2026年中考数学二轮复习专项训练二次函数提升：角度存在性问题

**基本信息** 聚焦二次函数角度存在性问题，分基础、中档、拔高三层，覆盖从解析式求解到动态几何综合应用，梯度衔接紧密，适配中考二轮专题复习。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线解析式求解|均为待定系数法，巩固概念理解，培养符号意识| |中档|面积最值、线段长度|结合动态点，训练运算能力与几何直观| |拔高|角度存在性、平移变换|需分类讨论，发展推理能力与创新意识|

2026年中考数学二轮复习专项训练 二次函数提升：角度存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 4．抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 5．已知二次函数（的图像经过点，抛物线上两点，，满足，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，若，且，求线段的长度； (3)已知，，点P是直线下方抛物线上一点，作轴，交于点Q，若线段的最大值是8，求直线的解析式． 6．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求的值． (2)若点D是直线上方的抛物线上一点，当点D到直线距离最大时，求点D坐标，并求出最大距离． (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线经过两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使周长最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)在轴上，是否存在点使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 9．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点，，点P为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知C关于x轴的对称点为，连接，，，求的面积； (3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，连接，当时，直接写出符合条件的点M的横坐标，并写出求其中一个点M的横坐标的过程． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 13．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 14．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 15．如图，抛物线经过、，与轴交于另一点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点．于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)的最大值为，点 (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为，即． 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则在中，， ∴， ， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴，即点的横坐标为； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， ∵，， ∴在中，， ， 当时，， ∴在中，， ∴， 即， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线，得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 2．(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 3．(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 4．(1) (2) (3)过定点， 【分析】(1)用待定系数法求二次函数的解析式； (2)延长交轴于，在上取点，使，可得，根据等角对等边可得，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程即可求出点的坐标； (3)设点的坐标是、点的坐标是，可得直线的解析式是，根据直线、、抛物线有公共交点，可得点的坐标是，从而可得，即直线的解析式是，根据解析式可知直线过定点． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 如下图所示，延长交轴于，在上取点，使， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ， ，， ， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 直线的解析式是， 联立， 解得：， 点的坐标是； （3）解：设点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是 联立 ， 直线与抛物线只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 直线的解析式是， 同理可得直线的解析式是， 解方程， 可得：， 点的坐标是， 点的坐标是， ， ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求解． 5．(1) (2)8 (3)或． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与角度综合、二次函数与线段的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将代入求得a的值即可解答； （2）由题意可得、、，再运用待定系数法可得直线的解析式为，再结合点可得；再求得直线的解析式为，再根据对称性可得关于y轴的对称点在直线上，代入可得，易得，即，，再求线段的长度即可； （3）如图：设直线的解析式为，，则， ，易得，即当时，有最大值，再根据有最大值为8列方程求得k的值即可确定 直线的解析式． 【详解】（1）解：将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴， ∵抛物线上两点，， ∴，， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线与y轴交于点C， ∴，即； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴是的角平分线， ∴直线关于y轴对称， 设关于y轴的对称点在直线上， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴轴， ∴的长为． （3）解：如图： 设直线的解析式为，，则， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∵有最大值为8， ∴，解得：， ∴直线的解析式为或． 6．(1) (2)， (3)存在点P，直线的解析式为或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）根据待定系数法即可得出结果； （2）过作于点，作轴，交于点，易得为等腰直角三角形，得到，进而得到当的值最大时，最大，即点D到直线BC距离最大，进行求解即可； （3）分点在直线下方，与点在直线上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， 得， 解得：； （2）由（1）知：， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 过作于点，作轴，交于点， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大，即点D到直线BC距离最大， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为，此时，的最大值为． （3）解：存在点P，理由如下： 当点在直线下方时， 在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，    由（2）得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故直线的解析式为； 当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，      ∴， ∴， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故设直线的解析式为， ，且过点， 故设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 7．