湖南长沙市长郡中学2026年高考数学科目冲刺试卷（1）

长郡中学2026年高考数学科目冲刺试卷（1） 数 学 注意事项： 1．全卷满分150分，时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1，由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2，复数（ ） A． B． C． D． 3，已知，，则在上的投影的数量为（ ） A． B． C． D． 4，求值：（ ） A． B． C． D． 5，已知等差数列的前n项和满足，则（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 6，直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为(　　) A．（1，+∞） B． C． D． 7，6月也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法. A．24 B．120 C．240 D．140 8，已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2， 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得部分分. 9，已知数列{an}，下列结论正确的是(　　) A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211 B.若a1=1，an+1=2an+3，则an=2n-1-3 C.若a1=1，an+1=，则an= D.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n 10，若2a+log2a=4b+2log4b，则(　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b D.a<b2 11，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，且=+，则下列结论正确的是(　　) A.△ABC的三边a，b，c一定构成等差数列 B.△ABC的三边a，b，c一定构成等比数列 C.△ABC面积的最大值为2 D.△ABC周长的最大值为6 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12，已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________． 13，,已知F1，F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　.  14，在△ABC中=P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设=x+y则的最小值是　　　　　.  4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点. (1)证明：MN∥平面A1CP； (2)求点P到直线MN的距离. 16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a sin B＝b cos A. (1)求A； (2)若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，求△ABC面积的最小值． 17，设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4. (1)若直线l过点(0，4)，求证：OA⊥OB； (2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关． 18，已知函数f (x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R). (1)当a＝2时，求f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数g(x)＝f (x)－ax＋m在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 19，高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为p(0<p<1). (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率； (2)人工检测抽检50个AI芯片，记事件“恰有1个不达标”的概率为f (p)，当p＝p0时，f (p)取得最大值，求p0； (3)若AI芯片的合格率不超过93%时，则需对生产工序进行改良．以(2)中确定的p0作为p的值，试判断该企业是否需要对生产工序进行改良． 答案 1，由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵，，故当时，这几个实数均为0； 当时，它们分别是； 当时，它们分别是. 最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选：A 2，复数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故选：B 3，已知，，则在上的投影的数量为（ ） A． B． C． D． 由题意知，，在上的投影的数量为，故选：B. 4，求值：（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，故选：C 5，已知等差数列的前n项和满足，则（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解析】因为，所以，又，所以． 故，解得．故选：D. 6，直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为(　　) A．（1，+∞） B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线y＝kx＋1与椭圆联立方程组可化为（m+5k2）x2+10kx+5-5m=0， 要使得直线与椭圆恒有两个公共点， 则△=100k2-4（m+5k2）（5-5m）=20[m2-（1-5k2）m]＞0，m＞0，m≠5． ∴m＞1-5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，∴m＞1，且m≠5． ∴m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）故选C 7，6月也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法. A．24 B．120 C．240 D．140 【答案】C 【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有排法，故选：C. 8，已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b， f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内， 由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内， 即，令z＝2a﹣b， ∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界）， 目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值， 因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（，）． 故选B． 9，已知数列{an}，下列结论正确的是(　　) A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211 B.若a1=1，an+1=2an+3，则an=2n-1-3 C.若a1=1，an+1=，则an= D.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n 答案　ACD 解析　A项，an+1-an=n+1， ∴a20=(a20-a19)+(a19-a18)+…+(a2-a1)+a1=20+19+18+…+2+2=211，故A正确； B项，方法一　∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2(an+3)， ∴数列{an+3}是以a1+3=4为首项，2为公比的等比数列， ∴an+3=4·2n-1=2n+1，故an=2n+1-3，故B错误； 方法二　若an=2n-1-3， 则a1=21-1-3=-2≠1，故B错误；C项，∵an+1=，a1=1，则an≠0， ∴==+3，∴-=3， ∴数列是以=1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+(n-1)×3=3n-2， ∴an=，故C正确；D项，∵2(n+1)an-nan+1=0，∴=， ∴数列是以=2为首项，2为公比的等比数列，∴=2·2n-1=2n，∴an=n·2n，故D正确. 10，若2a+log2a=4b+2log4b，则(　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b D.a<b2 答案　BC 解析　由指数和对数的运算性质可得 2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.令f(x)=2x+log2x，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为b>0， 所以2b+log2b<22b+log2b<22b+log22b，所以2b+log2b<2a+log2a<22b+log22b， 即f(b)<f(a)<f(2b)，所以b<a<2b. 11，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，且=+，则下列结论正确的是(　　) A.△ABC的三边a，b，c一定构成等差数列 B.△ABC的三边a，b，c一定构成等比数列 C.△ABC面积的最大值为2 D.△ABC周长的最大值为6 答案　BC 解析　在△ABC中，由=+，得sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. 所以sin B=·，所以sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C， 所以sin Bsin(A+C)=sin Asin C.又A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin B，所以sin2B=sin Asin C. 由正弦定理得b2=ac，即a，b，c成等比数列. 取a=2，c=4适合题意，但此时三边a，b，c不构成等差数列，A错误，B正确； 由b2=ac及余弦定理得cos B==(当且仅当a=c时取等号). 因为0<B<π，所以0<B≤，所以0<sin B≤.又b=2，所以ac=b2=8， 所以△ABC的面积S=acsin B≤×8×=2，C正确； 由b2=a2+c2-2accos B及ac=b2=8，可得8=(a+c)2-2ac-2accos B，即8=(a+c)2-16-16cos B， 所以(a+c)2=24+16cos B.因为0<B≤， 所以32≤(a+c)2=24+16cos B<40，4≤a+c<2， 所以6≤a+b+c<2+2，D错误. 12，已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________． 64　[由题意，且， 所以n＝6，所以令x＝1，(1＋x)6的系数和为26＝64．] 13，,已知F1，F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　△PF1F2为等腰三角形，只可能|PF2|=|F1F2|，即|PF2|=2c， 又因为点P在直线x=上，即|PF2|=2c>-c⇒3c2>a2⇒e2>⇒e>， 又因为椭圆的离心率e∈(0，1)，所以e的取值范围为. 14，在△ABC中=P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设=x+y则的最小值是　　　　　.  答案　2+4 解析　因为在△ABC中= 所以=3 又因为=x+y则=x+3y 因为A，P，D三点共线，则x+3y=1，结合题意知x>0，y>0， 所以=+=(x+3y)， =++4≥2+4=2+4， 当且仅当 即时，等号成立. 故的最小值是2+4. 15.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点. (1)证明：MN∥平面A1CP； (2)求点P到直线MN的距离. (1)证明　由题意知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=60°，而AB⊂平面ABC， 所以AA1⊥AB，在平面ABC内过点A作y轴，使得AB⊥ y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(10)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)， 得MN(1，0，1)，P 所以=(1-2)= = 设平面A1CP的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，得y=-z=-1，所以n=(1，--1)， 所以·n=-×1+×(-)+1×(-1)=0，又MN不在平面A1CP内，即MN∥平面A1CP. (2)解　连接PM，由(1)得=(0，0，-2)，则·=-2==2， 所以点P到直线MN的距离为=. 16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a sin B＝b cos A. (1)求A； (2)若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，求△ABC面积的最小值． 【解析】因为a sin B＝b cos A，所以sin A sin B＝sin B cos A，又因为sin B≠0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即bc sin A＝×2×b sin ＋×2×c sin ＝(b＋c)，化简得bc×＝(b＋c)，所以bc＝2(b＋c)≥4，所以≥，所以bc≥，当且仅当b＝c＝时取“＝”，所以S△ABC＝bc sin A≥××＝，当且仅当b＝c＝时取“＝”，所以△ABC面积的最小值为. 17，设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4. (1)若直线l过点(0，4)，求证：OA⊥OB； (2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关． 【证明】设直线l的方程为y＝kx＋m，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题意得两式相乘得(x1x2)2＝16y1y2，若直线l过点(0，4)，则直线l的方程为y＝kx＋4.将直线l的方程代入x2＝4y，得x2－4kx－16＝0，所以x1x2＝－16，所以y1y2＝16，所以·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OA⊥OB． (2)设C(x3，y3)，D(x4，y4).联立y＝kx＋m和x2＝4y，化简得x2－4kx－4m＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，k1＋k2＝＋＝＋＝k.联立y＝kx＋m和＋＝1，化简得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，所以x3＋x4＝，x3x4＝，k3＋k4＝＋＝2k＋＋＝2k＋＝2k＋＝，所以＝－，即是一个与直线l的斜率无关的值． 18，已知函数f (x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R). (1)当a＝2时，求f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数g(x)＝f (x)－ax＋m在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 【解析】(1)当a＝2时，f (x)＝2ln x－x2＋2x，f ′(x)＝－2x＋2.因为f (1)＝1，所以切点坐标为(1，1).切线的斜率k＝f ′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (2)g(x)＝2ln x－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝，因为x∈，所以令g′(x)＝0，得x＝1.当≤x＜1时，g′(x)＞0；当1＜x≤e时，g′(x)＜0.故g(x)在上有极大值g(1)＝m－1.又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g＝4－e2＋＜0，则g(e)＜g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个不同的零点的条件是解得1＜m≤2＋，所以实数m的取值范围是. 19，高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为p(0<p<1). (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率； (2)人工检测抽检50个AI芯片，记事件“恰有1个不达标”的概率为f (p)，当p＝p0时，f (p)取得最大值，求p0； (3)若AI芯片的合格率不超过93%时，则需对生产工序进行改良．以(2)中确定的p0作为p的值，试判断该企业是否需要对生产工序进行改良． 【解析】(1)记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则P(A)＝1－P()＝1－××＝. (2)由题意得f (p)＝Cp(1－p)49＝50p(1－p)49，0<p<1，所以f ′(p)＝50[(1－p)49＋p×49(1－p)48×(－1)]＝50(1－p)48(1－50p).令f ′(p)＝0，得p＝或p＝1(舍去).当0<p<时，f ′(p)>0，函数f (p)单调递增；当<p<1时，f ′(p)<0，函数f (p)单调递减，所以f (p)在p＝处取得最大值，所以p0＝. (3)记事件B＝“人工检测达标”，则P(B|)＝1－＝.又P()＝××＝，所以P(B)＝P()P(B|)＝×＝91.12%<93%，所以该企业需要对生产工序进行改良． 学科网（北京）股份有限公司 $