双曲线知识点总结 课件-2027届高三数学一轮复习

　双曲线知识点总结 差的绝对值 定点 a<c a＝c a>c (1，＋∞) c2＝a2＋b2 2a 2b D D 6 D C BC A D [知识总结] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若 ，则集合P表示双曲线； (2)若 ，则集合P表示两条射线； (3)若 ，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 几 何 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线方程 离心率 e＝，e∈ a，b，c的关系 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于 ； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于 ； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 y＝±x y＝±x 3.常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)若P是双曲线上异于顶点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中∠F1PF2＝θ. (4)等轴双曲线 ①定义：实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． (5)利用待定系数法求双曲线标准方程的常用方法 ①与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0). [基础训练] 1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 2．(易错题)已知双曲线C：－＝1(a>0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若＝5，则＝( ). A．1　　　 B．1或9 C．3或9　　　 D．9 3．已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于 ． 4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 ． 5．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，那么该双曲线的标准方程为 ． y＝±x －y2＝1 题型1　双曲线的标准方程 【例1】(1)(广州调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为( ). A．－x2＝1　　　 B．y2－＝1 C．－＝1　　　 D．－＝1 (2)(2024·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ). A．－＝1　　　 B．－＝1 C．－＝1　　　 D．－＝1 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公 共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 【变式】(无锡江阴期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x＋10与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的标准方程为 ． －＝1 题型2　双曲线的渐近线 【例2】(多选)(2025·南昌质检)已知双曲线的方程为－＝1，则( ). A．渐近线方程为y＝±x B．焦距为8 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 【解析】由题意，双曲线的实半轴长a＝8，虚半轴长b＝4，半焦距c＝＝4，且焦点在y轴上，则渐近线方程为y＝±x＝±2x，A错误；焦距为2c＝8，B正确；离心率e＝＝，C正确；焦点到渐近线的距离为4，D错误． 题型3　双曲线的离心率 【例3】(1)(2025·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝( ). A．2　　　 B．5 C．　　　 D． (2)(2025·重庆联考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，则E的离心率的取值范围为( ). A．(2，＋∞)　　　 B． C．　　　 D． 【解析】不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，由|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，可得2|PF2|＋2a≥4a－4b，即|PF2|≥a－2b，又|PF2|的最小值为c－a，故c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.当2a－c≤0，即≥2时，显然成立；当2a－c>0，即1<<2时，(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，得≤<2.综上可知，E的离心率的取值范围为. 双曲线的弦长问题 【例题】已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点． (1)若a＝2，求线段AB的长； (2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ 【解析】(1)由题意得直线方程为y＝2x＋1，联立直线方程与双曲线方程，消失y并整理得x2＋4x＋2＝0，所以Δ＝16－4×2＝8>0，所以xA＋xB＝－4，xAxB＝2，所以|AB|＝·＝×＝2. (2)联立直线方程与双曲线方程得3x2－(ax＋1)2＝1，整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0，由题意得Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0，即－<a<，且a≠±，所以xA＋xB＝，xAxB＝－，所以yAyB＝a2xAxB＋a(xA＋xB)＋1＝－＋＋1＝1，若以AB为直径的圆经过坐标原点，则·＝0，即xAxB＋yAyB＝1－＝0，所以a＝±1，满足要求． 【变式】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程． 【解析】(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4)，将点P(5，)代入上式，得－＝1，解得a2＝50(舍去)或a2＝2，故双曲线C的方程为－＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，所以解得(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝·. 又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝.又S△OAB＝2，所以＝1，所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*).故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. $