2026年中考数学二轮复习专项训练二次函数提升特殊三角形存在性问题

2026年中考数学二轮复习专项训练 二次函数提升特殊三角形存在性问题 1．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 5．如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 6．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求为直角三角形时点的坐标． 7．如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 8．已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 9．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点． (1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标． 11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)求四边形面积的最大值； (3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标． 12．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 13．如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与轴另一交点坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上直线上方一点，过点P作轴，交于点Q，过点A作直线轴，过点P作于点K，求的最大值及点的坐标． (3)在（2）取得最大值情况下得到点P坐标，把原抛物线向左平移个单位后的新抛物线上的对称轴上有一点M，是否存在一点M使得以P、O、M构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标（并写出求点M的过程的一种情况）；若不存在，说明理由． 14．如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 15．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮复习专项训练二次函数提升特殊三角形存在性问题》参考答案 1．(1) (2)是直角三角形 (3)面积的最大值，此时点E的坐标为 【分析】（1）把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点B的坐标，可证明，据此可得结论； （3）过点E作轴交于点F，求出直线的表达式为；设，则，则，可求出，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴； ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，过点E作轴交于点F， 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 则，即此时点E的坐标为． 2．(1) (2)P(1，4)、(2，3)、(，)、(，) (3)存在，Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 【分析】本题主要考查二次函数，等腰直角三角形； （1）采用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意得到直线解析式为，设，得到，计算求解即可； （3）根据P点坐标，和等腰直角三角形的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：中，代入、得： ， 解得， ∴． （2）解：∵、， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得或或， 把或或，代入， 得或或， ∴点坐标为 、、； （3）解：存在， ∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， 当，时， ∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同； 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， ∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 3．(1) (2)，最大面积 (3)存在，，，， 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． （3）解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 4．(1)， (2) (3)存在，点P坐标为 (4)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）根据二次函数的图象和性质可知当时，y取得最大值为4，再分别求出当时和当时对应的y值，结合函数图象即可得出答案． （3）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （4）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：由（1）可知， 则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4， 当时，， 当时，， 故当时，． （3）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （4）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 5．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数有最大值可得，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得，即可求出的取值范围； （2）分别求出三点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解： ，       ∵二次函数有最大值， ∴， ∵函数最大值不超过5， ， 解得： ， （2）解：当时，， 解得：，， ， ，      过点作轴于点 ， 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得： ∴的值为． 6．(1)； (2)存在，线段长的最大值为； (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）已知在直线上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大，最大值为； （3）解：∵为直角三角形， ①若点A为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作轴于点N，则，． 过点A作，交x轴于点M， 则由题意知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则：， 解得， 所以直线的解析式为：， 又抛物线的解析式为：， 联立得， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，即点C、M点重合． 当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C， 则点C在抛物线上，且， 当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为或． 7．(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； （2）解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合——线段问题，二次函数综合——特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．(1) (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式求出点D的坐标，则可证明，据此可得结论； （3）连接，可证明当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出直线解析式，即可求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，且点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； ∵，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵的长为定值， ∴当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 9．(1)抛物线的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． 10．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形， Q点坐标为或 (3)P点横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，分别求出，分三种情况讨论：当为斜边时，此时t无解；当为斜边时，；当为斜边时，； （3）设与y轴的交点为G，由题可知D点是的中点，则，设，则，，设，，得到，求出m的值即可求解． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点，点，分别代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当时，， 解得或， ∴， ∴， 当为斜边时，， 此时t无解； 当为斜边时，， 解得， ∴； 当为斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：Q点坐标为或； （3）解：设与y轴的交点为G， ∵， ∴点D是的中点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 当点D在点P的右侧时， 设与y轴的交点为G， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为或． 11．(1)， (2) (3)、、或 【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点A，点C的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点B的坐标，设直线的解析式为，把，B的坐标代入，得出直线的解析式为． （2）根据题意得，，求出，，，求出，，根据得，运用二次函数的性质得出结论即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，设点，由两点间距离公式得，，；分，，三种情况，结合勾股定理列方程求出的值可得点的坐标． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 令， 解得， ∴点B的坐标， 设直线的解析式为， 把，B的坐标代入，得， 解得 所以直线的解析式为． （2）解：∵轴，点P的横坐标为m． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形面积， ， ∵， ∴有最大值， ∴当时，最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵， ∴，，； 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∴， 解得， ∴； ③当时，， ∴， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述，点的坐标为、、或． 12．(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； （2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 13．(1) (2)最大值为， (3)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，直角三角形的存在性问题，最值问题等知识点． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出，再由待定系数法可求直线，设，则，则，再由二次函数的性质求解最值即可； （3）先求出向左平移个单位后的新抛物线为，设，则表示出，，，然后分类讨论，利用勾股定理以及两点间距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：对于，当， 则， 解得：或， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 设， ∴由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∵，， ∴当时，取得最大值为， 此时； （3）解：存在，理由如下： 将配方可得， ∴向左平移个单位后的新抛物线为：， ∴新抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时，则， ∴ 解得：， ∴； 当时，则， ∴ 整理得，， ， ∴此种情况不存在； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 综上：存在，点M的坐标为或． 14．(1)抛物线的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，两点代入即可求解； （）由直线，则，轴，又，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则有，设，则，，然后分当在上方时和当在下方时两种情况分析，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线， ∴，轴， ∵，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的解析式为得，当时，， ∴， ∴， 设，则，， ∴当在上方时，， 解得：或， ∴此时与重合，舍去；或， 当在下方时，， 解得：或， ∴，此时与重合，舍去；或，此时与重合，舍去； 综上可得：． 15．(1) (2)①；②存在，，． 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；②分和两种情况进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）①设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②存在． ∵ ∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形． 当时， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为3，把代入， 得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 当时，如图：作于点G， 则， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 综上所述，符合条件的点F的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $