精品解析：广东东莞市东莞中学松山湖学校2025-2026学年度第二学期第一次段考高一年级数学试题

2025-2026学年度第二学期第一次段考 高一年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位,在复平面内,O为原点,向量对应的复数为,向量对应的复数为,则向量对应的复数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得对应的坐标，由此利用向量加法的坐标运算求出正确结果. 【详解】因为向量对应的复数为,向量对应的复数为,所以,,所以,所以向量对应的复数为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标，考查向量加法的坐标运算，属于基础题. 2. 如图，为水平放置的的直观图，其中，则原平面图形中（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，如图所示，还原直观图得原图： 则，. 3. 如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，即， 所以. 4. 已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 5. 已知三条不同的直线，，，两个不重合的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，得或，A错误； 对于B，由，得或相交，B错误； 对于C，由，则存在过的平面（与不重合），，由，同理在内存在直线， 因此，而不在内，则，又，，所以，C正确； 对于D，，，，，当时，则与平行、相交、在平面内均有可能，D错误. 6. 在气象台A的正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到台风的影响时长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图，设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点， 由台风向北偏东移动，得，过作BD的垂线，垂足为E， 在中，， 在中，,由勾股定理得， 因此，所以气象台所在地受到台风的影响时长为小时． 7. 如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 8. 点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【答案】D 【解析】 【详解】取线段的中点，则， 因为，所以， 则，所以， 则点的轨迹经过的外心. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 的虚部为1 C. 若，则的最大值为2 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，，故A正确; 对于B，对于复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部；则复数的虚部为1，故B正确; 对于C， 设 ，，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； ，其几何意义是圆上的点到的距离. 圆心到点的距离为1，圆的半径为1， 圆上的点到点的最大距离为1+1=2，即的最大值为2，故C正确; 对于D，是关于的方程的根，，整理得； ，解得，； ，故D错误. 10. 边长为2的菱形中，若，点在直线上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量数量积定义运算可得，进而求得，再由向量共线的性质可得结合基本不等式求解判断的范围. 【详解】因为是边长为2的菱形，所以， 得，又，所以， 所以为等边三角形，则，故A正确，B错误； 又点在直线上，且，所以， 所以，当且仅当时，取等号，故C错误，D正确. 11. 正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成的角为 C. 在点运动过程中，有 D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面平行结合等体积计算判定A；直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，再计算的余弦值可判断B；通过证明平面，即可判断C；不妨设为上靠近的一个三等分点，设平面与，的交点分别为，，根据面面平行的性质得到四边形为平行四边形，再利用余弦定理及面积公式计算即可判断D， 【详解】对于A，如图，因为在正方体中，平面平面， 且平面与平面的距离为正方体棱长，而， 所以三棱锥的体积，为定值，因此A正确； 对于B，，所以直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角， 由勾股定理得，， 在三角形中，由余弦定理，， 所以，B错误. 对于C，如图，连接，，，， 因为在正方体中，易知，，，平面，， ∴平面，平面，∴，同理， ，、平面，∴平面， 而点为线段上一动点，所以平面，因此，所以C正确； 对于D，不妨设为上靠近的一个三等分点，即，如图所示， 设平面与，的交点分别为，，∵平面平面， ∴，同理， ∴平面截正方体所得的截面为平行四边形， ∵，∴，∴，∴, 由余弦定理的推论可求得， ∴，∴， 当为上靠近的一个三等分点，同理可求得截面面积为，因此D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，．若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】可求出，然后根据即可得出，然后解出的值即可． 【详解】解：，，且， ，解得． 故答案为：． 13. 已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别取和的中心，易知外接球的球心为的中点，进而结合勾股定理求出半径，然后求出球的表面积. 【详解】如图，在正三棱柱中，设和的中心分别为，设的中点为， 所以为正三棱柱外接球的球心， 所以， 连接，延长交于点，所以为的中点， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以该球的表面积为. 14. 如图，在平行四边形中， 分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，确定点位置，又，将其它向量全部用基底表示出来，再化简可得答案. 【详解】设，， 则，，得，， 又，得，则， 得，得，， 设则，由， 有 得，得. 故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，向量共线的应用，平面向量数量积的运算，考查了学生分析能力，运算能力，难度较大. 四、解答题（本大题共5小题，第15题满分为13分，第16、17满分为15分，第18、19题满分17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数为纯虚数，是实数，是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算，得到复数的实部与虚部，由复数是实数的充要条件解出的值即可； （2）根据复数的乘法运算，得到复数的代数形式，再由复数所表示的点在第一象限，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 由已知复数为纯虚数，设（且）， 所以＝＝＝＝＋. 又因为是实数，所以， 解得，即. 【小问2详解】 因为， 所以， 又因为复数所表示的点在第一象限， 所以解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知， （1）求的值； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果， （2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可 【小问1详解】 因为，， 所以，，得， 所以 【小问2详解】 因为， ， 所以， 因为， 所以， 即与的夹角为 17. 如图，正三棱柱中，，是的中点， （1）求证：∥平面； （2）求直线和平面所成的角. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得侧面，可知即为直线和平面所成的角，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）当为锐角三角形时，求周长的取值范围； （3）若为边上一点，，，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由（1）知，又，所以， 又，且， 则， 即，即， 由余弦定理，得，即， 所以， 解得（舍去），或， 所以，解得， 又，所以为等边三角形， 又，所以． 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式即可求解； （2）先结合（1）及正弦定理得到，，从而得到的表达式，进而利用两角和的正弦公式、辅助角公式及正弦函数的性质求解即可； （3）依题意有，再根据三角形面积公式得到，再结合余弦定理即可求出，的值，进而即可证明． 【小问1详解】 在中，有，则， 由， 则由正弦定理及得， 即， 化简得， 又，，则，解得． 【小问2详解】 结合（1），由正弦定理有， 则，， 所以 ， 又为锐角三角形，且， 则且，解得， 则，则， 所以， 故周长的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. （1）当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 【答案】（1） （i）连接，因为平面，平面，所以， 因为底面为平行四边形且，所以四边形为菱形，则， 因为平面，所以平面， 又平面，所以； （ii）设，连接， 因为平面，平面，所以， 因为面积的最小值是9，所以，则， 故当时，，故， 则，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则，则， 因为，， 所以，则， 因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求证，，再利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （ii）求证，，利用线面垂直的判定定理求证； （2）点为线段的中点，求证，再利用长方体求出外接球半径即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点为线段的中点， 设，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为点为线段的中点，则，即为直角三角形， 因为， 所以，则， 故，故四面体为鳖臑； 将该鳖臑补形至长方体中，其中， 所以体对角线长为， 设外接球的半径为，所以， 则外接球表面积为，等号成立时， 故该鳖臑外接球表面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次段考 高一年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位,在复平面内,O为原点,向量对应的复数为,向量对应的复数为,则向量对应的复数为 A. B. C. D. 2. 如图，为水平放置的的直观图，其中，则原平面图形中（ ）. A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三条不同的直线，，，两个不重合的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 6. 在气象台A的正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到台风的影响时长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 的虚部为1 C. 若，则的最大值为2 D. 若是关于的方程的根，则 10. 边长为2的菱形中，若，点在直线上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成的角为 C. 在点运动过程中，有 D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，．若，则实数的值为______． 13. 已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 14. 如图，在平行四边形中， 分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为____________. 四、解答题（本大题共5小题，第15题满分为13分，第16、17满分为15分，第18、19题满分17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数为纯虚数，是实数，是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 已知， （1）求的值； （2）求与的夹角. 17. 如图，正三棱柱中，，是的中点， （1）求证：∥平面； （2）求直线和平面所成的角. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）当为锐角三角形时，求周长的取值范围； （3）若为边上一点，，，证明：． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. （1）当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $