 :a-2xa+0la-1 a-1」 =a+1, :(a+1la-2=a+1. ] ∴(a+1(a-2)=(a+1[], l]=a-2. 11/27 ,,1.m2-1 6.化简1+ 的结果是() mm 1 A. B.m-1 C.m+1 D. m-1 m+1 【答案】A 【分析】运用分式通分、平方差公式因式分解、分式约分的知识，解题思路为先计算括号内 的加法，再将除法转化为乘法，约分后得到结果. 【详解】解：原式=m+xm 一X mm2-1 =m+1 m m（m-1(m+1 1 -m-1 7.化简-2-，1的结果是（) x-11-x A.x+1 B.x C.x-1 D.x-2 【答案】A 【详解】解：原式=-2+1 x-1x-1 21 x-1 =x-x+ x-1 =x+1 8,已知a-6a+1=0且，？mc+)=2,则m的值为() 2a3+ma2+2a A. B.3 c号 D. 3 【答案】c 【分折】先利用已知等式。-6+1=0推导得氧a+。6和+宁=34，再发给定分式等 a 式变形，代入计算即可求出m的值， 【详解】解：：a2-6a+1=0,且a≠0， 1 等式两边同除以a得a+二=6， a 。,1)2 两边平方得a+1=36,展开得a2+2+=36,整理得a2+ =34, a 3 a2 12/27 a2-m+ 对等式。-ma+1=2,分子分母同除以a得g =2, 2a3+ma2+2a 2a+m+2 a 1 a2+ -m a 整理得 =2, 1 2a+ +m a 1 将a6,a34代入得4-2 a 12+m 去分母得34-m=212+m,解得3m=10,即m=10 3 9.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a,第二个数记为a2,第三个数记为a,以 此类推，第个数记为a(为正整数)，已知a,=.并规定：a0, 1 Tn=aaa…an,Sn=a1+a2+a3+…+an.则①a2=a5;②T+T2+T3+…+Too= 2x-1 1-x ③对于任意正整数k,T+3(S-S+2)=T-T-1-T-2成立，以上结论中正确的有（) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探索，熟练掌握有理数的运算是解题的关键.根据题 意逐一分析判断即可解答。 【详解】解：a=,a1-0 1 4aa=a= 1 1 a2=a,故①正确； Tn=a1a2a3…an, ..T=x, 1 T2=41·a2=x 1 1-x1- 1x-1 T3=a1a2·a3=x =-1, 1-x x 1x-1 Ta=aaa3a=x. X=-X, 1-x x 13/27 1x-11 Ts=aaza3aaas=x. 1-x x 、术 1-x1-x To=aazaasasd=x. 1x-1.x.1x-1=1, 一·X· 1-x x 1-x x T+T3+T+T+T+T6=0, 100÷6=16…4, T+工+工+…+工m=了+了+了+Z=2x1,故②正确 由①②可得a,、T,分别是以3和6为周期的数列， 当k为奇数时，I=1,此时7S-5,2)=-a1+a42)=-红+） x2-x-1 )= 1-x 1-x -71-,=-1-七-x=--,等式成立 1-x 1-x 当k为偶数时，=-山，此时7，S-S)=-(←1(a1+a)=x+=-++1， 1-x1-x 7=1-((←=，等式成立。散@正箱 1-x 综上所述，结论正确的有3个. 10.己知整式P=a2x2+ax+ao,Q=b2x2+bx+b。·其中ao,b为自然数，a,a2,b,b2为正整数， 且a2+a,+a=4,b+b+b。=3.下列说法： ①满足条件的所有整式P、Q中，不存在P+Q=x(2x+5): ②满足条件的所有整式P、Q中，整式P-Q共有3种结果不同的单项式： ③满足条件的所有整式P、Q中，若P+Q=R(P-Q),则有6种不同结果的整式R. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】根据题意，列出所有P,Q的情况，然后分别代入各式中逐一判断即可. 【详解】解：整式P=a2x2+ax+a,其中a为自然数，a,a2为正整数，且a2+a1+a=4, 当a2=1,a1=1,a0=2时，P=x2+x+2, 当a2=1,a1=2,00=1时，P=x2+2x+1, 14/27 当a2=1,a1=3,a0=0时，P=x2+3x, 当a2=2,41=1,a0=1时，P=2x2+x+1, 当a2=2,a1=2,a=0时，P=2x2+2x, 当a2=3,a1=1,a0=0时，P=3x2+x, 整式Q=b,x2+bx+b。·其中b,为自然数，b,b,为正整数，且b2+b+b。=3, 当b2=1,b=1,b。=1时，Q=x2+x+1, 当b2=1,b=2,b=0时，Q=x2+2x, 当b2=2,b=1,b=0时，9=2x2+x, 当a2=1,a1=3,a=0,b2=1,b=2,b。=0时， P+Q=x2+3x+x2+2x=2x2+5x=x2x+5),，故①不符合题意； 当P=x2+x+2,0=x2+x+1时， P-Q=x2+x+2-x2+x+1=1 当P=x2+x+2,0=x2+2x时， P-9=x2+x+2-x2+2x=-x+2, 当P=x2+x+2,Q=2x2+x时， P-Q=x2+x+2-2x2+x=-x2+2, 当P=x2+2x+1,=x2+x+1时， P-Q=x2+2x+1-x2+x+1=x 当P=x2+2x+1,Q=x2+2x时， P-Q=x2+2x+1-x2+2x)=1, 当P=x2+2x+1,9=2x2+x时， 15/27 大 P-Q=x2+2x+1-2x2+x=-x2+x+1, 当P=x2+3x,Q=x2+x+1时， P-Q=x2+3x-（x2+x+1=2x-1 当P=x2+3x,Q=x2+2x时， P-Q=x2+3x-（x2+2x)=x, 当P=x2+3x,Q=2x2+x时， P-Q=x2+3x-2x2+x=-x2+2x, 当P=2x2+x+1,，9=x2+x+1时， P-0=2x2+x+1-(x2+x+1=x2 当P=2x2+x+1,0=x2+2x时， P-Q=2x2+x+1-x2+2x=x2-x+1, 当P=2x2+x+1,0=2x2+x时， P-Q=2x2+x+1-(2x2+x=1, 当P=2x2+2x,Q=x2+x+1时， P-Q=2x2+2x-x2+x+1=x2+x-1 当P=2x2+2x,Q=x2+2x时， P-Q=2x2+2x-x2+2x)=x2, 当P=2x2+2x,9=2x2+x时， P-Q=2x2+2x-2x2+x=x, 当P=3x2+x,Q=x2+x+1时， P-0=3x2+x-（x2+x+1=2x2-1 16/27 当P=3x2+x,Q=x2+2x时， P-Q=3x2+x-x2+2x=2x2-x, 当P=3x2+x,Q=2x2+x时， P-0=3x2+x-(2x2+x)=x2, 有3个不同的单项式为x2,x,1,故②符合题意； P+2=R(P-0), R=P+o P-O' 当P=x2+x+2,0=x2+x+1时， R=P+2_+x+2+(x2+x+1) =2x2+2x+3, P-9x2+x+2-（x2+x+1 当P=x2+x+2,Q=x2+2x时， R=P+_+x+2+(r+2x_2r2+3x+2 P-9x2+x+2-(x2+2x 2-x 当P=x2+x+2,0=2x2+x时， R=P+g_+x+2+(2x+y3x2+2x+2 P-0x2+x+2-(2x2+x 2-x2 当P=x2+2x+1,Q=x2+x+1时， R=P+_+2x+1++x+l22+3x+2 P-9x2+2x+1-x2+x+1 当P=x2+2x+1,0=x2+2x时， R-P+g-+2x+1++2-2r+4r+1. P-0x2+2x+1-（x2+2x 当P=x2+2x+1,0=2x2+x时， 17/27 以女 LZ/8T 州x+x7=0‘x忆+x忆=d果 (z+-+_0-d=x t+xE (x+)+x+8+d x7+x=0‘x忆+x忆=d果 【x+_+x++_0d=Y I+xE+*E+x+x)+x+8+d ‘I+x+x=0x忆+xZ=d尿 ‘I+xZ+xh= (k+-1+x+_0-d=N (x+x)+1+x+8+d ‘阳x+xZ=0‘I+x+xZ=d示 ,1+x-式_（忆+-I+x+_0d-刘 I+xE+*Ex+x)+1+x+x+d ‘阳x7+x=0·I+x+x忆=d呆 x (I+x+x)-I+x+x7 0-d +x+E+x+x)+1+x+x+d ‘刚I+x+x=0‘I+x+x忆=d呆 ,乙+x_++-0d=Y t+xE (x+x)+xE+x8+d ‘州x+xZ=0‘xE+x=d杲 (x忆+x-xg+x0-d ‘S+x7= (z+)++xǒ+d ‘阳xz+x=0·xE+x=d示 I-xt +x+-+2_0-d=Y I+xt++x+x)+xE+x8+d ‘阳I+x+x=0‘xE+x=d示 ·器 R=P+_2x+2x+2x2+) P-92x2+2x-2x2+x =4x+3, 当P=3x2+x,0=x2+x+1时， R=P+0_3x+x++x+142+2x+1 P-032+x-x2+x+12x2-1 当P=3x2+x,Q=x2+2x时， R=P+0_+x+(+2x)4x+3 P-93x2+x-(x2+2x2x-1 当P=3x2+x,0=2x2+x时， R=P+0_3+x+(2x+_5x2+2x P-03x2+x-(2x2+xx2 若P+Q=R(P-Q),则有5种不同结果的整式R,故③不符合题意； 综上，符合题意的只有②，共1个 二、填空题 11已知+3是+8，则w· x y 【答案】2 11 11 【分析】利用完全平方公式，将：十)两边平方后，结合已知的+了的值，建立关于的 方程求解。 【详解】解：对上+上-3两边同时平方，根据完全平方公式得 x y x V 1,2,1 展开得+好+宁=9， 将宁+了8代入上式得8+2=9. 11 移项得2=1， xy 解得y=2. 12.已知a2-a-1=0,则代数式a-1÷a,a的值是 a2+aa2+2a+1 19/27 【答案】 1 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式 子计算即可得到结果 【详解】解：a-La2-a a2+aa2+2a+1 =-a-1 a(a-1) Γa(a+l）(a+11 =a-1(a+12 aa+1)a(a-1 =0+1 a2 a2-a-1=0, 移项得： 将 代入. 可得：原式=a+!1 a+1 13.化简：+6x-9 x-3+3-x 【答案】 x-3 【分析】先利用分式的基本性质将原式化为同分母分式，再根据同分母分式的加法法则计算， 对分子因式分解后约分即可得到结果. 【详解1解：+6x-9-6r-9_-(6r-9_-6x+9_x-3引=x-3 x-33-xx-3x-3x-3 x-3x-3 14.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1,第二个数记为42，第三个数记为a, 以此类推，第个数记为a。(为正整数).已知a,=x,,=x2+3x,并规定：a2=0±， a 如：4-4,4，-2，则下列结论：①a=}；②考4=5，则6x,=-6:®若 a a, a 3x-5 4品2明4-子@者。于修值为整数，则满足条件的整数状有6 20/27 个，其中正确的结论有 ·(填写所有正确结论的序号) 【答案】①②③④ 【分析】先计算前几项得到数列每6个数为一个周期循环，再逐一判断每个结论即可. 【详解】解：a1=x,a2=x2+3x,an+2= a a==2+3x =x+3, a a,=4=x+31 a2 x(x+3 x' 1 a;x(x+3 x2+3x' 1 ==x2+3z=1 a6 a41 x+3 x 1 4=s=x+3=x=4, 1 x2+3x ,=4= =x2+3x=a, a61 x+3 …, :该数列以6个数为一个周期循环， ①2026÷6=337……4， 1 ·a2026=a4=二，故①符合题意： 4=x+3=x2+3x=5 ②a41 .x2=5-3x, :6x_5-3x-63x-51-6,故②符合题意： 3x-53x-53x-5 国0aAa243+F中51，原一-个网期的率积为 a1a2…a24a25=(a1a2…a6）'·a25=14a5=a25=2, 25÷6=41, .025=a1=x=2, 21/27 28÷6=4……4, =,，故③符合题意： .∴.a28=44=- ④2024÷6=337……2,2025÷6=337……3， a2024=a2=x2+3x,a2025=a3=x+3, 0+=2.+3x+-2.r+4-2_+2-6-r+2-6 02025-1 x+3-1 x+2 x+2 +2 :原式的值为整数，x为整数， .x+2是6的约数， .x+2=±1，±2,3，±6，即x=-1,-3,0,-4,1,-5,4,-8, 由数列定义a2=1及各项表达式可知，分母均不能为0， a x≠0，x≠-3， 根据分式有意义可知，分母a2o25-1≠0，即x+3-1≠0，则x≠-2， 排除x=0,x=-3,符合条件的x共6个，故④符合题意； 综上，符合题意的有①②③④ 定义当树，：专 则 -2261+1-2021++-2+1--fo+/-f+f5+/06月 【答案】 2027 【分析】先推导得到f(x)+f =1,且f(-x)=f(x),据此对原式两两配对，再加上 f(0)+f(1)+f(1)的值即可得到结果. 【详解】解：：fx)= 1 1+x2, 22/27 + 原式 --202+-02-2+…-+0++jf2小fsg =f22+is+024+++r0+1m+7ff6+/4+1sr6 -i0++n2++…sjf[2+s =,1+++1x2025 1+0+22 e1+分号20m2s =2027. 三、解答题 16.计算、化简： a+-: a4 x2-4 【答案】(1)2 (2)x-2 【详解】(1)解：π°+27 =1+3-2 =2. (2)1+1÷x+3 、x+2 x2-4 23/27 -x+3.(x+2(x-2) x+2 x+3 =x-2. 17.先化简，再求值：x+1+ x2-423】 x2-2x+1xx-1 其中x是3√2的整数部分。 【答案】2r-1,7 x-1’3 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的估算.先运用分式运算法则进行化简， 注意混合运算的运算顺序，再根据二次根式的估算，得出x的值，最后将x的值代入化简后 的式子中计算得出最后结果， 【g112径司 =x+1+产-4「2(x-13x] x2-2x+1x(x-1xx-1 =x+1+r-42x-2-3x x2-2x+1x(x-1 =x+1+ x2-4,-x-2 x2-2x+1'x(x-1 =x+1+x+2(x-2,x(x-1) (x-1 -(x+2) =x+1-x-2) x-1 =-1-2+2x x-1 =2x-1 x-1? :4<3V2=V18<5, x=4 :原式=8-17 4-13 18.计算和化简 (1)计算：-2026-√4+(-1)°. 24/27 (2)化简： a2-2a.2a-1 a2-1(a-1 -a-1 【答案】(1)2025 2)1 a+1 【详解】(1)解：原式=2026-2+1 =2024+1 =2025; 2解o2a可 aa-2）÷ aa-2「2a-1(a+l(a-1 =(a+1(a-)a-1 a-1 aa-2） 「2a-1_a2-l aa-a-1a号 aa-2）2a-1-a2+l (a+1(a-l)a-1 aa-2）,2a-a2a(a-2）a-1 =(a+l(a-1a-1(a+1la-1a(2-a a+1 19.阅读下列解题过程： 1xV5-4) 5-4 4+5(5+4(5-④(5-(4 =V5-2 1×(6-5) 6-5 5+66+56-5(6-(5 =6-5 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： 1 1+2+2+5+5+4+…+7+s+8+丙 (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较3-√不与√5-√3的大小，并说明理由. 3)若a=√+√6，请用a的代数式表示√=一·（要求表示a的代数式中不含根号） 25/27 【答案】(1)2 (2)3-而>√5-√3，理由见解析 3)02+1 2a 【分析】(1)根据题干中的计算方法进行解答即可； (2)计算两个数的倒数的值，再进行比较即可； (3)求出6-5=1，和已知条件相加即可求出答案。 1 【详解】1)解：1+万+2+5*5+4+…+万+s+8+5 =√2-1+5-√2+V4-5+…+9-V⑧ =5-1 =3-1 =2; 3+√ √3+i (2)解：5-而-ms+而2一， 1 5+35+丽 15-135-35+3 2 :3+而<5+， :3+面，+ 2 2 1 1 ·-而5-' 3-而>5-3 (3)解：“a=5+√6， (6-5)a=(6-55+6)=(6-(5=1, 6-5=1, a “a=5+6, 26=a+1-a+1, aa 26/27 6=a2+1 2a 20先化商，再球货：-训3x+小-3-2小+2任共中 - 4 【答案】 4V3 x+2, 3 【分析】先根据整式和分式的混合运算的法则把原式进行化简，再根据绝对值的性质和负整 数指数幂的运算法则求出x的值，然后代入求值即可. 【f1-训3+--小22】 =3r+2x-3x-2-3x2-2x+x-2÷x+2-2x (x+22xx+2) =3x+2x-3x-2-3x2+2r+x-2.xx+2 (x+222-x x-2-2 x+2 =x-2x+2-x2 x+2 =2-4-x2 x+2 、4 x+2 =-{9=5-2 原式=- 4 4 =-4=-45 x+2√5-2+2√53 27/27 分式的乘除 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 分式的乘除 考点梳理 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 典例引领 考向01 分式乘法 【例1】计算： 的结果为______． 考向02 分式除法 【例2】计算：________ 考向03 分式乘除混合运算 【例3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【对点2】如图，兰兰的作业纸被撕下来一部分，则被撕下部分的式子是________． 【对点3】计算______． 考点02 分式的乘方 考点梳理 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 典例引领 考向01 分式乘方 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 考向02 含乘方的分式乘除混合运算 【例2】计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 对点提升 【对点1】计算：（其中n为正整数）________． 【对点2】____． 考点03 分式的混合运算 考点梳理 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 典例引领 考向01 分式加减乘除混合运算 【例1】先化简，再求值：，其中，． 考向02 分式化简求值 【例2】先化简，再求值：，其中． 考向03 分式最值 【例3】已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 对点提升 【对点1】先化简，再求值：，在、0、1、2中选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【对点2】先化简：，再从、、、、中选择一个合适的值代入求值． 【对点3】分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．先化简，再选取合适的整数代入，下列说法正确的是（   ） A．化简结果为可取2 B．化简结果为可取0 C．化简结果为可取1 D．化简结果为可取2 2．已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 4．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 5．化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知整式．其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式、中，不存在； ②满足条件的所有整式、中，整式共有3种结果不同的单项式： ③满足条件的所有整式、中，若，则有6种不同结果的整式． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题 11．已知，，则_____． 12．已知，则代数式的值是______． 13．化简：_______． 14．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，则下列结论：①；②若，则；③若则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 15．定义，即当时，；当时，，则_____． 3、 解答题 16．计算、化简： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中x是的整数部分． 18．计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 19．阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 20．先化简，再求值：，其中． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $