第2章 不等式与不等式组 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 北师大版八年级下册《不等式与不等式组》单元卷，通过基础题型与探究性问题结合，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|不等式表示（题1）、性质（题2）、解集（题5）、应用（题8竞赛得分）|基础概念与生活情境结合，如题7水杯加水体现不等式性质| |填空题|5|数轴表示（题14）、整数解（题12）|直观考查数形结合，题15开放题培养创新表达| |解答题|5|解不等式（题16）、含参不等式（题17）、阅读探究（题20位数问题）|题20通过数学史素材设计探究，发展推理与创新意识|

北师大版八年级下学期第2章《不等式与不等式组》同步练习 一．选择题（共10小题） 1．y与2的差不大于0，用不等式表示为（　　） A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0 2．设a＞b，则下列不等关系正确的是（　　） A．a+3＜b+3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a﹣3＜b﹣3 3．下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 4．不等式x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 6．满足x≤3的最大整数x是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 8．某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．11 B．15 C．18 D．21 二．填空题（共5小题） 11．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x　 　 y（用“＞”或“＜”填空）． 12．若则x﹣y　 　 0．（填＞、＜或＝）． 13．若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　 　 ． 14．关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 　 　 ． 15．请你写出一个解集为x的一元一次不等式 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．求不等式x﹣1的正整数解． 17．已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的解集； （2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集． 18．在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上． ①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1x． 19．解不等式3（2x﹣1）≤4x+1，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 20．阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据给出的算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　 　 ； 当c＜a且c＜b时，②　 　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．y与2的差不大于0，用不等式表示为（　　） A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0 【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式． 【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0． 故选：D． 2．设a＞b，则下列不等关系正确的是（　　） A．a+3＜b+3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a﹣3＜b﹣3 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴a+3＞b+3，﹣2a＜﹣2b，，a﹣3＞b﹣3， 故选：C． 3．下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据判断不等式组解集的口诀求出各个选项中的不等式组的解集，然后进行判断即可． 【解答】解：A．∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为x＞2，故此选项不符合题意； B．∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意； C．判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为x＜﹣1，故此选项不符合题意； D．判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．不等式x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可． 【解答】解：不等式x＜1的解集在数轴上表示为：． 故选：C． 5．不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【分析】移项、合并同类项即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣3＞2， ∴移项得：x＞2+3， 合并同类项得：x＞5， 故选：A． 6．满足x≤3的最大整数x是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不等式x≤3得出选项即可． 【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3， 故选：C． 7．有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 【分析】根据不等式的性质即可得出答案． 【解答】解：∵a＞b， ∴a+c＞b+c． 故选：A． 8．某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【分析】设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，利用得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数，结合得分不低于80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80， 解得：x≥12， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对的题数是12道． 故选：C． 9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而结合数轴可得答案． 【解答】解：由x﹣1≥0得：x≥1， 又x＜3， 所以不等式组的解集为1≤x＜3， 故选：C． 10．关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．11 B．15 C．18 D．21 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有两个整数解确定出m的取值，求出整数m的值，进而求出和． 【解答】解：解不等式3x+2＞m，得x， 解不等式1，得x≤3， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴12， ∴5≤m＜8， ∴整数m的取值为5，6，7， ∴所有整数m的和5+6+7＝18． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x　＜　 y（用“＞”或“＜”填空）． 【分析】由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答． 【解答】解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y， 故答案为：＜． 12．若则x﹣y　＞　 0．（填＞、＜或＝）． 【分析】根据不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【解答】解：∵， ∴不等式两边都乘以3得x＞y， ∴x﹣y＞0， 故答案为：＞． 13．若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 a≤﹣1　 ． 【分析】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可． 【解答】解：解不等式组，得． ∵它的解集为﹣1＜x＜4， ∴a≤﹣1． 故答案为：a≤﹣1． 14．关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 x≥3　 ． 【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于号，空心表示不能取等于号． 【解答】解：这个不等式组的解集是：x≥3． 故答案为：x≥3． 15．请你写出一个解集为x的一元一次不等式 　2x＞2（答案不唯一）　 ． 【分析】根据不等式的解集的定义以及不等式的性质解答． 【解答】解：2x＞2（答案不唯一）． 故答案为：2x＞2（答案不唯一）． 三．解答题（共5小题） 16．求不等式x﹣1的正整数解． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解，并写出正整数解即可． 【解答】解：， 1+x≥3x﹣3， x﹣3x≥﹣3﹣1， ﹣2x≥﹣4， x≤2． 所以此不等式的正整数解为：1，2． 17．已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的解集； （2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集． 【分析】（1）把m＝1代入不等式，求出解集即可； （2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可． 【解答】解：（1）当m＝1时，不等式为1， 去分母得：2﹣x＞x﹣2， 解得：x＜2； （2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2， 移项合并得：（m+1）x＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解， 当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2； 当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2． 18．在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上． ①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1x． 【分析】选出两个不等式，组成不等式组，并解不等式组即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜4， 解不等式②得：x， ∴不等式组的解集， 把解集表示在数轴上如下： 19．解不等式3（2x﹣1）≤4x+1，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：3（2x﹣1）≤4x+1， 去括号，得6x﹣3≤4x+1， 移项，合并同类项，得2x≤4， 系数化为1，x≤2， 原不等式的解集在数轴上表示如图： ． 20．阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据给出的算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意　 ； 当c＜a且c＜b时，②　当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【分析】（1）举反例即可； （2）①当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意； ②当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n； （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A．当a≥b时，必有a≥c，m＝n+x﹣1，即x＝m﹣n+1；当a＜b时，必有a＜c，m＝n+x，即x＝m﹣n． 【解答】解：（1）小明的猜想不正确， 反例：3×4＝12； （2）①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②所以，又，所以， 由（*）知所以 p＝m+n； （3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A， 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c， 此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1， 当a＜b时，必有a＜c， 此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n， 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/2 10:32:22；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $