重庆市南开中学2025-2026学年度高一下学期数学练习试题 5.3

重庆南开中学高2028届高一数学练习(5.3) 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分 钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上· 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.在复平面内，若z=1+2i,则z的共轭复数对应的点位于() A,第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a,b是平面内的一组基底，则“2名=0”是“1，a+2=0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在△ABC中，BC=4BD,若AD=xAB+yAC,则x-y=() A. B吉 c.1 D.-1 4.已知A(1,2),B(3,4),点P在直线AB上，且F=3A,则点P的坐标为() A.（-5,6) B.(-5,4) c.(7,8) D.（-5,4)或(7,8) 5.太行山在河南的最高峰—一济源斗顶，远近闻名如图，某校高一年级数 学实践小组为了测其高度在山脚A测得山顶P的仰角为“，沿倾斜角为B的 斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P的仰角为Y,若a=45°， B=30°，y=75°，a=2000m,则山高Pg为()（图中的点A,B,P, C,2均在同一个铅直平面内)》 A.2000m B.2000W2m C.1000m D.1000√2m 6在AABC中，若c0 sicosB=co2二+1，则△ABC一定是（】 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=2,且V3 csinB=3a-3 bcosC.若角B的角平 分线交AC于点D,则BD长度的最大值为() A多 B.③ C.5 D.3 2 试卷第1页，共4页 8.在菱形ABCD中，AB=4,∠A=120°，P为菱形ABCD所在平面内的动点，且AP.AB=8,则 D+A丽的最小值为() A.4 B.4V5 C.2+5 D.45 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.考z为复数，则() A.若z=云，则z为实数 B.= C.若复数z满足Iz-1+i=1,则a的最大值和最小值的和为2√2 D.若z=3i25-6i26，则zz=45 10.下列关于向量的说法正确的是(） A.若aB,/,则运 B.若动点P满足OP=OA+PB+PC,则点P为△ABC的重心 C.若ac=b,c且c≠0，则a=b D.若非零向量a,方满足a方=，则店 11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且3 bcosC+3Cco8B=a2,则下列说法正确的是 () A,若B+C=2A,则△ABC的外接圆的面积为9π B.若A=牙，且△ABC有两解，则b的取值范围为(3,32] C.若C=2A,且△BC为锐角三角形，则c的取值范围为(32,3N5) D.若A=2C,且sinB=2sinC,0为A4BC的内心，则△MOB的面积为5+3 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知单位向量a,满足a{a+)=2,则向量a与五的夹角为 乎兴纳丽什A示 13.记△ABC的内角4，a,C所对的边为a6,c,已知cos8(ccosB+bosC)=a,b2-c2=aC,b=2,则 SAC 14.已如平面内的三个非零向量a5,,满足：位，)=年，--2,6-k-可=厅，则当 a.c-b.c 取得最大值时，同= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步賺 5.已知：是数，：-为实数，为纯虚数（行为虚数单位） (1)求复数2： ®味名的装 16.己知m∈R,向量à=(m+1,2),五=(-1，-m) (I)若(a,b为锐角，求m的取值范围： (②)诺m>0,且(a+)16,求a6和a在3方向.上的投影向量的坐标. 17.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，满足BD=2DC,且∠BAC+∠DAC=π， B D (球 AD; ②)若AC=DC,求cos∠ACD的值. 18.如图，在等腰梯形OABC中，OA∥CB,OA=2AB=2BC=2OC,BM=元BA(1c(0,1)》,OM交AC于P, M 当-时， (i)月OA和O元表示O形： CP ()求PA (2)设OB=xCA+yOM,求x+y的取值范围. 19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是4，b,c, (1)已知bcosC.+√3 bsinC=a+c. (i)求角B; (i)若c=1,且△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. (2)设P为△ABC内一点，满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，若cos2B+cos2C-cos2A=1, PB+PC=tPA,求实数t的最小值重庆南开中学高2028届高一数学练习（5.3) 参考答案 一一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 5 6 7 8 答案 D B D D C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 题号 9 10 11 答案 ACD BD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0°： 13. 3 14.万. 8.如图，以菱形的对角线交点为坐标原点建立平而自角坐标系 00.0),A(0,2),B(25,0),C(0.-2),D(-23,0), 设P点坐标为(xy),A严=(x,y-2),AB=(25,-2) 由亚，B=8得25x-2(y-2)=8,化简得y=5x-2,过AB的中点E及 C,又因为三角形ABC是等边三角形，所以CE是AB的垂直平分线，所以DP+AP=DP+PB, 白两点之间直线段最短，得DP+PB的最小值为DB,DB=4N3,D丽+的最小值为4 1.因为36cosC+3=2,所以362+-e2 +3c+c-6-ad,解得a=3: 2ab 2ac 因为8+C=2A,A+B+C=元，所以A二，设△ABC的外接圆的半径为R,则2Rm=2W5,所 R=√5，所以△ABC的外接圆的面积为3π，A不正确； 由正弦定超可得如分：她46受 “2_bN巨，△1BC有两解等价于8有两个不同值， a 36 所以巨<2<1，解得3<b<3N2,B正确： 2 6 因为品cC=24,所以”品2mo装理得：=6ad。 |0<4经 因为△48C为蜗角三角形，所以0<24<受，解得<A<叠， 2 6 ,所似2 2 c0s< 2 0<-34<号 所以c的耿值范围为(3v2,3v3),C正确： 因为A=2C,sinB=2sinC,所以sinB=sim(A+C=sin3C=2sinC, sim3C=sin(2C+C)=39血C-4simC=2inC,解得snC=】 由于C为锐角，所以C=若，即4=2C-骨B=-3C- 因为a=3,由直角三角形知识可得5=2怎，c=5,由等而积法可求内切圆的半径为，=3-5 2 所以S0m=2 8Xr=35-3,D不E确 1 4 14设A,B分别为，五的终点，M为AB中点，由1ā-曰AB=2,得AM=1, 又-a片c-五=17，故的终点C在A由的中垂线上，且由勾股定理得 1 CME4C-AM-v17-i=4.公共起点P(即a=PA,b=PB,c=P元) 8=2=25=2R 在△PAB中，由正弦定理可得sin∠APB sin R为△PAB外接圆半径，放R=N2, 4 枚圆心到AB距离为1 a.d-6 PC.(PA-PB)BA.PC PC PO ，几何意义为BA在PC方向上的投影数量，由图可知，取最大 值时，PC与△PAB外接圆相切，故此时PC=32-(N2=万 答案第2页，共5页 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(1)设z=a+bi(a,beR),则z-3i=a+(b-3i,又z-3i为实数，所以b-3=0,则b=3; 又产-侣号白-，亭为疏 2d+2-0 5 5 ,解得a=-1, 4*0 5 z=-1+3i ②因为各-121215+，所似各-1模为，5矿西。 1-i (1-i)1+i) 16.(1)因为a=(m+12),6=(-l,-m): 〔-m-1-2m>0 若a与3的夹角为锐角，则aB>0且a与i不共线，则满足 (0+)产2·解得m号且m≠-之。 实数m的取位抢围为-2八-2-到》 (2)由a=(m+1,2,6=(-l,-m),可得a+万=(m,2-m) 因为（往+b)1万，可得-m+m(m-2）=m2-3m=0,解得m=0或m=3 又因为m>0,所以m=3,此时a=(4,2),五=(-1，-3)，可得a6=-10只同=而， 所以a在万方向上的投影向量 a-b 五=五-(13) 17.（1)在4CD中，由正弦定理可得D sinc sinD4c,则inC=2. DC ·sim∠DAC, DC 在△BC中，由正弦定年可得但。，C 血Cim∠BiC,则snC-极 sin∠BAC, BC 故 DC sim∠DAC=4B in∠BAC, BC 由∠BAC÷∠DAC=元，则sin∠BAC=sin(π-∠DAC)=sim∠DAC, 2是做份瓷即0瓷 AD DC DCDC-3 (2)设AC=DC=x>0,则BD=2x,BC=3x, 在△ACD中，由余弦定理可得AD=AC2+DC2-2AC,DCco8∠ACD 答案第3页，共5页 =x2+x2-2x2.co8∠4CD=2x2(1-c0s∠4ACD), 在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBC·cos LACB =+3x2-2x3x60s乙4CD=2x6-360s乙40CD,由(D知4g-3,则48=9A0, AD 放26-304cD-9x2r0-o0∠4cD,解得co40-号 18(1)0依概意丽=O成-}丽， :a=o丽-04-oc+网-o1=0oc,所以哑=0+m-0+oc: (i)设OP=xOA+yOC,由4P,C共线可得x+y=1①， x y 又0，P,M三点共线，所以0P/Om,则31②，联立@②解得： 5 42 y= 所以T-0币-0-0A-0c,风-0m-0丽-号o-号0c,放呼-A,所以-号 CP3 (2)因为=BA,所以0+0M-(B0÷0列 所以0=0+-刘丽=040-c+网到=ai+t-oc+-1生a+-刘0c 又因为-0-元，所以根据条件0丽-+0M-@-0C片y1a+1-刘0C =x+p-0c+2oa, 1=-x+y(1-2) -2 x=- 又因为O=0C+C8=0C+OA,所以有 =12，可将 3- 3 2 y=3-元 3 因为通数代a)-2名在包上单调递减，且/0=10=分所以x+y位习 饺密第4页，共5页 19.(1)(i)因为bcosC+v3 bsinC=a+c, 所以由正弦定理得sin Bcos C+√3 sin Bsin C=sinA+sinC, 又sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC,所以√5 sinBsinC=cos Bsin C+sinC, 由C∈(0，m),simC>0,所以V3sinB-cosB=1, 即sma-周子又8e@,所以8-君君得8=号 3 (因为AMBc是悦角三角形，且B-所4君C<受又出总，所以a己 2 sin C 则S,ac sin-c 3 3 ππ】 ,因为c引 所以anCe sinC 8tan C 8 过c0可)，从而及c 82 故△ABC面积的取值范围是 82 (2)因为cos2B+cos2C-cos2A=1,所以1-2sin2B+1-28im2C-1-2sim2A)=1,所以 mA=m2B+smC,所以a28+,所以a48C为直角三角形，A-号 ∠APB=∠BPC=∠CPA=号，设M-,B=m4,PC=mA（m>0,R≥0，x2O 则由PB+PC=PA,得m+=t, 由余滚定理得AB2=2+m22-2mcas经-(m2+m+1小， 4ce=2+x-2r2cos经-(+n+, BCm-2mn cosw) 散由AC2÷AB2=BC2,得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+2+mx2, 即m++2=m,而m>0,>0,故m+m+2=w≤ 当且仪当m=程，结合m+n+2=,解得m=n=1+√5时，等号成立， 又m+m=1,所以2-4t-8≥0，解得t≥2-2万或t≤2-2√5（舍去）. 故实数t的最小值为2+2W5. 答案第5页，共5页