第5章特殊平行四边形讲义（全章35大题型全突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质判定，以分层题型构建知识网络，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|9类36题|性质（边角对角线）、判定、直角三角形斜边中线、动点最值|从定义到性质判定，结合勾股定理与动态问题，形成"概念-计算-证明-应用"链条| |菱形|10类42题|性质（边长、对角线、面积）、判定、角度综合、图形拼接|以对角线为核心，关联等腰三角形与全等，深化对称性应用| |正方形|16类58题|性质辨析、边长面积计算、角度综合、判定与坐标系综合|融合矩形菱形特性，突出与45°角、翻折变换的综合，强化模型意识|

第5章 特殊平行四边形全章题型突破 题型一、矩形的基本性质（边角、对角线） 1．（2025春•玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 2．（2025春•德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D． 3．（2025春•瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　　 ． 题型二、矩形性质与勾股定理综合计算 1．（2025春•上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．1 2．（2026春•东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 3．（2025春•临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　） A． B． C． D．8 5．（2026春•江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　　 ． 6．（2026春•慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　　 ． 题型三、矩形性质与角平分线、等腰三角形综合 1．（2025春•拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（2025春•嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　） A．CF B．BF C．CE D．OF 3．（2025春•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论： ①AD＝AE；②∠DEA＝∠DEC；③DE⊥CF；④BF＝FC； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025春•宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　　 ． 题型四、矩形的判定（定义、定理直接应用） 1．（2026春•无锡期中）下列说法中，正确的是（　　） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 2．（2026春•英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 3．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形． 4．（2025春•杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形． 5．（2026春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形． 题型五、矩形判定的条件添加与说理题 1．（2025春•临海市期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 2．（2025春•广阳区校级期中）如图，在▱ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF． 嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形； 淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点． 对于他俩的说法，正确的是（　　） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．都正确 D．都不正确 3．（2025春•淄博期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　 （写出一个即可）． 4．（2025春•睢宁县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可） 5．（2025春•靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　 　 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 6．（2026春•孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O． （1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由． （2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　 　 ，使得四边形ADCF为矩形． 7．（2026•鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 8．（2026春•东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：EO＝OF； （2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由 题型六、直角三角形斜边上的中线性质 1．（2025春•玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2026春•惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 3．（2026春•晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2025秋•桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　） A．变大 B．变小 C．先变小再变大 D．不变 5．（2026春•襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 6．（2025春•临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　 　 ． 7．（2026春•海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　 　 ． 8．（2025春•惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2． （1）求CD的长． （2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系． 题型七、直角三角形斜边中线与角度、面积综合 1．（2026春•高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　） A． B． C．5 D． 2．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °． 3．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　 　 ． 4．（2025秋•鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 5．（2025春•城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长． 题型八、矩形中的动点最值问题 1．（2025春•临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025春•义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8 3．（2025春•云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 4．（2025春•渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025春•建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025春•西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　 s后，四边形ABPQ成为矩形． 7．（2025春•南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ． 8．（2026•石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 题型九、矩形判定与性质综合证明题 1．（2026•南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　） A． B．27 C． D．24 2．（2025春•罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 3．（2025春•海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　　 ． 4．（2025春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF． （1）求证：▱ABCD是矩形． （2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长． 5．（2025春•杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积． 6．（2025春•西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 7．（2026春•鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG为矩形； （2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积． 8．（2026春•鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　 　 ． 9．（2026春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点． 例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点． （1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 ； （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值． 题型十、菱形基本性质（边长、对角线、内角基础计算） 1．（2025•安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 2．（2025春•玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 3．（2025春•义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2025春•临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　） A．26° B．52° C．128° D．154° 5．（2025春•德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　 　 ． 6．（2025春•宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　 　 ． 7．（2025春•椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　 　 ． 题型十一、菱形性质与勾股定理、面积综合计算 1．（2025春•杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 2．（2026春•钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 3．（2025春•建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 4．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 5．（2025春•镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　　 ． 6．（2025春•香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　 　 ． 题型十二、菱形性质与角度关系、等腰三角形综合 1．（2025•岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 2．（2026春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　） A．α+β＝90° B．2β+3α＝180° C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180° 3．（2026春•江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　） A． B． C． D．3 4．（2025春•江阳区校级期中）如图，▱ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　　 ． 5．（2025春•杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD． （1）求∠EAF度数； （2）求证：BD∥EF． 题型十三、菱形性质与动点、图形拼接、线段关系综合 1．（2025春•西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 2．（2025春•慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　 　 ． 3．（2025春•嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　 　 ． 4．（2025春•杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 ． 题型十四、菱形判定（定义、定理直接判断） 1．（2025春•舟山期末）已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD 2．（2026春•鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB 3．（2025•广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 4．（2025春•颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．边长 C．四边形ABCD的面积是12 D．∠ABC＝∠ADC＝60° 5．（2025春•炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　 　 （限填序号）． 6．（2025春•中山市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证：▱ABCD是菱形． 7．（2025春•渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 如图，已知① ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：②　 　 ． 嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程． 题型十五、菱形判定（条件添加、方案判断、说理） 1．（2025春•广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　） A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行 2．（2025春•安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件： 　 ，使四边形AECF是菱形． 3．（2025春•仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ 　　 ，▱CDEB为菱形． 4．（2025春•海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是 ． 5．（2025春•开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE． 求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°． ∴①　 ． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴②　 ． 在△ABF与△ADE中 ∴△ABF≌△ADE（AAS） ∴④ ． ∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　 　 ． 题型十六、菱形判定（动点、坐标系、存在性问题） 1．（2025春•盖州市期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形． 2．（2025•泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　 　 ． 3．（2025春•大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由． 4．（2025春•南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）用t的代数式表示：AE＝　 ，DF＝　 ； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 题型十七、菱形判定（几何证明题） 1．（2026•秦淮区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形． 2．（2025春•大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形． 3．（2024秋•万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形． 4．（2025春•长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形． 5．（2025春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 题型十八、菱形判定与性质综合（概念辨析、基础计算） 1．（2025春•德阳期末）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．（2025春•南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 3．（2025春•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．40 D．24 4．（2026•长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．四边形ABCD的周长是 C．四边形ABCD的面积是6 D．∠ABC＝∠ADC＝45° 题型十九、菱形判定与性质综合（多结论判断题） 1．（2025•北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025春•黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 3．（2025春•阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　　 ． 题型二十、菱形判定与性质综合（几何证明 + 计算） 1．（2026春•天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求菱形ABCD的周长． 2．（2026•大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF． （1）求证：四边形EFCD为菱形； （2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长． 3．（2025春•台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC． （1）求证：四边形AEDC是菱形； （2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积． 4．（2026•新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q； ③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP． （1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由； （2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长． 5．（2025春•保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF•OD的值． 6．（2025春•通辽期末）课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 题型二十一、正方形基础性质辨析（与矩形、菱形对比） 1．（2026春•兴化市期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 2．（2026春•西城区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角的矩形是正方形 3．（2026春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，则下列说法中错误的是（　　） A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 4．（2026春•玄武区校级期中）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法正确的是（　　） ①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形； ③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 题型二十二、正方形边长、对角线、面积基础计算 1．（2026春•房山区期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，则正方形ABCD的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 2．（2026春•普陀区期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是　　 ． 3．（2026春•闵行区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC＝11，BF＝5，则DE的长为　　 ． 4．（2026春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣4），D（b，﹣2），则正方形ABCD的面积是　　 ． 5．（2025春•城厢区校级期中）用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为　　 ． 题型二十三、正方形性质与角度计算综合 1．（2026春•东西湖区期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 2．（2026春•江阴市期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2＝65°，则∠1＝　 　 ． 3．（2026春•韩城市期中）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE，连接DE，DF，若∠EAB＝30°，求∠DFE的度数． 4．（2026春•吴忠期中）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）判断四边形ACED的形状，并说明理由； （2）若BD＝8cm，求线段BE的长． 题型二十四、正方形性质与实际应用、图形拼接 1．（2026春•临安区期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为2.1m的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高2m，宽0.9m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（　　） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 2．（2026春•秦淮区期中）将菱形MNPQ、菱形EFGH和正方形ABCD按如图所示的位置摆放，FG与NP间的距离为1cm．已知AB＝EF，则正方形ABCD的面积为（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 3．（2025春•鄞州区期末）如图1，由5块图形拼成矩形ABCD（其中①，②是正方形），截去①号正方形后，其余4块图形可拼成如图2的正方形EFGH，则下列说法错误的是（　　） A．四边形ABCD是正方形 B．矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍 C．③号图形的较长直角边是较短直角边的倍 D．矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的倍 4．（2025春•阜宁县期中）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为10，∠D′＝30°，则四边形A′BCD′的面积为　 　 ． 题型二十五、正方形中线段定值与勾股定理综合 1．（2026春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P是CD上任意一点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F，若该正方形的面积为50，则PE+PF的值为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 2．（2026春•昆山市期中）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上的一点，FG是线段AE的垂直平分线，与正方形的两边CD，AB分别交于点F，G，若，则线段BE的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•江阴市期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且点N恰好是EF的中点．若图中阴影部分面积为3，则AB的长度是（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•虹口区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD边上一点（与点A、D不重合），联结CE，交BD于点F．当△DEF是等腰三角形时，则AE的长为 　　 ． 题型二十六、正方形性质与全等三角形、多结论判断 1．（2026春•江阴市期中）如图，在正方形ABCD中，点P在DC上，连接PA、PB，作AE⊥PB于点M，交BC于点E，作BF⊥PA于点N，交AD于点F，下列结论正确的个数有（　　）个． ①△ABF≌△DAP；②△ABE≌△BCP；③DP＝CE；④若∠APB＝53°，则∠PFB+∠PEA＝143°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025春•齐齐哈尔校级期中）如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤2OF2＝EF2；⑥若DF＝3，，则．其中正确的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025春•北京期末）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上任意一点（不与A，C重合），过点P作EF∥AD，MN∥AB，点E，F，M，N分别是边AB，CD，AD，BC上的点．连接BP，DP．设AE＝a，BE＝b，AM＝c，DM＝d．下面四个结论中正确的个数是（　　） ①当AE＝AM时，四边形AEPM是正方形； ②四边形BEPN与四边形DMPF的面积始终相等； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025春•长乐区校级期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　 　 ．（写出所有正确的序号） 题型二十七、正方形性质与动点最值问题 1．（2026春•江北区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一点，过E作EF⊥AD交BD于点F，取BE的中点G，则GF的最小值为　　 ． 2．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E在线段AB上，作射线DE，分别过点A，B，C作DE的垂线，垂足分别为点F，G，H，则AF+BG+CH的最小值为　　 ． 3．（2026春•扬州期中）如图，∠POQ＝45°，A、B是∠POQ的边OP上两定点，OB＝6，OA＝2，E是边OQ上一动点，分别以AB、AE为边作正方形ABCD、正方形AEFG．则线段BG的最小值为 　　 ． 题型二十八、正方形性质与几何证明 1．（2024秋•水城区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，过E点作EF⊥AD于点F，连接AC． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求∠DAC的度数． 2．（2025春•西和县期末）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 3．（2025春•前郭县期末）如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接AC，延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数． 题型二十九、正方形判定（条件添加、概念判断） 1．（2026•盘锦校级开学）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝CD B．DC＝BC C．∠AOB＝60° D．OC＝CD 2．（2026春•金山区校级月考）在四边形ABCD中，对角线交点为O．下列条件能判定四边形是正方形的条件是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AC＝CD，BO＝DO，AB＝BC 3．（2026春•长乐区校级期中）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果AD＝EF，则四边形AEDF是矩形 C．若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形 D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形 4．（2026春•长沙月考）请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形，则此条件可以为 　 ． 5．（2026春•徐州月考）在矩形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，对角线AC与BD相交于点O，要使得矩形ABCD是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 6．（2025•尼木县一模）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形． 7．（2025春•互助县期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC⊥BD，且相交于点O，请你添加一个条件，使其成为正方形： 　 ． 8．（2025春•济源校级期中）如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件 　 （用字母表示，只添加一个条件），就可以判定四边形ABCD是正方形． 9．（2025春•利通区校级期中）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等，b．一组对边平行且相等，c．一组邻边相等，d．一个角是直角，顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是　 　 ． 题型三十、正方形判定（动点存在性计算） 1．（2025春•康乐县校级月考）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠DAB＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E、F同时从点O出发在线段AC上以0.5cm/s的速度分别向点A、C运动（点E、F分别到达A、C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE、DF、BE、BF，当t＝ 　　 时，四边形DEBF为正方形． 2．（2026春•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE＝CD，连接BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）当∠ABC＝　　 °时，四边形AEBD是正方形． 3．（2025春•黄石校级期中）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角∠ACD，过点A作AM⊥CE垂足为M，AN⊥CF垂足为N，连接MN交AC于点O． （1）求证：AC＝MN； （2）当线段AC和MN满足什么条件时，四边形AMCN为正方形． 4．（2025春•西宁期末）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接BF，CF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若BF＝FC，判断四边形ABDF的形状，并说明理由； （3）当△BFC满足什么条件时，四边形ABDF是正方形？（直接写出条件即可，不要求证明） 题型三十一、正方形判定（几何证明题） 1．（2025春•西安期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形． 2．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 3．（2025春•镇原县期中）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形． 题型三十二、正方形与平面直角坐标系综合 1．（2026春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一个正方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，1），（1，1），（1，﹣2），则下列坐标表示的点能成为该正方形顶点的是（　　） A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2） 2．（2025春•丹徒区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　 　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 题型三十三、正方形与三角形内心、角平分线综合 1．（2025春•巴中期末）三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在Rt△ABC中，点P是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（　　） A． B． C．4 D．2 2．（2025•东莞市三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 3．（2025春•靖江市校级月考）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 题型三十四、正方形与 45° 角、翻折变换综合 1．（2025春•海陵区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝a，AD＝b，则CD的长为　　 ．（用含有a，b的代数式表示） 2．（2025秋•高新区校级期中）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　　 °时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　　 ． 3．（2025春•宿城区期中）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　　 ． 题型三十五、正方形判定与性质综合（定值探究） 1．（2025春•新昌县校级月考）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF． （1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG＝6，求△FCG的面积． 2．（2025春•咸阳期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若BE＝DG，求证：AD＝AE； （3）在（2）的条件下，已知BE＝2，求OG的长． 3．（2025春•新乡校级期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 特殊平行四边形全章题型突破 题型一、矩形的基本性质（边角、对角线） 1．（2025春•玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【答案】D 【解析】如图，∠1＝40°， ∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠1＝40°， ∴∠AOB＝∠OBC+∠1＝2∠1＝80°，即两条对角线相交所成的锐角是80°．故选：D． 2．（2025春•德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D． 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝DO＝AO＝COACBD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC， ∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC不一定成立，AB＝AO一定不成立，BOAC，一定成立，故选：D． 3．（2025春•瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　　 ． 【答案】． 【解析】连接OB， ∴OB， ∵四边形OABC是矩形，∴OB＝AC，故答案为：． 题型二、矩形性质与勾股定理综合计算 1．（2025春•上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．1 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点， ∴O M是△ADC的中位线，OM∥AD， ∵OM＝3，∴AD＝2OM＝6， ∵CD＝AB＝8，∴，∴．故选：A． 2．（2026春•东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝4， ∵AB＝AE＝3，∴AC5，∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2， ∵x2+6x﹣16＝0，∴（x+8）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣8，x2＝2， ∴线段CE的长方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解，故选：C． 3．（2025春•临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵Rt△ABE≌Rt△CDG，BE＝3，∴DG＝BE＝3， ∵四边形EFGH是矩形，∴DH∥BF，GH＝EF，∠DHE＝90°， ∴∠DGM＝∠EFM，∠GDM＝∠FEM， ∵点M是GF的中点，∴GM＝FM， 在△DGM和△EFM中，，∴△DGM≌△EFM（AAS）， ∴DG＝EF＝3，∴GH＝EF＝3，∴DH＝DG+GH＝6， 在Rt△ADH中，AD，由勾股定理得：AH2， 在Rt△ABE中，AB，由勾股定理得：AE9， ∴HE＝AE﹣AH＝9﹣2＝7， 在Rt△DHE中，由勾股定理得：DE，即DE的长为．故选：B． 4．（2025春•柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　） A． B． C． D．8 【答案】B 【解析】连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，OA＝ODBD，∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD10， ∴OA＝ODBD＝5，∴∠OAD＝∠ADE， ∵∠AOE是△OAD的外角，∴∠AOE＝∠OAD+∠ADE＝2∠ADE， ∵∠AED＝2∠ADE，∴∠AOE＝∠AED，∴AE＝OA＝5，∴△AOE是等腰三角形， ∵AF⊥BD，∴OF＝EF＝1/2OE，∴OE＝2OF， 由三角形的面积公式得：S△ABFDBD•AFAB•AD，∴AF， 在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF， ∴OE＝2OF，∴DE＝OD+OE．故选：B． 5．（2026春•江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　　 ． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°， ∵EF是AC的垂直平分线，∴CE＝AE， 设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2， 即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x，∴CE；故答案为：． 6．（2026春•慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　　 ． 【答案】． 【解析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥BD于点F， 设EC＝x，则AE＝3CE＝3x，∴AC＝AE+EC＝4x， ∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝OB＝OC＝2x， ∴设∠OAD＝∠ODA＝α，∴∠DOE＝∠OAD+∠ODA＝2α， ∵∠AED＝2∠DAE＝2α，∴∠DOE＝∠DEO，∴DE＝DO＝2x，∴OE＝OC﹣EC＝x， 设OF＝y，则DF＝OD﹣OF＝2x﹣y， ∵EF⊥BD，∴OE2﹣OF2＝EF2＝DE2﹣DF2，∴x2﹣y2＝（2x）2﹣（2x﹣y）2， ∴，即，∴， 在直角三角形EOF中，由勾股定理得：， 在直角三角形BEF中，由勾股定理得：， ∴，故答案为：． 题型三、矩形性质与角平分线、等腰三角形综合 1．（2025春•拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE， ∵AE＝CE，∴∠ACE＝∠EAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE， ∵∠BAE+∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE＝30°，∴∠BAC＝60°，故选：C． 2．（2025春•嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　） A．CF B．BF C．CE D．OF 【答案】A 【解析】如图，作OM⊥BC，垂足为M， ∵O是BD的中点，∴OMCD，CMBC， 设∠OEM＝α，则∠OCB＝90°﹣α， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝90°﹣α， ∵OF平分∠BOE交BC于点F．∴∠BOFBOE（α﹣90°+α）＝α﹣45°， ∴∠OFM＝∠OBC+∠BOF＝90°﹣α+α﹣45°＝45°， ∴FM＝OM，∴CF＝FM+CMCDBC（CD+BC）， ∵矩形ABCD的周长为定值，∴CF是矩形周长的，是定值．故选：A． 3．（2025春•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论： ①AD＝AE；②∠DEA＝∠DEC；③DE⊥CF；④BF＝FC； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°， ∴AB＝BE，∴AEAB， ∵ADAB，∴AD＝AE，故①正确； ∵∠BAE＝∠DAE＝45°，AD＝AE，∠ABE＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△AFD（AAS），∴AB＝AF，BE＝DF， ∴AB＝BE＝AF＝DF＝CD，∴EF＝CE，∠ADF＝45°， 又∵DE＝DE，∴△DEC≌△DEF（SSS），∴∠DEA＝∠DEC，故②正确； ∵DF＝DC，EF＝EC，∴DE垂直平分FC，故③正确； ∵∠CDF＝90°﹣∠ADF＝45°，∴∠BAE＝∠FDC＝45°， 又∵AB＝DF，AF＝CD，∴△ABF≌△DFC（SAS），∴BF＝CF，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，故选：D． 4．（2025春•宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　　 ． 【答案】60°． 【解析】依据尺规作图的痕迹可知：EF是线段AC的垂直平分线，AF是∠DAC的平分线，∴AE＝AF，AC⊥EF，∠DAF＝∠CAF，∴△AEF是等腰三角形， ∵AC⊥EF，∴∠CAE＝∠CAF，∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAF+∠CAE+∠CAF＝90°， ∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°， 又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°．故答案为：60°． 题型四、矩形的判定（定义、定理直接应用） 1．（2026春•无锡期中）下列说法中，正确的是（　　） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意； D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意．故选：C． 2．（2026春•英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角；故选：A． 3．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形． 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵AB＝CD，BM＝CM，∠1＝∠2， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴∠A＝∠D， 又∵∠A+∠D＝180°， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． 4．（2025春•杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形． 【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠B＝∠ACB，∴∠ADC＝90°， ∵AE为△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠CAE＝∠FAE， ∵∠FAC＝∠B+∠ACB， ∴∠FAC＝2∠B， ∴∠FAE＝∠B， ∴AE∥CD， ∵AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形． 5．（2026春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形． 【解答】证明：∵AF＝FC， ∴点F是AC的中点， 又∵E是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴ED∥BC， 又∵BF∥CD， ∴四边形BCDF为平行四边形， ∵∠BCD＝90°， ∴四边形BCDF为矩形． 题型五、矩形判定的条件添加与说理题 1．（2025春•临海市期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故A错误；符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，OD＝2BD， ∵∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故D不符合题意；故选：A． 2．（2025春•广阳区校级期中）如图，在▱ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF． 嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形； 淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点． 对于他俩的说法，正确的是（　　） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【解析】∵在▱ABCD中，DF∥BE， 当DE∥BF时，∴四边形DEBF为平行四边形， ∵AD＝BD，∴△ABD是等腰三角形， ∵点E为边AB的中点，∴DE⊥AB，∴∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF为矩形，故嘉嘉说法正确，符合题意； ∵在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠ADC+∠A＝180°， 当∠ADB＝90°时，∴∠CDB+∠A＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴∠C+∠CDB＝90°，∴∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝90°， ∵BF＝CF，∴∠C＝∠CBF，∴∠CDB＝∠DBF，∴DF＝BF， ∴DF＝CF，即点F为CD中点，故淇淇说法正确，符合题意；故选：C． 3．（2025春•淄博期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　 （写出一个即可）． 【答案】BE＝CF（答案不唯一） 【解析】添加条件为：BE＝CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF， ∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形，故答案为：BE＝CF（答案不唯一）． 4．（2025春•睢宁县期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可） 【答案】∠BED＝90°（答案不唯一）． 【解析】这个条件可以是∠BED＝90°，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵∠BED＝90°，∴平行四边形BEDF是矩形，故答案为：∠BED＝90°（答案不唯一）． 5．（2025春•靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　 　 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③． 【解析】补充①AB＝BC； ∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本条件不成立，不符合题意； 补充②∠ABC＝90°； ∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是矩形，故条件成立，符合题意； 补充③AC＝BD； ∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本条件成立，符合题意； 补充④AC⊥BD； ∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本条件不成立，不符合题意， 综上所述，选择的条件可以是②③，故答案为：②③． 6．（2026春•孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O． （1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由． （2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　 　 ，使得四边形ADCF为矩形． 【解析】（1）平行四边形，理由如下： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∵AM为外角∠CAE的平分线，∴， ∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∴∠MAC＝∠ACB，∴AF∥CD， ∵CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形； （2）在不增加辅助线和字母的前提下，令∠ADC＝90°， 则四边形ADCF是矩形．故答案为：∠ADC＝90°． 7．（2026•鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形． 8．（2026春•东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：EO＝OF； （2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴EO＝FO； （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， 又∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO＝CO， ∴AO＝CO＝EO＝FO， ∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形， 即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点． 题型六、直角三角形斜边上的中线性质 1．（2025春•玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝8， 则CDAB，即CD8＝4．故选：A． 2．（2026春•惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】A 【解析】∵A，D，B对应的刻度分别为1，4，7， ∴AD＝4﹣1＝3（cm），BD＝7﹣4＝3（cm），AB＝7﹣1＝6（cm），∴AD＝BD， ∵∠ACB＝90°，∴CDAB＝3（cm）．故选：A． 3．（2026春•晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】∵在 Rt△CDE，F 为CD 的中点．EF＝2，∴DC＝2EF＝2×2＝4， ∵点D 为BC 的中点，∴BC＝2DC＝2×4＝8（直角三角形中线定理）， ∴在Rt△ABC 中，D 为BC 的中点， ∴（直角三角形中线定理）．则AD的长为4，故选：B． 4．（2025秋•桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　） A．变大 B．变小 C．先变小再变大 D．不变 【答案】D 【解析】连接OC， 根据题意得∠AOB＝90°，AB＝10m，点C是AB的中点， ∴根据直角三角形斜边上的中线得，OCAB10＝5m，即当梯子的顶端沿墙在下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离不变．故选：D． 5．（2026春•襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 【答案】A 【解析】∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点， ∴EC，ED，∴EC＝ED，∴∠DCE＝∠CDE， ∵∠CDE＝56°，∴∠DCE＝56°，故选：A． 6．（2025春•临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　 　 ． 【答案】30． 【解析】∵直角三角形斜边上的中线CD是6，∴斜边AB长为：2×CD＝6×2＝12， ∴它的面积AB×CE12×5＝30，故答案为：30． 7．（2026春•海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　 　 ． 【答案】1.25． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴， 由题意可得：EF是△ADC的中位线，∴．故答案为：1.25． 8．（2025春•惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2． （1）求CD的长． （2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系． 【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝AD＝BD， ∵∠A＝30°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴△BDC为等边三角形， ∴CD＝BC＝2； （2）∵CD＝AD＝BD， ∴CDAB， ∴BCAB． 题型七、直角三角形斜边中线与角度、面积综合 1．（2026春•高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴， ∵DE⊥AC，∴，即点E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝2×2＝4， 在Rt△ABC中，，∴， 在Rt△BCE中，，则BE的值是4，故选：A． 2．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °． 【答案】45． 【解析】∵∠A C D＝3∠B C D，∠A C B＝90°， ∴∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°， ∵CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣∠B C D＝90°﹣22.5°＝67.5°， 又∵E是斜边AB的中点，∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠B＝67.5°， ∴∠E C D＝∠B C E﹣∠B C D＝67.5°﹣22.5°＝45°．故答案为：45． 3．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　 　 ． 【答案】130°． 【解析】以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵E是线段AB的中点，∴， ∴， ∵∠CED＝∠CEB+∠DEB＝100°， ∴．故答案为：130°． 4．（2025秋•鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 5．（2025春•城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接DM，DN， ∵BN、CM分别是△ABC的两条高， ∴BN⊥AC，CM⊥AB， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°， ∵D是BC的中点， ∴DMBC，DNBC， ∴DM＝DN， ∵E为MN的中点， ∴DE⊥MN； （2）解：∵BC＝26， ∴DMBC＝13， ∵点E是MN的中点，MN＝10， ∴ME＝5， 由勾股定理得：DE12． 题型八、矩形中的动点最值问题 1．（2025春•临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】连接DF，BD，BP， 在矩形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3， 由题可得四边形BMPN是矩形，∴BP＝MN， 在Rt△DEF中，DPEF＝1， 在Rt△BCD中，BD5， ∴BP≥BD﹣DP＝4，当且仅当B、P、D三点共线时取等， ∴BP最小值为4，∴MN最小值为4．故选：C． 2．（2025春•义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8 【答案】D 【解析】连接CD， ∵DE⊥AC，DF⊥CB，∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD， 当CD⊥AB时，可知CD的值最小，此时， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10， ∴，解得CD＝4.8，∴线段EF的最小值是4.8，故选：D． 3．（2025春•云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】如图，连接OP， ∵b4，∴a﹣3≥0，3﹣a≥0，∴a＝3，∴b＝4， ∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4， ∵∠AOB＝90°，∴AB5， ∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，∴∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP， 当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，此时，OP， ∴EF的最小值为，故选：A． 4．（2025春•渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】①如图，连接AP， ∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°， ∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP， ∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大， ∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意； ②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，∴线段EF的值最小， ∵∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝60°， ∵∠APB＝90°，∴∠BAP＝30°，∴BP，∴， ∴当时，EF的值最小，故②符合题意； ③∵t＝6，∴BP＝6， 如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H， 则BH，AH，∴PH＝BP﹣BH， ∴EF＝AP.故③不符合题意；故选：C． 5．（2025春•建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中： ①四边形ABCD是矩形； ②当CD＝4OF时，点E是AB的中点； ③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2； ④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形， 其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意； ②当点E在AB上时，由①可知，四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD， ∵点O，F分别是AC，CE的中点，∴OF是△ACE的中位线，∴AE＝2OF， ∵CD＝4OF，∴CD＝AB＝2AE，∴点E是AB的中点； 当点E在AD上时就不成立；故②不正确，不符合题意； ③当点E与点D重合时，OF的值最大， ∵AD＝BC＝4，∴AE的最大值是4，∴OF2， 即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意； ④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠FON＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB，∴∠OFN≠60°， ∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意； 综上所述，其中正确的有2个，故选：B． 6．（2025春•西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　 s后，四边形ABPQ成为矩形． 【答案】4 【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得 3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4． 7．（2025春•南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ． 【答案】 【解析】连接AD、EF， ∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC15， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD， ∴AD，∴EF的最小值为， ∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GFEF；故答案为：． 8．（2026•石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 【解析】∵四边形ABCD是矩形，AD＝12cm， ∴BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒， ∵点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，到达点D时停止， ∴点P的运动时间为：12÷1＝12（秒）， 又∵点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动， ∴点Q从点C到点B的运动时间为：12÷4＝3（秒）， ∴有以下四种情况： ①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝12﹣4t，解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣12， 解得：t＝4， ∴当t＝4秒时，四边形ABQP是矩形； ③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝36﹣4t，解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣36，解得：t＝12， ∴当t＝12秒时，四边形ABQP是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形ABQP是矩形． 题型九、矩形判定与性质综合证明题 1．（2026•南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　） A． B．27 C． D．24 【答案】A 【解析】∵△AOB为等边三角形，∴OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD，∴BD＝AC， ∴平行四边形ABCD为矩形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝2OC＝6， ∴ABAC＝3，∴BC3， ∴矩形ABCD的面积＝33＝9．故选：A． 2．（2025春•罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 【答案】3． 【解析】∵点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，作PM⊥AD于M，交BC于N， 则有四边形AEPM是矩形，四边形DFPM是矩形，四边形CFPN是矩形，四边形BEPN是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S矩形EPNB＝S矩形DMPF＝1×3＝3， ∴， ∴S阴影＝1.5+1.5＝3，故答案为：3． 3．（2025春•海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　　 ． 【答案】． 【解析】四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，如图，作DH⊥BA交BA延长线于点H，作DG⊥AC于点G，连接BD， ∵DH⊥BA，DG⊥AC，∠BAC＝90°， ∴四边形AGDH是矩形，∴DH＝AG， 设DH＝AG＝x，则CG＝AC﹣AG＝4﹣x， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG2＝AD2﹣AG2＝42﹣x2， 在Rt△DGC中，由勾股定理得：DG2＝CD2﹣CG2＝42﹣（4﹣x）2， ∴42﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，解得x＝2，∴DH＝AG＝2， 在Rt△DGC中，由勾股定理得：， ∴， 在Rt△BHD中，由勾股定理得：， ∵E、F分别是BC、CD的中点，∴，故答案为：． 4．（2025春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF． （1）求证：▱ABCD是矩形． （2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F， ∴∠BEO＝∠CFO＝90°， ∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF， ∴△BOE≌△COF（AAS）， ∴OB＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AO＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵OD＝13， ∴OB＝OC＝OD＝13， ∵CF＝12， ∴OF5， ∴BF＝OB+OF＝18． 5．（2025春•杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∵点E、F分别是CD、BC的中点， ∴OE、EF都是△BCD的中位线， ∴OE∥BC，EF∥BD， ∴四边形OEFB是平行四边形， ∵AD⊥BD且AD∥BC， ∴BC⊥BD， ∴∠CBD＝90°， ∴平行四边形OEFB是矩形； （2）解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝8，DC＝12， ∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝12，， ∵OE是△BCD的中位线， ∴， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴， ∴四边形OEFB的面积为：． 6．（2025春•西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 【解析】（1）∵AO＝CO＝5，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝10， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AB2+BC2＝62+82＝100＝102＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC， ∴， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 7．（2026春•鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG为矩形； （2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵点E为BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， 又∵EF⊥CD，∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OB＝OD＝3， ∴∠ODG＝∠ABD＝45°， 由（1）可知，四边形OEFG为矩形， ∴∠OGF＝90°， ∴∠OGD＝90°， ∴△ODG是等腰直角三角形， ∴DG＝OG， ∵OD2＝OG2+DG2， ∴DG＝OG＝3， ∵GC2+GO2＝OC2， GC2+9＝25， ∴GC＝4， ∴DC＝DG+GC＝3+4＝7， ∴OE， ∴S矩形OEFG＝OG•OE＝3，故答案为：． 8．（2026春•鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　 　 ． 【解答】（1）证明：由题意可知，AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，∠ABC＝90°， OA＝OD， ∴AC10， ∴OA＝OD＝5，△AOD的面积矩形ABCD的面积6×8＝12， 又∵△AOE的面积+△DOE的面积＝△AOD的面积， ∴OA×EFOD×EG＝12，即5×（EF+EG）＝12， 解得：EF+EG＝4.8，故答案为：4.8． 9．（2026春•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点． 例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点． （1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 ； （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值． 【解析】（1）∵1， ∴点D是矩形ABCO的矩宽点， ∵（4）+（2）1， ∴点F是矩形ABCO的矩宽点． 故答案为：D和F； （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点， ∴2m+22或2m+2×（2）＝2或2（4﹣m）+22或2（4﹣m）+2×（2）＝2， 解得m＝±或或， 因为G为矩形内的点， ∴m和m不合题意，舍去， ∴m的值为或． 题型十、菱形基本性质（边长、对角线、内角基础计算） 1．（2025•安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 【答案】A 【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，∴∠ABD＝40°． ∵BA＝BE，∴∠BAE70°．故选：A． 2．（2025春•玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD8＝4， ∴∠AOB＝90°，∴AB5， ∵点M为AB的中点，∴OMAB5，故选：A． 3．（2025春•义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且菱形ABCD的周长为20，AC＝8， ∵AB＝AD＝CD＝CB，且AB+AD+CD+CB＝20，∴4AB＝20，∴AB＝5， ∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OCAC＝4，∴OD＝OB3， ∴BD＝2OB＝6，∴另一条对角线的长为6，故选：C． 4．（2025春•临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　） A．26° B．52° C．128° D．154° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCA＝26°， ∴∠BCD＝2∠BCA＝2×26°＝52°，∠BCD+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝128°，故选：C． 5．（2025春•德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　 　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOD为直角三角形． ∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，∴AD＝2OE＝6． ∴菱形ABCD的边长为6，故答案为：6． 6．（2025春•宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　 　 ． 【答案】110°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝140°，∴∠ABC＝40°，∠CBD＝20°， ∵AE⊥BC，∴∠BFE＝70°，∴∠BFA＝110°，故答案为：110°． 7．（2025春•椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　 　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO3，∴BD＝6， ∵DE⊥AB，BO＝DO，∴OEBD＝3，故答案为：3． 题型十一、菱形性质与勾股定理、面积综合计算 1．（2025春•杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴，OB＝ODBD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13，∴∠AOB＝90°， ∴OA5，∴AC＝10， ∵菱形的面积＝AB．CEAC•BD，即13×CE10×24，解得：CE，故选：B． 2．（2026春•钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 【答案】C 【解答】解：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∵DE⊥AB，∴OE＝OB＝OD＝6， ∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62，∴AO＝8，∴AC＝16， ∵BD＝12，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD16×12＝96．故选：C． 3．（2025春•建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝3，OB＝ODBD＝4，∴∠BOC＝90°， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC5， ∵AE⊥BC于点E，∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝2BC•AE＝5AE， ∵S菱形ABCDAC•BD＝24，∴5AE＝24，∴AE，故选：A． 4．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 【答案】24． 【解答】解：∵5BE＝3CD，∴BE：CD＝3：5， 令BE＝3x，CD＝5x，∴OB＝BE+OE＝3x+1 ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝5x，OB＝OD，AC＝2AO， ∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝5x，∴OD＝DE﹣OE＝5x﹣1， ∴3x+1＝5x﹣1，∴x＝1， ∴OD＝5x﹣1＝4，AD＝5x＝5， ∴AO3， ∵BD＝2OD＝8，AC＝2AO＝6，∴菱形ABCD的面积AC•BD6×8＝24．故答案为：24． 5．（2025春•镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　　 ． 【答案】296． 【解答】解：连接EG交BH于O，连接AC交BH于K，连接MN交BH于P．设BD＝a，FH＝b． 在菱形ABCD、菱形DEFG、菱形FMHN中， ∴AC⊥BD，EG⊥BH，MN⊥BH，BK＝DKa，PF＝PHb， ∵BH＝44，DF＝30，∴a+b＝14，OD＝OF＝15， ∵EF＝17，∴OE8，∴EG＝16， ∴S四边形ECGM＝S△CEG+S△EGM16×（15a）16×（15b）＝8（15+15ab）＝8×（30+7）＝296，故答案为：296． 6．（2025春•香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　 　 ． 【答案】24． 【解答】解：由题意得AM＝MB＝BN＝NA＝5，∴四边形AMBN是菱形， 如图，设MN和AB交于点O， ∴，AB⊥MN，∴，∴MN＝2×4＝8， ∴四边形AMBN的面积是，故答案为：24． 题型十二、菱形性质与角度关系、等腰三角形综合 1．（2025•岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 【答案】C 【解答】解：作图可得AB＝AD＝BC＝DC， ∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD 由条件可得∠MBC＝∠A＝44°，∴∠CBD68°，故选：C． 2．（2026春•拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　） A．α+β＝90° B．2β+3α＝180° C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠A＝β，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝β，AD∥BC， ∵∠DCE＝α，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝β﹣α， ∵BE＝CD，∴BE＝AB＝BC，∴△ABE和△BCE都是等腰三角形， ∴∠BEA＝∠A＝β，∠BEC＝∠BCE＝β﹣α， ∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠BEA＝β， 在△BCE中，∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°， ∴β+β﹣α+β﹣α＝180°，∴3β﹣2α＝180°．故选：D． 3．（2026春•江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解答】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°， 又∵∠ECM＝30°，∴∠DCF＝50°， ∵DF⊥CM，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝40°， 又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC＝40°， 在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS）， ∴DH＝DF，∴DB＝2DH＝2．故选：B． 4．（2025春•江阳区校级期中）如图，▱ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　　 ． 【答案】37°． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AD∥BC，∠ABC＝180°﹣∠C＝117°，∴∠DEO＝∠BFO， ∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF（AAS），∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形，∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE＝50°，∴∠EBF＝80°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝37°，故答案为：37°． 5．（2025春•杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD． （1）求∠EAF度数； （2）求证：BD∥EF． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°， 由题意得到AF＝AE＝AB， ∴∠AFB＝∠ABF＝72°， ∴∠BAF＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 同理：∠DAE＝36°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝108°， ∴∠EAF＝108°﹣36°﹣36°＝36°； （2）证明：∵AE＝AF，∠EAF＝36°， ∴∠AFE＝∠AEF（180°﹣36°）＝72°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABM∠ABC72°＝36°， ∵∠BAF＝36°， ∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°， ∴∠AMN＝∠AFE， ∴BD∥EF． 题型十三、菱形性质与动点、图形拼接、线段关系综合 1．（2025春•西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 【答案】A 【解答】解：作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED＝∠AFB＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°， ∴CD＝AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴∠ADC＝∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，∴△ADC和△ABC都是等边三角形， ∵∠BAF＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°， ∴当点P与点B重合时，△DAP为等腰三角形；当点P与点F重合时，△DAP为直角三角形； 当点P与点C重合时，△DAP为等边三角形；当点P与点E重重时，△DAP为直角三角形，故选：A． 2．（2025春•慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD， 在△BGK与△BGE中，，∴△BGK≌△BGE（SAS），∴GK＝GE，∠BEG＝∠BKG， ∵GF+GE＝3，∴GF+GK＝3，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形， ∴，∴GF+GK＝AM，∴F、G、K共线，且FK⊥BC，∴∠BEG＝∠BKG＝90°， ∵AD∥BC，∴FK⊥AD，∴∠GFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∴， ∴，∴， ∴；故答案为：． 3．（2025春•嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题中的两个图可得：EF＝CF， 如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE， 设DF＝2x，AM＝a， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，CD∥AB， ∵EF＝CF，DF⊥CE，∴CD＝DE＝5，∴AD＝DE， ∵DM⊥AB，∴AM＝EM＝a， ∵EC＝DF+2＝2x+2，∴CF＝x+1， 在Rt△DFC中，DF2+CF2＝CD2，∴（2x）2+（x+1）2＝52， ∴5x2+2x﹣24＝0，解得：x1＝2，x2（舍），∴CE＝6， ∵CD∥AB，DM⊥AB，CN⊥AB，∴∠DMN＝∠N＝∠NCD＝90°， ∴四边形DMNC是矩形，∴CD＝MN＝5，∴EN＝5﹣a， ∵DM2＝CN2，∴AD2﹣AM2＝CE2﹣EN2， ∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，∴a，∴AE＝2a，故答案为：． 4．（2025春•杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 ． 【答案】a2＝b2﹣bc+c2． 【解答】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP， 在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS），∴AP＝CP＝a， ∵PE∥BC，PF∥DC，∴四边形PECF是平行四边形，∴PE＝CF＝c， ∵AB∥CD，∴PF∥AB，∴∠PFC＝∠ABC＝60°， ∵PH⊥BC，∴∠FPH＝30°， ∴FHPF，PHb，∴CH＝FH﹣CFc， ∵PC2＝CH2+PH2，∴a2＝（c）2+（b）2，∴a2＝b2﹣bc+c2．故答案为：a2＝b2﹣bc+c2． 题型十四、菱形判定（定义、定理直接判断） 1．（2025春•舟山期末）已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD 【答案】C 【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形，故A不符合题意； B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB∥CD，得到∠ABD＝∠CDB，因此∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，判定▱ABCD是菱形，故B不符合题意； C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC＝2OA，BD＝2OB，得到AC＝BD，判定▱ABCD是矩形，不一定是菱形，故C符合题意； D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形，故D不符合题意．故选：C． 2．（2026春•鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB 【答案】B 【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，四边形内角和为360°， ∴2（∠A+∠B）＝360°，即∠A+∠B＝180°，可得AD∥BC，同理可得AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定为菱形； 选项B：AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形ABCD是菱形，符合要求； 选项C：若AC＝DB，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，CD＝AB是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形，故选：B． 3．（2025•广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 【答案】A 【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形， 如图，连接AD， ∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等， ∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，∴AF＝AE，∴平行四边形AFDE是菱形； B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；C能得平行四边形AFDE是矩形；故选：A． 4．（2025春•颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．边长 C．四边形ABCD的面积是12 D．∠ABC＝∠ADC＝60° 【答案】D 【解答】解；∵方格纸中每个小正方形的边长都为1， 由勾股定理得：，故B说法正确，该选项不符合题意； ∴四边形ABCD是菱形，故A说法正确，该选项不符合题意； ∵AC＝4，BD＝12，∴，故C说法正确，该选项不符合题意； ∵AB＝BC≠AC，∴△ABC不是等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC≠60°， 故D说法错误，该选项符合题意；故选：D． 5．（2025春•炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　 　 （限填序号）． 【答案】①③． 【解答】解：添加条件①时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴不能得到四边形ABCD是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 6．（2025春•中山市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证：▱ABCD是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OCAC＝3＝2，OBBD＝1， ∵OB2+OC2＝12+22＝5＝BC2， ∴∠BOC＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 7．（2025春•渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 如图，已知① ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：②　 　 ． 嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程． 【解答】解：已知：AB⊥BD，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：①AB⊥BD，②四边形ABCD是菱形． 题型十五、菱形判定（条件添加、方案判断、说理） 1．（2025春•广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　） A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行 【答案】A 【解答】解：方案I：设AC与MN相交于点O， ∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AM＝MC，AN＝NC，CO⊥MN， ∴∠DAC＝∠NCA，∠COM＝∠CON＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠MCO＝∠NCO， ∵OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（ASA），∴CM＝CN， ∴CM＝CN＝AM＝AN，∴四边形AMCN为菱形； 方案II：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD， ∵AM平分∠BAD，AN平分∠BCD，∴∠BAM＝∠DCN 在△BAM和△DCN中，，∴△BAM≌△DCN（ASA），∴∠BMA＝∠DNC， ∵AD∥BC，∴∠BMA＝∠DAM，∴∠DNC＝∠DAM，∴AM∥CN， ∴四边形AMCN为平行四边形，不能判断四边形AMCN为菱形； 综上所述，只有方案I可行，故选：A． 2．（2025春•安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件： 　 ，使四边形AECF是菱形． 【答案】AE＝EC（答案不唯一）． 【解答】解：AE＝EC（答案不唯一）． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF，∴CE＝AF，∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝EC（答案不唯一）． 3．（2025春•仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝ 　　 ，▱CDEB为菱形． 【答案】． 【解答】解：如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10， 若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵AB•OCAC•BC，∴OC．∴OB， ∴AD＝AB﹣2OB，故答案为：． 4．（2025春•海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是 ． 【答案】AB＝CD． 【解答】解：四边形ABCD需满足的条件是AB＝CD， 理由：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点， ∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF， ∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， ∴EN＝FMAB，FN＝EMCD，∴四边形EMFN为平行四边形， 当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形，故答案为：AB＝CD． 5．（2025春•开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE． 求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°． ∴①　 ． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴②　 ． 在△ABF与△ADE中 ∴△ABF≌△ADE（AAS） ∴④ ． ∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　 　 ． 【解答】解：（1）如图：点F即为所求； （2）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE． 求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°．∴∠AFB＝∠AED． ∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D． 在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（AAS），∴AB＝AD． ∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立． 因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形． 故答案为：∠AFB＝∠AED，∠B＝∠D，AB＝AD．AE＝AF，到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形． 题型十六、菱形判定（动点、坐标系、存在性问题） 1．（2025春•盖州市期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形． 【答案】3，6． 【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s， 设P，Q运动时间为ts， ①当0≤t≤4时，四边形CQPD是平行四边形时，如图： 此时PD＝CQ＝3tcm，∴t+3t＝12，解得t＝3，∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD； ②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝tcm， ∵AD＝BC，PD＝CQ，∴BQ＝AP，∴3（t﹣4）＝t，解得t＝6； ③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t，∴3（t﹣8）＝12﹣t，解得t＝9，∴t为9s时，PQ＝CD； 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，四边形CQPD是平行四边形； 当PD＝CD时，即12﹣t＝6，解得t＝6，∴P出发6秒时，四边形PQCD是菱形．故答案为：3，6． 2．（2025•泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　 　 ． 【答案】（3，8）或或． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∵A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6，∴OB＝3，OC＝3， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（0，4），B（﹣3，0）代入，解得：， ∴直线AB的解析式为， ①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，， 所以点F与B重合，即F1（﹣3，0），由题意舍去， ②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时， ∴M在射线AD上，且AD垂直平分FC，∴F2（3，8）； ③AC是对角线时，作AC垂直平分线交射线AB于点F3，设， ∵A（0，4），C（3，0），∴AC的中点， ∵AN2+NF2＝AF2，∴， 解得：，∴， ④AF是对角线时，AF的垂直平分线经过点C，设， ∵A（0，4），C（3，0），∴AF的中点， 在Rt△AGF中，AG2+CG2＝AC2，∴， 解得：或m＝0（不合题意舍去），∴， 综上，点F的坐标为（3，8）或或． 故答案为：（3，8）或或． 3．（2025春•大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE． 根据平移的性质得到：BF＝EC． 在△ABF与△DEC中，， ∴△ABF≌△DEC（SAS）， ∴AF＝CD，∠AFB＝∠DCE， ∴∠AFC＝∠DGF， ∴AF∥DC， ∴四边形AFDC是平行四边形； （2）解：当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由如下： ∵t＝3， ∴CF＝10﹣3×2＝4（cm）， ∵AC＝4cm， ∴CF＝AC， ∵ACB＝60°， ∴△ACF是等边三角形， ∴AF＝AC， ∵四边形AFDC是平行四边形， ∴四边形AFDC是菱形． 4．（2025春•南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）用t的代数式表示：AE＝　 ，DF＝　 ； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝4tcm，AE＝2tcm， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°， ∴DFCD＝2tcm， 故答案为：4tcm，2tcm； （2）四边形AEFD能够成为菱形，理由如下： 由（1）得：AE＝DF， ∵∠B＝∠DFC＝90°， ∴DF∥AE， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 若▱AEFD为菱形，则AE＝AD， ∵AC＝100，CD＝4t， ∴AD＝100﹣4t， ∴2t＝100﹣4t， ∴， ∴当时，四边形AEFD能够成为菱形． 题型十七、菱形判定（几何证明题） 1．（2026•秦淮区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形． 2．（2025春•大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形． 【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OCAC，OBBD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴四边形OBEC是菱形． 3．（2024秋•万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形． 【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ADBC＝BD＝CD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中，， ∴△AFE≌△DBE（ASA）， ∴AF＝BD＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形． 4．（2025春•长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠BEG＝∠DCE，∠FDH＝∠EBG， ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴DF＝FC＝AE＝EB， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE， ∴∠DFH＝∠DCE， ∴∠DFH＝∠BEG， ∴△DFH≌△BEG（ASA）， ∴FH＝EG， ∵FH∥EG， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）证明：由（1）知，四边形EGFH是平行四边形． ∵点E、O分别是AB、BD的中点， ∴OE∥AD． ∵AD⊥BD， ∴EF⊥GH． ∴▱HEGF是菱形． 5．（2025春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 【解答】证明：（1）∵DE∥BC， ∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB， ∵点G为BE的中点， ∴EG＝BG， 在△DEG和△FBG中，， ∴△DEG≌△FBG（AAS）， ∴DE＝FB， ∴四边形DBFE是平行四边形； （2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形， ∴BD∥EF， ∴∠ABC＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠EFC＝∠C， ∵∠C＝2∠BEF， ∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF， ∴平行四边形DBFE是菱形． 题型十八、菱形判定与性质综合（概念辨析、基础计算） 1．（2025春•德阳期末）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D． 2．（2025春•南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，AC＝6，∴， ∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为3×4＝12．故选：A． 3．（2025春•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．40 D．24 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD； ∵点E，F分别为AD，AO的中点， ∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线，∴OD＝2EF＝6， ∵平行四边形ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝AD，∴， ∴菱形ABCD的周长．故选：B． 4．（2026•长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形 B．四边形ABCD的周长是 C．四边形ABCD的面积是6 D．∠ABC＝∠ADC＝45° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AD，BC＝CD2， ∵2，∴AB≠BC，∴四边形ABCD不是菱形，故A不符合题意； 四边形ABCD的周长是AB+AD+BC+CD＝42，故B不符合题意； ∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积是AC•BD3×4＝6，故C符合题意， ∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABC＝∠ADC＞45°，故D不符合题意，故选：C． 题型十九、菱形判定与性质综合（多结论判断题） 1．（2025•北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO， 又∵BE＝CD，∴AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形， 当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确， ∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确； ∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确； ∵四边形ADBE是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABDS菱形ABCD， ∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABOS菱形ABCD， ∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABOS菱形ABCD，故④正确； 正确的结论个数有3个，故选：C． 2．（2025春•黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝DE，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥AE，∴AC⊥AE，故①正确； ∵四边形ABDE是平行四边形，∴AG＝DG，BG＝EG， 在△DEG和△ABG中，，∴△DEG≌△ABG（SSS），故②正确； ∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AG＝GD，∴OD是△ABD中位线，∴OG∥AB，故③正确； ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB， ∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，AB＝DE， ∴BD＝AE＝AB＝DE，∴四边形ABDE是菱形，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④，故选：A． 3．（2025春•阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF，故①正确． ②由①知四边形DEBF为平行四边形， ∵AD⊥BD，E为边AB的中点，∴DE＝BE＝AE，∴四边形BEDF是菱形，故②正确． ④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD， ∴四边形AGBD为矩形，∴AD＝BG＝BC， ∵AB＝6，AD＝4，∴BF＝DF＝CF＝3，BC＝4，∴CG＝8， ∵CG2﹣CF2＝82﹣32＝55＝FG2，∴∠CFG＝90°，∴FG⊥CD， 要使FG⊥CD，则BF＝BC＝BG，而BF＝3，BC＝BG＝4， ∴BFCG，∴FG⊥AB不恒成立，∴不成立，故④错误．故④不正确． ③由④知BC＝BG，∴S△BFGS△BFGS△FCG， ∵F为CD中点，∴S△FCGS平行四边形ABCD，∴S△BFGS平行四边形ABCD，故③正确． 综上可得：①②③正确．故答案为：①②③． 题型二十、菱形判定与性质综合（几何证明 + 计算） 1．（2026春•天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求菱形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：设DE＝a， ∴CD＝2DE＝2a， ∵点E，D分别是AF，BF的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴AB＝2DE＝2a，DE∥AB， ∴CD＝AB＝2a， ∵点C在ED的延长线上， ∴CD∥AB， 又∴CD＝AB＝2a， ∴四边形ABCD是平行四边形； 在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°， ∴BF＝2AB＝4a， ∵点D是BF的中点， ∴AD是Rt△ABF斜边BF上的中线， ∴AD＝BD＝FDBF＝2a， ∴AD＝AB＝2a， ∴平行四边形ABCD是菱形， （2）解：由（1）可知：设DE＝a，菱形ABCD的边长为2a，BD＝2a， ∴菱形ABCD的周长为：8a， 又∵BD， ∴2a，∴a， ∴菱形ABCD的周长为：8a． 2．（2026•大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF． （1）求证：四边形EFCD为菱形； （2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线． ∴EF∥AB，且EFAB． ∵CD∥AB， ∴EF∥CD． 又∵DE∥CF， ∴四边形EFCD为平行四边形． ∵AB＝BC， ∴EFBC． ∵F为BC的中点， ∴CFBC． ∴CF＝EF． ∴四边形EFCD为菱形； （2）由（1）知，四边形EFCD为菱形，则DC＝DE＝EF＝2． ∵∠ADC＝90°，点E为AC的中点， ∴AC＝2DE＝4． 在直角△ACD中，利用勾股定理知：AD2． 3．（2025春•台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC． （1）求证：四边形AEDC是菱形； （2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCO是矩形， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥CO， 又∵DO＝AO，EO＝CO， ∴四边形AEDC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵AD⊥CE（已证AO⊥CO，DO＝AO，EO＝CO，即对角线互相垂直 ）， ∴四边形AEDC是菱形； （2）解：∵四边形AEDC是菱形， ∴AE＝ED， 又∵∠AED＝60°， ∴△AED是等边三角形， ∴AD＝AE＝4， ∴OA＝OD＝2， ∴∠AEO＝∠DEO＝30°， ∴， ∴， ∴菱形AEDC的面积． 4．（2026•新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q； ③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP． （1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由； （2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长． 【解答】解：（1）四边形APBG是菱形，理由如下： 由作图知MN垂直平分AB，AP＝AG， ∴BG＝AG，BP＝AP， ∴AP＝BP＝AG＝BG， ∴四边形APBG是菱形； （2）∵四边形APBG是菱形， ∴AQ⊥PG，，， 在Rt△AQG中，AQ2+QG2＝AG2， ∴AQ2＝132﹣52＝144， ∴AQ＝12， ∴AB＝2AQ＝2×12＝24． 5．（2025春•保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF•OD的值． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形； （2）解：∵菱形BEDF的周长是32， ∴FD＝32÷4＝8，BD＝2OD，EF＝2OF， ∵BD+EF＝20， ∴2OD+2OF＝20， ∴OD+OF＝10， ∴（OD+OF）2＝102， ∴OD2+OF2+2OD•OF＝100， ∵EF⊥BD， ∴△DOF是直角三角形， 由勾股定理得：OD2+OF2＝DF2＝82＝64， ∴64+2OD•OF＝100， ∴OD•OF＝18． 6．（2025春•通辽期末）课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O． 求证：平行四边形ABCD是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB， ∵BD⊥AC， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2， ∴∠AOD＝90°， ∴BD⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠E+∠COE， ∴∠ACD＝∠E+∠COE， ∵， ∴∠ACD＝2∠E， ∴∠COE＝∠E， ∴OC＝CE， 由①得OC＝4， ∴CE＝4． 题型二十一、正方形基础性质辨析（与矩形、菱形对比） 1．（2026春•兴化市期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【解答】解：根据正方形和矩形的性质对比分析： ①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等； ②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角； ③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征； 综上所述，只有选项D正确，符合题意，故选：D． 2．（2026春•西城区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角的矩形是正方形 【答案】C 【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，不合题意； B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形，是假命题，不合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D、有一个角是直角的矩形是正方形，是假命题，不合题意；故选：C． 3．（2026春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，则下列说法中错误的是（　　） A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 【答案】D 【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，A选项正确，故本选项不符合题意； ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，B选项正确，故本选项不符合题意； ∵AB⊥BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形， ∴平行四边形ABCD是正方形，C选项正确，故本选项不符合题意； ∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形， ∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴都只能证明平行四边形ABCD是菱形，D选项错误，故本选项符合题意．故选：D． 4．（2026春•玄武区校级期中）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法正确的是（　　） ①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形； ③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O， 过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H， 则四边形EFGH是平行四边形，故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故①正确； ②如图，当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故②正确； ③如图，当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故③正确； ④当四边形EFGH是正方形时，EH＝EF，则△AEH≌△BFE（AAS），∴AH＝BE，AE＝BF， ∵BF＝DH，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形， 当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④错误；故选：C． 题型二十二、正方形边长、对角线、面积基础计算 1．（2026春•房山区期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，则正方形ABCD的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【解答】解：AB＝BC＝a（正方形的边长），且已知对角线， 代入公式得：，2a2＝2，a2＝1， ∵边长a必须是正数，∴解得a＝1．周长＝4×a＝4×1＝4．故选：B． 2．（2026春•普陀区期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是　　 ． 【答案】3． 【解答】解：正方形的面积是3．故答案为：3． 3．（2026春•闵行区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC＝11，BF＝5，则DE的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接BE，四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝11，∠EAF＝45°， ∵EF⊥AB，∴EF＝AF＝AB﹣BF＝11﹣5＝6，BE， ∵正方形ABCD关于AC对称，∴DE＝BE．故答案为：． 4．（2026春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣4），D（b，﹣2），则正方形ABCD的面积是　　 ． 【答案】20． 【解答】解：过点D作DE⊥OC于点E，则OC＝2，OE＝2， ∴CE＝OC﹣OE＝4﹣2＝2， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CED＝90°，BC＝CD， ∴∠BCO+∠OCD＝∠CDE+∠OCD＝90°，∴∠BCO＝∠CDE， ∴△OBC≌△ECD（AAS），∴DE＝OC＝4， ∴正方形ABCD的面积是CE2+DE2＝22+42＝20，故答案为：20． 5．（2025春•城厢区校级期中）用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为　　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图1，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB， ∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC＝5， 如图2，连接AC， ∵正方形ABCD与菱形ABCD的边长相等，∴AB＝CB＝5，∠B＝90°， ∴ACAB＝5，故答案为：5． 题型二十三、正方形性质与角度计算综合 1．（2026春•东西湖区期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形， ∴∠BAD＝90，∠DAE＝60°，AB＝AD，AD＝AE，∴∠BAE＝150°，AB＝AE， ∴∠AEB＝∠ABE（180°﹣150°）＝15°．故选：B． 2．（2026春•江阴市期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2＝65°，则∠1＝　 　 ． 【答案】155°． 【解答】解：如图， 由题意可知，∠4+∠2＝∠3+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°， ∴∠3＝∠2＝65°，∠5＝25°，∴∠1＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155°． 3．（2026春•韩城市期中）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE，连接DE，DF，若∠EAB＝30°，求∠DFE的度数． 【解答】解：∵在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE， ∴AD＝AE＝EF，∠DAB＝∠AEF＝90°， ∵∠EAB＝30°， ∴∠DAE＝90°﹣∠EAB＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DEA＝60°，DE＝AE＝EF， ∴∠DEF＝30°， ∴． 4．（2026春•吴忠期中）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）判断四边形ACED的形状，并说明理由； （2）若BD＝8cm，求线段BE的长． 【解答】解：（1）四边形ACED是平行四边形． 理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， 即AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）由（1）知，BC＝AD＝CE＝CD， ∵BD＝8cm， ∴BCBD8＝4cm， ∴BE＝BC+CE＝448cm． 题型二十四、正方形性质与实际应用、图形拼接 1．（2026春•临安区期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为2.1m的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高2m，宽0.9m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（　　） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出长方形门框的对角线长，再与正方形大理石的边长进行比较即可得到结论． 【解答】解：斜着沿门框对角线能进门， 理由：∵2.5（m），∵2.1＜2.19，∴斜着沿门框对角线能进门，故选：C． 2．（2026春•秦淮区期中）将菱形MNPQ、菱形EFGH和正方形ABCD按如图所示的位置摆放，FG与NP间的距离为1cm．已知AB＝EF，则正方形ABCD的面积为（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 【答案】D 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，由题可知AB＝EF＝a． 根据图形摆放的位置关系，可得FG与NP之间的垂直距离为，解得正方形边长a＝4cm． 正方形面积公式为边长的平方，因此正方形ABCD的面积为42＝16cm2，对应选项D．故选：D． 3．（2025春•鄞州区期末）如图1，由5块图形拼成矩形ABCD（其中①，②是正方形），截去①号正方形后，其余4块图形可拼成如图2的正方形EFGH，则下列说法错误的是（　　） A．四边形ABCD是正方形 B．矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍 C．③号图形的较长直角边是较短直角边的倍 D．矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的倍 【答案】D 【解答】解：如图： 根据题意可得，两个图中⑤是同一个图形， 即MO＝ER，MN＝EQ，NC＝QT，PC＝ST，MO＝ER， ∵①，②是正方形，∴AK＝AJ＝JL＝KL，JL＝JD＝DN＝LN， ∴AJ＝JD，即①与②是边长相等的两个正方形； 又∵②是正方形，且两个图中②是同一个图形， 故DN＝HW＝QT，∴DN＝HW＝QT＝NC，即DN＝DC，∴AD＝DC， 又∵多边形ABCD是矩形，故四边形ABCD是正方形，故A选项说法正确． 则正方形ABCD的周长为4AD＝4×2JD＝8JD， ②号正方形周长为4JD， ∵，故矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍，故B选项说法正确． 设AJ＝x，则正方形ABCD的面积为（2x）2＝4x2，①号正方形的面积为x2， 根据题意可得，正方形EFGH的面积为4x2﹣x2＝3x2， 故正方形EFGH的边长为，即， ∵KB是图形③中较短的直角边，且两个图中③是同一个图形， 故KB＝RF＝x，故在Rt△RFG中，， 即③号图形的较长直角边是较短直角边的倍，C选项说法正确． 设AJ＝x，则正方形ABCD的周长为4AD＝4×2AJ＝8x， 正方形EFGH的周长为，则， 故矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的倍，故D选项说法错误；故选：D． 4．（2025春•阜宁县期中）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为10，∠D′＝30°，则四边形A′BCD′的面积为　 　 ． 【答案】50． 【解答】解：设A′D′交CD于点E， ∵四边形ABCD是边长为10的正方形，∴AD＝CD＝10，∠BCD＝90°， ∵正方形ABCD形状改变后它的四条边的长度不变， ∴四边形A′BCD′是菱形，且A′D′＝AD＝10，CD′＝CD＝10， ∵A′D′∥BC，∴∠CED′＝∠BCD＝90°，∴CE⊥A′D′， ∵∠D′＝30°，∴CECD′＝5， ∴S四边形A′BCD′＝A′D′•CE＝10×5＝50，故答案为：50． 题型二十五、正方形中线段定值与勾股定理综合 1．（2026春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P是CD上任意一点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F，若该正方形的面积为50，则PE+PF的值为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC与BD是对角线， ∴AC⊥BD，AC＝BC，OCAC，∠ACD＝45°，∴∠COD＝90°， ∵正方形ABCD的面积为50，∴AC•BD＝50，∴AC2＝100， ∴AC＝10，AC＝﹣10，不合题意，得去，∴OCAC＝5， ∵PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F，∴∠PEO＝∠PEC＝∠PFO＝90°， ∴∠COD＝∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴PF＝OE， 在△PEC中，∠PEC＝90°，∠ACD＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE＝CE，∴PE+PF＝CE+OE＝OC＝5．故选：B． 2．（2026春•昆山市期中）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上的一点，FG是线段AE的垂直平分线，与正方形的两边CD，AB分别交于点F，G，若，则线段BE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AF，EF，EG，如图所示： 设DF＝a，AG＝b，BE＝x， ∵DF+AG，∴a+b， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为1，∴AD＝CD＝BC＝AB＝1，∠D＝∠C＝∠B＝90°， ∴CF＝CD﹣DF＝1﹣a，CE＝BC﹣BE＝1﹣x，BG＝AB﹣AG＝1﹣b， ∵FG是线段AE的垂直平分线，∴AF＝EF，EG＝AG＝b， 在△ADF中，∠D＝90°，由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2＝1+a2， 在△EFC中，∠C＝90°，由勾股定理得：EF2＝CF2+CE2＝（1﹣a）2+（1﹣x）2， ∴1+a2＝（1﹣a）2+（1﹣x）2，整理得：2a＝x2﹣2x+1①， 在△BEG中，由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2， ∴b2＝x2+（1﹣b）2，整理得：2b＝x2+1②， ①+②，得：2（a+b）＝2x2﹣2x+2， ∴a+b＝x2﹣x+1，∴x2﹣x+1，整理得：4x2﹣4x+1＝0， ∴（2x﹣1）2＝0，∴2x﹣1＝0，∴x，∴BE＝x，即线段BE的长为．故选：C． 3．（2026春•江阴市期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且点N恰好是EF的中点．若图中阴影部分面积为3，则AB的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，设BM交CP于点L，CE交MN于点H， ∵四边形ABMN、四边形BCPQ、四边形ACEF都是正方形，∠ACB＝90°， ∴∠FAC＝∠NAB＝∠ACB＝∠ACE＝∠E＝∠ABM＝∠BCL＝90°，MN∥AB，AN＝AB，AF＝AC＝EF， ∴∠ACB+∠ACE＝180°，∠FAN＝∠CAB＝90°﹣∠CAN， ∴B，C，E三点在同一条直线上，∴∠NHE＝∠ABC， ∵∠BLC＝∠ABC＝90°﹣∠LBC，∴∠NHE＝∠BLC， 在△ANF和△ABC中，，∴△ANF≌△ABC（SAS），∴FN＝CB， ∵点N是EF的中点，∴FN＝EN，EF＝2NE，∴EN＝CB， 在△ENH和△CBL中，，∴△ENH≌△CBL（AAS），∴S△ENH＝S△CBL， ∴S阴影＝S△ENH+S四边形PQBL＝S△CBL+S四边形PQBL＝S正方形BCPQ， ∵S阴影＝3，，∴CB2＝3，∴（负值舍去）， ∴，∴，∴， ∴．故选：B． 4．（2026春•虹口区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD边上一点（与点A、D不重合），联结CE，交BD于点F．当△DEF是等腰三角形时，则AE的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为1， ∴AB＝BC＝AD＝1，∠EDF＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠AOD＝90°，AD∥BC， ∴△ABD是直角三角形，由勾股定理得：BD， ∵点E为AD边上一点（与点A、D不重合），∴∠BCF＜∠BCD＝90°， ∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BCF＜90°， ∵△DEF是等腰三角形，∴有以下三种情况， ①当DE＝DF时，∴∠DEF＝∠DFE， ∵∠DEF＝∠BCF，∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝1， ∴DF＝BD﹣BF，∴DE＝DF，∴AE＝AD﹣DE； ②当DE＝FE时，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∴∠DEF＝180°﹣（∠EFD+∠EDF）＝90°， 又∵∠DEF＜90°，∴此种情况不存在； ③当EF＝DF时，∴∠DEF＝∠EDF＝45°，∴∠DFE＝180°﹣（∠DEF+∠EDF）＝90°， ∵∠AOD＝90°，∴此时点F于点O重合，点E于点A重合，不合题意， 综上所述：当△DEF是等腰三角形时，则AE的长为．故答案为：． 题型二十六、正方形性质与全等三角形、多结论判断 1．（2026春•江阴市期中）如图，在正方形ABCD中，点P在DC上，连接PA、PB，作AE⊥PB于点M，交BC于点E，作BF⊥PA于点N，交AD于点F，下列结论正确的个数有（　　）个． ①△ABF≌△DAP；②△ABE≌△BCP；③DP＝CE；④若∠APB＝53°，则∠PFB+∠PEA＝143°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAF＝∠D＝90°，BA＝AD， ∵BF⊥PA于点N，∴△ABN是直角三角形， 在Rt△ABN中，∠ABF+∠BAN＝90°， 又∵∠DAP+∠BAN＝90°，∴∠ABF＝∠DAP， 在△ABF和△DAP中，，∴△ABF≌△DAP（ASA），故结论①正确； ②∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC， ∵AE⊥PB于点M，∴△ABM是直角三角形， 在Rt△ABM中，∠BAE+∠ABM＝90°， 又∵∠CBP+∠ABM＝90°，∴∠BAE＝∠CBP， 在△ABE和△BCP中，，∴△ABE≌△BCP（ASA），故结论②正确； ③∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC， ∵△ABE≌△BCP，∴BE＝CP，∴CD﹣CP＝BC﹣BE，∴DP＝CE，故结论③正确； ④∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD， ∵△ABF≌△DAP，∴AF＝DP，∴AD﹣AF＝CD﹣DP，∴DF＝CP， 在△DPF和△CEP中，，∴△DPF≌△CEP（SAS），∴∠DFP＝∠CPE， 在Rt△DFP中，∠DFP+∠DPF＝90°，∴∠CPE+∠DPF＝90°， ∴∠EPF＝180°﹣（∠CPE+∠DPF）＝90°， ∵∠APB＝53°，∴∠FPN+∠EPM＝∠EPF﹣∠APB＝90°﹣53°＝37°， ∵BF⊥PA于点N，AE⊥PB于点M，∴△FPN和△EPM都是直角三角形， ∴∠PFB＝90°﹣∠FPN，∠PEA＝90°﹣∠EPM， ∴∠PFB+∠PEA＝180°﹣（∠FPN+∠EPM）＝180°﹣37°＝143°．故结论④正确， 综上所述：结论正确的是①②③④，共4个．故选：D． 2．（2025春•齐齐哈尔校级期中）如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤2OF2＝EF2；⑥若DF＝3，，则．其中正确的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，CD＝BC， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOC﹣∠COF＝∠EOF﹣∠COF，即∠DOF＝∠COE，∴△DOF≌△COE（ASA），故①正确； ∵△DOF≌△COE，∴DF＝CE，OF＝OE， ∴CD﹣DF＝BC﹣CE，即CF＝BE，故②正确； ∵OF＝OE，∠EOF＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OFE＝45°， ∴若需证FO＝FG，则需证， 而题目条件无法证明∠FOG＝67.5°，故③不正确； ∵△DOF≌△COE，∴S△DOF＝S△COE， ∴S四边形CEOF＝S△COE+S△COF＝S△DOF+S△COF＝S△DOC， ∵正方形ABCD，∴， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故④正确； ∵∠EOF＝90°，∴OF2+OE2＝EF2，∴2OF2＝EF2，故⑤正确； ∵DF＝3，，∴， ∴，， ∴， ∴S△OEF＝S四边形CEOF﹣S△CFE＝6，∴，即OE2＝12， ∴．故⑥正确． ∴综上所述，其中正确的有①②④⑤⑥，正确的个数是5．故选：C． 3．（2025春•北京期末）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上任意一点（不与A，C重合），过点P作EF∥AD，MN∥AB，点E，F，M，N分别是边AB，CD，AD，BC上的点．连接BP，DP．设AE＝a，BE＝b，AM＝c，DM＝d．下面四个结论中正确的个数是（　　） ①当AE＝AM时，四边形AEPM是正方形； ②四边形BEPN与四边形DMPF的面积始终相等； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE＝a，BE＝b，AM＝c，DM＝d， ∴∠BAD＝90°，S△ABC＝S△ADC，BC＝AD＝AM+DM＝c+d，CD＝AB＝AE+BE＝a+b； ∵EF∥AD，MN∥AB，∴四边形AEPM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）； ∵∠BAD＝90°，∴四边形AEPM是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴PM＝AE＝a，PE＝AM＝c； 同理得四边形BEPN，四边形MPFD，四边形PNCF均是矩形； ∵AE＝AM，∴四边形AEPM是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）；故①正确； ∵S△AEP＝S△AMP，S△PNC＝S△PFC，S△ABC＝S△ADC， ∴S△ABC﹣S△AEP﹣S△PNC＝S△ADC﹣S△AMP﹣S△PFC， 即四边形BEPN与四边形DMPF的面积相等；故②正确； ∵PE＝AM＝c，∴； 在△BPE中，BE+PE＞PB，即；故③错误； 连接BD， ∵，； 在△PBD中，PB+PD≥BD，当点P位于对角线BD上时，等号成立； ∴；故④不正确； 综上，正确的有2个；故选：B． 4．（2025春•长乐区校级期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　 　 ．（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解答】解：①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示： ∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形AECD为矩形，∴AD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠DCB＝120°，∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°，∴BEBC， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CEBC， ∴ADBC，故①不正确； ②∵∠DAB＝∠CDA＝90°，∴CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD， ∵AC垂直平分DB，∴AD＝AB，∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°，∴∠CDB＝∠ABD＝45°， ∵CD＝BC，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC，∴矩形ABCD为正方形，∴AD＝BC，故②正确； ③∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∴BC⊥AB，∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC，∴矩形ABCD为正方形，故③正确； ④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示： 则∠AHB＝∠FHB＝90°， ∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD， ∵CD＝BC，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CBD， 在△AHB和△FHB中，，∴△AHB≌△FHB（ASA） ∴AH＝FH，∴点A与点F关于直线BD对称， ∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上，故④正确， 综上所述：正确的是②③④． 题型二十七、正方形性质与动点最值问题 1．（2026春•江北区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一点，过E作EF⊥AD交BD于点F，取BE的中点G，则GF的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，延长FG，交AB于点H，取AB的中点N，连接NG， ∵EF⊥AD，∴∠AEF＝∠DEF＝90°，∴∠AEF＝∠A＝90°，∴∠AEF+∠A＝180°， ∴AB∥EF，∴∠GBH＝∠GEF， ∵BE的中点为点G，∴BG＝EG， 又∵∠HGB＝∠FGE，∴△HGB≌△FGE（ASA），∴GF＝GH，EF＝BH， ∵AB的中点为点N，BE的中点为点G，∴NGAE，NG∥AE， ∴∠HNG＝180°﹣∠A＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDF＝45°， ∴△DFE为等腰直角三角形，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝BH， 设DE＝x，则BH＝x，AE＝4﹣x，NG＝2，NH＝|2﹣x|，GH2＝y， ∴y＝（2﹣x）2+（2）2，∴yx2﹣6x+8， 当x时，y取得最小值，即GH的最小值为， ∴GF的最小值为．故答案为：． 2．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E在线段AB上，作射线DE，分别过点A，B，C作DE的垂线，垂足分别为点F，G，H，则AF+BG+CH的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接BD，CE，如图， ∵AB＝CD＝AD＝10，∠BAD＝90°，∴，∴， ∵， ∴S△CDE+S△ADE+S△BED＝100， 又∵AF⊥DG，CH⊥DG，BG⊥DG， ∴， ∴， ∵，∴当E与B重合时，DE的值最大为， ∴AF+BG+CH有最小值为．故答案为：． 3．（2026春•扬州期中）如图，∠POQ＝45°，A、B是∠POQ的边OP上两定点，OB＝6，OA＝2，E是边OQ上一动点，分别以AB、AE为边作正方形ABCD、正方形AEFG．则线段BG的最小值为 　　 ． 【答案】BG的最小值为． 【解答】解：如图，设OQ交AD于点T，过点D作DH⊥OQ于点H． ∵四边形AEFG，四边形ABCD都是正方形， ∴∠EAG＝∠DAB＝90°，AE＝AG，AD＝AB， ∴∠DAE＝∠BAG，∴△DAE≌△BAG（SAS），∴DE＝BG， ∴DE的值最小时，BG的值最小， ∵OA＝2，OB＝6，AB＝AD＝4，∠O＝45°，∠OAT＝90°， ∴∠O＝∠ATO＝45°， ∴OA＝AT＝2，∴DT＝4﹣2＝2， 当DE与DH重合时，DE的值最小，DE的最小值＝DE•sin45， ∴BG的最小值为；故答案为：． 题型二十八、正方形性质与几何证明 1．（2024秋•水城区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，过E点作EF⊥AD于点F，连接AC． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求∠DAC的度数． 【解答】解：（1）这两条路等长，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°， ∵DE＝CF， ∴AD﹣DE＝CD﹣CF， 即AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴AF＝BE， 故这两条路等长； （2）这两条路等长，理由如下： 如图2，作EM⊥BC于点M，交HF于点P，作HN⊥CD于点N，交EM于点Q， ∴∠EMG＝∠EMC＝90°，∠HNF＝∠HND＝90°， ∴∠EMG＝∠HNF， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝CD， ∴∠A＝∠HND＝∠D＝90”，∠EMC＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形AHND、四边形EMCD都是矩形， ∴EM∥BC，HN＝AD，EM＝CD， ∴∠HQP＝∠HNF＝90”，HN＝EM， ∴∠NHF+∠HPQ＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠MEG+∠HPQ＝90°， ∴∠MEG＝∠NHF， ∵HN＝EM，∠EMG＝∠HNF， ∴△EMG≌△HNF（ASA）， ∴EG＝FH，故这两条路等长． 2．（2025春•西和县期末）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：△AHF是等腰三角形， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ABH＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AE＝BF， ∵DE＝AF， ∴BH＝AE， ∴BH＝BF， ∵∠ABH＝90°， ∴AH＝AF， ∴△AHF是等腰三角形． 3．（2025春•前郭县期末）如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）连接AC，延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°．即∠ABP+∠PBC＝90°， ∵AP⊥BP， ∴∠ABP+∠PAB＝90°， ∴∠PBC＝∠PAB． ∵CE⊥BP， ∴∠APB＝∠BEC＝90°． ∵BP＝CE， ∴△ABP≌△BCE（AAS）． ∴AB＝BC． ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：∵△ABP≌△BCE，∴AP＝BE． ∵BE＝CF， ∴AP＝CF． ∵AP⊥BP，FE⊥BP， ∴AP∥CF， ∴四边形ACFP是平行四边形． ∴AC∥PF， ∴∠ACB＝∠BGP． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BGP＝∠ACB＝45°． 题型二十九、正方形判定（条件添加、概念判断） 1．（2026•盘锦校级开学）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝CD B．DC＝BC C．∠AOB＝60° D．OC＝CD 【答案】B 【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形． ∴DC＝BC，能使矩形ABCD成为正方形．故选：B． 2．（2026春•金山区校级月考）在四边形ABCD中，对角线交点为O．下列条件能判定四边形是正方形的条件是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AC＝CD，BO＝DO，AB＝BC 【答案】C 【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故不符合题意； B、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C、∵AO＝BO＝CO＝DO，∴四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故符合题意； D、∵AC＝CD，BO＝DO，AB＝BC，不能得出四边形ABCD是正方形，故不符合题意；故选：C． 3．（2026春•长乐区校级期中）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果AD＝EF，则四边形AEDF是矩形 C．若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形 D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形 【答案】D 【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项不符合题意． 因为AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项不符合题意． 因为AD⊥EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形．故C选项不符合题意． 如果AD⊥BC且AB＝AC，不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项符合题意．故选：D． 4．（2026春•长沙月考）请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形，则此条件可以为 　 ． 【答案】AC＝BD或∠ABC＝90° 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°； 故添加的条件为：AC＝BD或∠ABC＝90°．故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°． 5．（2026春•徐州月考）在矩形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，对角线AC与BD相交于点O，要使得矩形ABCD是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 【答案】AB＝BC（答案不唯一）． 【解答】解：要使得矩形ABCD是正方形，则增加的一个条件可以是：AB＝BC（答案不唯一）， 故答案为：AB＝BC（答案不唯一）． 6．（2025•尼木县一模）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形． 【答案】AC＝BD或AB⊥BC 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC． 7．（2025春•互助县期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC⊥BD，且相交于点O，请你添加一个条件，使其成为正方形： 　 ． 【答案】AB⊥BC（答案不唯一）． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形ABCD为正方形， ∴当AB⊥BC或AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，故答案为：AB⊥BC（答案不唯一）． 8．（2025春•济源校级期中）如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件 　 （用字母表示，只添加一个条件），就可以判定四边形ABCD是正方形． 【答案】AB＝AD（答案不唯一）． 【解答】解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 9．（2025春•利通区校级期中）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等，b．一组对边平行且相等，c．一组邻边相等，d．一个角是直角，顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是　 　 ． 【答案】①②． 【解答】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，不符合题意；故答案为：①②． 题型三十、正方形判定（动点存在性计算） 1．（2025春•康乐县校级月考）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠DAB＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E、F同时从点O出发在线段AC上以0.5cm/s的速度分别向点A、C运动（点E、F分别到达A、C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE、DF、BE、BF，当t＝ 　　 时，四边形DEBF为正方形． 【答案】4． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB， ∵∠DAB＝60°，∴△ABD是边长为4cm的等边三角形，∴BD＝4cm， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴OD＝2cm， ∵四边形DEBF为正方形，∴OD＝OE， ∴t＝2÷0.5＝4，即t＝4时，四边形DEBF为正方形．故答案为：4． 2．（2026春•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE＝CD，连接BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）当∠ABC＝　　 °时，四边形AEBD是正方形． 【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 又∵AE＝CD， ∴AE＝BD， ∵AE∥BC，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形． （2）解：当∠ABC＝45°时，四边形AEBD是正方形，证明如下： 由（1）可得AD⊥BC，且四边形AEBD是矩形， 又∵AD⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∴矩形AEBD是正方形． 3．（2025春•黄石校级期中）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角∠ACD，过点A作AM⊥CE垂足为M，AN⊥CF垂足为N，连接MN交AC于点O． （1）求证：AC＝MN； （2）当线段AC和MN满足什么条件时，四边形AMCN为正方形． 【解答】（1）证明：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角∠ACD， ∴， ∴， ∵AM⊥CE垂足为M，AN⊥CF垂足为N， ∴∠AMC＝∠ANC＝90°， ∴四边形AMCN是矩形， ∴AC＝MN； （2）解：当AC⊥MN时，四边形AMCN为正方形，理由如下： ∵四边形AMCN是矩形，AC⊥MN， ∴四边形AMCN为正方形． 4．（2025春•西宁期末）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接BF，CF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若BF＝FC，判断四边形ABDF的形状，并说明理由； （3）当△BFC满足什么条件时，四边形ABDF是正方形？（直接写出条件即可，不要求证明） 【解答】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， 即DF∥AB， 又∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）当BF＝FC时，四边形ABDF是矩形，理由如下： ∵BF＝FC， ∴△BFC是等腰三角形， ∵点D是BC的中点， ∴FD⊥BC， 即∠BDF＝90°， ∴平行四边形ABDF是矩形； （3）当△BFC满足BF＝CF，∠BFC＝90°时，四边形ABDF是正方形，证明如下： 在△BFC中，BF＝CF，∠BFC＝90°，点D是BC的中点， ∴BD＝DF，∠BDF＝90°， ∴平行四边形ABDF是正方形． 题型三十一、正方形判定（几何证明题） 1．（2025春•西安期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°． 由折叠，得∠A＝∠DFE＝90° ∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°． ∴四边形AEFD是矩形． ∵AE＝EF， ∴四边形AEFD是正方形． 2．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【解答】证明：如图，作OH⊥AB与H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH＝OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH＝OG， ∴OF＝OG， ∴四边形OGCF是正方形． 3．（2025春•镇原县期中）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形． 【解答】证明：连接GH， ∵G、F分别是BE、BC的中点， ∴GF∥EC， 同理FH∥BE， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∵G、H分别是BE，CE的中点， ∴GH∥BC， ∵EF⊥BC， ∴EF⊥GH， 又∵四边形EGFH是平行四边形， ∴四边形EGFH是菱形， ∵BE⊥EC， ∴菱形EGFH是正方形． 题型三十二、正方形与平面直角坐标系综合 1．（2026春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一个正方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，1），（1，1），（1，﹣2），则下列坐标表示的点能成为该正方形顶点的是（　　） A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2） 【答案】D 【解答】解：已知三个顶点分别为A（﹣2，1），B（1，1），C（1，﹣2）， ∵A和B纵坐标相等， ∴AB∥x轴，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3， ∵B和C横坐标相等， ∴BC∥y轴，BC＝|1﹣（﹣2）|＝3， ∴AB⊥BC，AB＝BC，AB，BC是正方形的相邻边， ∵正方形对边平行， ∴第四个顶点横坐标与A相同，纵坐标与C相同， ∴第四个顶点坐标为（﹣2，﹣2），正确选项为D， 故选：D． 2．（2025春•丹徒区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　 　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 【解答】（1）解：∵PD⊥y轴，PC⊥x轴，∠AOB＝90°， ∴∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°， ∴四边形PDOC是矩形， ∴∠DPC＝90°， 过P作PE⊥AB于E， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∵PB＝PB， ∴Rt△PDB≌Rt△PEB（HL）， ∴∠DPB＝∠EPB， 同理∠CPA＝∠EPA， ∴∠BPA＝∠BPE+∠APE； 故答案为：45； （2）①证明：由（1）知四边形PDOC是矩形， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∴PD＝PC， ∴四边形OCPD是正方形； ②∵OA＝AC＝3， ∴OC＝OD＝6， 由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB， ∴BD＝BE， 同理AE＝AC＝3， 设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x， ∴AB＝3+6﹣x， ∵AB2＝OB2+OA2， ∴（9﹣x）2＝x2+32， ∴x＝4， ∴点B的坐标为（0，4）． 题型三十三、正方形与三角形内心、角平分线综合 1．（2025春•巴中期末）三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在Rt△ABC中，点P是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：如图，过P作PE⊥AB于E，过P作PF⊥AC于F， ∵P为三个内角平分线的交点，PD⊥BC， ∴PD＝PE＝PF， ∵∠ABC＝∠PDB＝∠PEB＝90°， ∴四边形PEBD为正方形， ∴PE＝BE＝BD＝PD， 在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12， 由勾股定理得：， ∵， ∴5×12＝（5+12+13）×PE， 解得：PE＝2， ∴PE＝BE＝BD＝PD＝2， ∴AE＝3， 在直角三角形AEP中，由勾股定理得：；故选：B． 2．（2025•东莞市三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形， （2）连接AC，如图所示： ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8√2， ∵四边形ABCD为正方形， ∵AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴AD2AC264， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． 3．（2025春•靖江市校级月考）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵DE＝BF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∵AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：∵正方形ABCD的面积为32， ∴， ∴， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝4， ∴AC＝2AO＝8， ∵BF＝1， ∴OF＝BO﹣BF＝4﹣1＝3， ∵四边形AFCE是菱形， ∴EF＝2OE＝2OF＝6，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积， 在Rt△AOE中， ， 设点F到线段AE的距离为h， ∴菱形AFCE的面积＝AE•h＝24，即5h＝24， ∴，∴即点F到线段AE的距离为． 题型三十四、正方形与 45° 角、翻折变换综合 1．（2025春•海陵区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝a，AD＝b，则CD的长为　　 ．（用含有a，b的代数式表示） 【答案】． 【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 将AD分别沿着AB，AC翻折，得到AE，AG，连接EC，GB并延长交于点F， 则：AE＝AD＝AG＝b，CD＝CE，DB＝BG＝a，∠DAB＝∠GAB，∠CAE＝∠CAD，∠E＝∠ADC＝90°，∠AGB＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝45°，∴∠DAB+∠GAB+∠CAE+∠CAD＝2∠BAC＝90°， ∴四边形AGFE为正方形，∴∠F＝90°，FG＝EF＝AE＝b，∴BF＝b﹣a， 设CD＝CE＝x，则：BC＝a+x，CF＝b﹣x， 在Rt△BFC中，BC2＝BF2+CF2，∴（a+x）2＝（b﹣x）2+（b﹣a）2 ∴，∴；故答案为：． 2．（2025秋•高新区校级期中）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　　 °时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　　 ． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵CF∥AE ∴∠FCB＝∠CBE， ∴∠FBC＝∠CBE， ∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD， ∴△FDB≌△EDB（ASA）， ∴BF＝BE， ∴BE＝EC＝FC＝BF， ∴四边形BECF是菱形； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下： 若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝45°， ∵∠A＝45°， ∴∠AEC＝90°， 由（1）知四边形BECF是菱形， ∴四边形BECF是正方形；故答案为：45； （3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2， ∴四边形ABFC的面积为12，故答案为：12． 3．（2025春•宿城区期中）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　　 ． 【解答】解：（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC＝∠BAC+∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF是矩形， ∵AD＝AE，AD＝AF， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）设CD＝x，则BC＝x+2 ∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形， ∴EG＝FG＝AD＝6，∠BGC＝90°， ∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x， ∴BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x， 在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG2＝BC2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3， ∴CD＝3，故答案为：3． 题型三十五、正方形判定与性质综合（定值探究） 1．（2025春•新昌县校级月考）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF． （1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG＝6，求△FCG的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形， ∴HG＝EH， ∵AH＝2，DG＝2， ∴DG＝AH， 在Rt△DHG和△AEH中，， ∴Rt△DHG≌△AEH， ∴∠DHG＝∠AEH， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠DHG+∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∵四边形EFGH为菱形， ∴四边形EFGH为正方形； （2）解：作FQ⊥CD于Q，连接GE，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AEG＝∠QGE，即∠AEH+∠HEG＝∠QGF+∠FGE， ∵四边形EFGH为菱形， ∴HE＝GF，HE∥GF， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠AEH＝∠QGF， 在△AEH和△QGF中， ∴△AEH≌△QGF， ∴AH＝QF＝2， ∵DG＝6，CD＝8， ∴CG＝2， ∴△FCG的面积CG•FQ2×2＝2． 2．（2025春•咸阳期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若BE＝DG，求证：AD＝AE； （3）在（2）的条件下，已知BE＝2，求OG的长． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠BAF＝∠ABE＝90°， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AE平分∠BAD， ∴EF＝EB， ∴四边形ABEF是正方形； （2）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAG＝∠EAB， ∵DG⊥AE于点G， ∴∠AGD＝∠ABE＝90°， 在△AGD和△ABE中，， ∴△AGD≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AE； （3）解：由（1）可知四边形ABEF是正方形， ∴BE＝AB＝2，∠FAE＝∠FEA＝45°， ∴， 由（2）可知△AGD≌△ABE， ∴DG＝BE＝AB＝AG＝2， ∴， ∵DG⊥AE， ∴∠GOE＝∠OEG＝45°， ∴． 3．（2025春•新乡校级期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， 且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中，， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形； ②解：CE+CG的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴AC＝AE+CEAB24， ∴CE+CG＝4 是定值． 学科网（北京）股份有限公司 $