(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入抛物线，即可求得该抛物线的解析式； （2）由题意可知要使的周长最小，则需要的值最小，作点关于抛物线对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，求出直线的函数解析式即可求解出点的坐标； （3）连接，可证，则，要使，即只要有即可，第一种情况为在轴负半轴上存在一点，使，则有，利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得，，点即为所求；第二种情况为在轴正半轴上存在一点，使得，利用等腰三角形的“三线合一”的性质，求出点关于的对称点，直线与轴正半轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得 ∴； （2）解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，此时周长最小， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 令，则， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：连接，如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ①当点在轴的负半轴上点处，且时，此时垂直平分线段，如图： 则， 根据“三线合一”的性质可得，， ， ∴此时点符合题意， ∴此时点的坐标为； ②作点关于直线的对称点，连接交于，交轴于，如图： 根据轴对称的性质可得，直线与轴的交点坐标即为所求的点P的坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 将直线的解析式与直线的解析式联立，组成方程组， 解得， ∴， 根据轴对称的性质可知，点是线段的中点， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为 令，得， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键． 8．(1)， (2) (3)存在；， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化，涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系． （1）联立抛物线方程与直线方程解出点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出点坐标； （2）确定抛物线在的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围； （3）当在直线上方时，构造，利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标；当在直线下方，构造全等三角形，，计算点坐标． 【详解】（1）解：求点和点的坐标 联立：解得或 故点． 抛物线化为顶点式：， 故点． （2）抛物线开口向上，对称轴为， 当 取值范围内时，时，（最小值）； 当时，随增大而减小，时，； 当时，随增大而增大，时， 比较得：最小值为，最大值为， 故的取值范围为 ． （3）解：分两种情况讨论： ①当在直线上方时， 过点作， 设，， 解得，则 令，，点 ∵，直线与轴交于点，直线与轴交于点 ∴可将直线是直线沿方向平移（即向左平移个单位） 则 联立：解得或（舍） 故点． ②当在直线下方， ， 过点作轴于点，延长与交于 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点 设，，则 联立：，解得或（舍） 故点． 综上所述，，． 9．(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作轴交于点E，交于点G，过点D作于F，由B、C的坐标知是等腰直角三角形，则，求出直线的解析式，则可得直线的解析式：设，则可得点E的坐标，求得的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：在直线的下方；在直线的上方；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是注意分类讨论，作出图像，防止漏解． 10．(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则，求出的长，利用二次函数的性质求出最值即可得； （3）先求出新抛物线的解析式为，再求出，，，直线的解析式为，然后分两种情况：①过点作，交新抛物线于点，则，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得；②作，交新抛物线于点，交直线于点，根据等腰三角形的判定可得，据此可得，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：抛物线， 将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 将代入得：，解得或， ∴， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，且， ∴点的横坐标为， 将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ①如图，过点作，交新抛物线于点，则， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点）或， ∴； ②如图，作，交新抛物线于点，交直线于点， ∴， 设点的坐标为， ∴， ， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点）或， ∴； 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与图形的综合、二次函数最值问题、二次函数图象的平移、等腰三角形的判定、二次函数与二元一次方程组的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 11．(1) (2)9 (3)符合条件的点的横坐标为或 【分析】（1）先求解，，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）求解关于轴对称的点，，求解直线的解析式为，过作轴交于，则，再进一步求解即可． （3）先求解平移后，新抛物线为，如图，当在轴下方时，与平行时，． 求解直线为，进一步可得答案，如图，当在轴上方时， ．证明，可得，过作于，设，进一步求解即可． 【详解】（1）解：令，得 由，， 得，即， 将，代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：关于轴对称的点 由，得， 设直线的解析式为，将代入，得， 解得，即． 过作轴交于，则． ． （3）解：原抛物线，沿射线平移个单位， ∴抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，平移后，新抛物线为， 如图，当在轴下方时，与平行，． ∵，， 同理可得：直线为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为 ∴， 得，即， 解得，（舍去）， ∴的横坐标为， 如图，当在轴上方时， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， 设， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，图形面积的计算，二次函数的平移，锐角三角函数的应用，一次函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．(1)， (2)的周长最小为12， (3)存在，或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，连接，易得四边形为正方形，求出点坐标，进而得到当点在线段上时，的周长最小为的长，求出直线的解析式，联立两条直线的解析式求出点坐标即可； （3）分点在上方和下方，2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； （2）作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则：，解得， ∴， 联立，解得； 故； （3）存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 13．(1) (2) (3)点纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，则，当时，，求出；当时，，求出；当，时，，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ， （2）解：当时，， ， 设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ． （3）解：设直线的解析式为， 当时， 解得：或， ， ， 当时，， 解得：或（舍）， ； 当时，， 解得或（舍）， ； 当时，， ， 解得：或（舍）， ， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 14．(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 15．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可得解； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过、， ， 解得， 抛物线的解析式为。 （2）解： 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 （3）解：存在点D，使得中有一个角与相等． ，，， ∴,，， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $