精品解析：2026年上海市上海市金山区二模数学试题

数学 （考试时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共23题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效： 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤： 3．填空题答案填入答题纸相应位置，超出长方形框不得分． 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴是有理数，而、、是无理数； 故选B． 2. 在分式方程中，设，可得到关于 的整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于 的整式方程． 【详解】解：， ， 将其代入原分式方程可得， 方程两边同乘 （），得， 整理得：． 3. 用纸板剪成的两个全等的直角三角形，一定能够拼成的四边形是（ ） A. 直角梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等直角三角形拼接四边形的性质，需要根据“一定能够拼成”的要求，结合不同直角三角形的拼接情况，判断必然能拼成的图形． 【详解】解：任意两个全等直角三角形，将斜边重合拼接，两个直角分别位于斜边两侧时，可以拼成一个平行四边形，且该平行四边形有一个内角为直角，则一定能拼成矩形，故B选项正确； 对于A选项，两个全等直角三角形无法拼成直角梯形，故A选项错误； 对于C选项，只有当原直角三角形边长满足邻边相等时才能拼成菱形，不是任意全等直角三角形都可拼成，故C错误； 对于D选项，只有两个全等等腰直角三角形才能拼成正方形，不是任意全等直角三角形都可拼成，故D错误． 4. 已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题先根据半径比设参数，利用两圆内切的性质求出两圆半径，再比较圆心距与两圆半径和、差的大小，判断两圆位置关系，用到两圆位置关系与圆心距、半径的关系知识点． 【详解】解：由于两圆的半径长之比为， 设两圆半径分别为 厘米， 厘米，其中  ， 当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为 9 厘米， ， 解得， 厘米、厘米， 厘米、厘米， 圆心距为 厘米，满足， 此时两圆位置关系为相交． 5. 在直角梯形中， ，，点 为 上一点，连接 、．连接与 交于点 ，为等腰直角三角形，为等边三角形．以下结论：①；② ；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理，根据已知条件推出各角和边的关系，再依次验证四个结论即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ . ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ，. ∵ 为等边三角形， ∴ ，， ∵ ， 在 中，， 故 ①正确； 在 和 中， ， ∴ ， 故②正确； 设 ， 则 ， ∵ ，，， ， ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故③错误； ， ， ，， ， ， ， ， 即． 故④正确． 综上，正确结论为①②④． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 7. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式进行分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 已知关于 的方程，那么__________． 【答案】10 【解析】 【分析】解题思路为通过平方去掉根号，将原方程转化为一元一次方程求解，求解后检验得到最终结果． 【详解】解：对两边同时平方得：， 解得：， 检验：将代入原方程得：， 因此，是原方程的根． 9. 如果正比例函数 的图像经过第一、三象限，那么 的值随着 的值增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】根据题目信息，正比例函数 的图像经过第一、三象限，可得k的值大于0，即可得出结论． 【详解】根据正比例函数的性质可知， 如果正比例函数y=kx的图像经过第一、三象限，那么k>0， 那么y的值随自变量x的值增大而增大． 故答案为：增大． 【点睛】本题考查正比例函数的性质，属于基础题，熟练掌握正比例函数的性质即可解题． 10. 已知关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，那么 的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】方程有两个相等的实数根时，，根据该关系列出关于 的方程，求解即可得到 的值． 【详解】解：有两个相等的实数根，， 解得：． 11. 在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据月历表确定该月的总天数，然后统计出其中是星期日的天数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，该月历表中显示的日期从1号到30号，共有30天， 观察月历表可知，星期日的日期分别为7号，14号，21号，28号，共有4天， 则恰好这一天是星期日的概率为． 12. 在 中，设，，点 在边上且，用、的线性组合表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据得到，最后利用向量加法运算求出． 【详解】解：，， ， 点 在边上，且， ， ． 13. 通常水分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（含有水分子数量约个）的质量约为__________ （用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据总质量等于单个水分子质量乘以水分子总个数，结合同底数幂的乘法运算法则和科学记数法的要求求解． 【详解】解： 则1滴水的质量约为． 14. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了 元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 【答案】商场平均每天可多售出2件 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据所给方程和已知条件分析方程各项的含义，补全条件即可． 【详解】解：中，表示降价 元后每件衬衫的盈利，表示降价 元后每天的销售量，而是因降价 元增加的销售量，意味着衬衫的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件． 15. 在中，， ，，直线经过边 的中点 ，将 沿直线翻折得到（点 、 、 分别与点 、 、 对应），若的重心 在射线上，那么 到直线的距离为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折和三角形重心性质，三角形高的计算；要分类讨论， 在线段上或在延长线上，且由对称性知 到直线的距离就是 到直线的距离，已知 重心在上，且的重心 在射线上，故第一种可能的情况就是与射线重合，此时 在线段上，通过勾股定理和三角形 面积求出 到直线的距离；第二种可能的情况是与射线垂直，此时在， 在延长线上，再次通过勾股定理求解即可． 【详解】解：有两种情况： ①：与射线重合，如图所示： 此时 和 重合，两三角形重心也重合且在线段上，过 作于 ， 由对称性知 到直线的距离就是 到直线的距离， 由勾股定理知 ， 是 的中点， ， ， ，即 到直线的距离为； ②与射线垂直，如图所示，过 作于， 此时的重心 在射线延长线上， 易证得四边形为矩形， ， 中，由勾股定理得， 由对称性知 到直线的距离就是 到直线的距离， 综上所述， 到直线的距离为或． 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解不等式组：． 【答案】无解 【解析】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则原不等式组无解． 18. 班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题： （1） 班共有多少名学生参加知识竞赛？ （2）分布在分这一组的频率是多少？ （3）成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？ （4）求成绩不低于分的学生占全部学生人数的百分率． 【答案】（1） 名 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）把各组人数相加即可求解； （ ）用分布在分这一组的频数除以总人数即可求解； （）根据中位数的定义解答即可求解； （）用成绩高于 分的学生人数除以总人数即可求解； 本题考查了频数分布直方图，频率和中位数，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 班共有 名学生参加知识竞赛； 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可得，分布在分这一组的频数为， ∴分布在分这一组的频率是； 【小问3详解】 将个学生的成绩由低到高排列，第个的成绩是中位数，由各小组的人数可知，第个成绩落在 小组里， ∴成绩的中位数落在 范围内； 【小问4详解】 解： ， 答：成绩不低于分的学生人数占全班参赛学生人数的． 19. 如图，在中，弦 的长为 ，，令． （1）用含 和 的代数式表示的半径； （2）过点 作，交 的延长线于点 ，当时，求 的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过圆心作弦的垂线，平分弦且构造直角三角形，结合三角函数把半径用弦长d和的三角函数表示； （2）先由得出, 的比，再利用直角三角形边角关系设边长、求线段比，最终得到值． 【小问1详解】 解：如图，作于 ， 则， ， ， 的半径为； 【小问2详解】 解：如图： ， ， ∴设，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴 转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位： ）与油量体积（单位： ）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为 ． （1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数解析式： （3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（ ）， ，且， （ ）． 【小问2详解】 解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． 【小问3详解】 解：由（1）可知，， 当时，（ ）， 当时，（ ）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（ ）， 当时，取最小值，（ ）， 电流表显示电流的取值范围． 21. 在平行四边形中， ， 为锐角．要在对角线 上找点 、（ 且点 、分别与点 、 不重合），使 ，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． 甲：使 ． 乙：作 ， ，垂足分别为 、． 丙：在 上任取一点 ，连接，再以 为圆心、以长为半径作弧，交 于点． （1）选择其中一种正确的方案进行证明： ； （2）根据你在（1）中选择的方案，延长交边 于点，若 ，求证： ． 【答案】（1） 解：选择甲方案，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 选择乙方案，证明如下： ∵ ， ， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ； （2） 证明：如图所示，在方案甲中， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； 如图所示，在方案乙中，由（1）可得， ∴ ， ∴同理可证明 ． 【解析】 【分析】（1）选择甲方案，证明 ，得到 ，则可证明 ，得到 ；乙方案，证明如下：先证明 ，再证明，得到 ，则可证明四边形 是平行四边形，得到 ； （2）在方案甲中，证明，得到 ，证明 ，得到 ，再证明 ，证明 ；在方案乙中，由（1）可得，则 ，同理可证明 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． （1）若点 到抛物线的对称轴的距离为2，求的值； （2）若，点 为抛物线上一点，线段 与 轴交于点 ，且，求点 的坐标： （3）将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线 上．如果，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为y轴或在y轴右侧，则可求出抛物线的对称轴为直线，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出；过点A作 轴于点E，过点B作轴于点F，则，证明，求出，据此可得答案； （3）由待定系数法可得，则抛物线的解析式为，可得新抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，即可得到，解方程得到 ，；根据新抛物线经过原点，得到，解方程求出m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，即抛物线的对称轴为y轴或在y轴右侧， ∵点 到抛物线的对称轴的距离为2， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把点A的坐标代入 得， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：当时，则， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴； 如图所示，过点A作 轴于点E，过点B作轴于点F，则， ∴， ∴， ∵，，即 ， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线经过点． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线 上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （舍去）或 ， ∴； ∵新抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴新抛物线的解析式为． 23. 如图，点 在以 为直径的半圆 上，，联结，过点 作 ，交 的延长线于点 ，在上取点 ，使，联结 、 ． （1）求证： ； （2）联结、 ，若四边形为梯形，求四边形的面积； （3）直线 与直线 交于点 ，若为等腰三角形，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵ ， ∴ ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由垂径定理的推论得到，再由 ，即可证明 ； （2）可证明当四边形为梯形时，只能是，可证明是等边三角形，是等边三角形；根据，只需要求出和的面积即可； （3）分两种情况：点F在点E右侧和点F在点E左侧，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ，且 与都有交点， ∴与都有交点， 又∵与 有交点， ∴当四边形为梯形时，只能是， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， 又∵ ， ∴是等边三角形； 如图所示，过点C作于点K， ∵，且 是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，当点F在点E右侧时， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴此时只存在这种情况， ∴， 设，则， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 当点F在点E左侧时，∵ ， ∴， ∴， ∴此时只存在 这种情况， ∴ ， 设， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点M，连接使得，过点D作于点N， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （考试时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共23题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效： 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤： 3．填空题答案填入答题纸相应位置，超出长方形框不得分． 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 在分式方程中，设，可得到关于 的整式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 用纸板剪成的两个全等的直角三角形，一定能够拼成的四边形是（ ） A. 直角梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 4. 已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 不确定 5. 在直角梯形中， ， ，点为上一点，连接、．连接与交于点，为等腰直角三角形，为等边三角形．以下结论：①；② ；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 计算__________． 7. 分解因式：________． 8. 已知关于的方程，那么__________． 9. 如果正比例函数 的图像经过第一、三象限，那么 的值随着的值增大而__________．（填“增大”或“减小”） 10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么 的值是__________． 11. 在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是__________． 12. 在中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示__________． 13. 通常水分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（含有水分子数量约个）的质量约为__________ （用科学记数法表示） 14. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 15. 在 中，， ，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点 、 、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________． 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. 计算：． 17. 解不等式组：． 18. 班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题： （1） 班共有多少名学生参加知识竞赛？ （2）分布在分这一组的频率是多少？ （3）成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？ （4）求成绩不低于分的学生占全部学生人数的百分率． 19. 如图，在中，弦的长为 ，，令． （1）用含 和 的代数式表示的半径； （2）过点 作，交 的延长线于点，当时，求 的正切值． 20. 如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴 转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位： ）与油量体积（单位： ）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为 ． （1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数解析式： （3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 21. 在平行四边形中， ，为锐角．要在对角线 上找点 、（ 且点 、分别与点 、不重合），使 ，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． 甲：使 ． 乙：作 ， ，垂足分别为 、． 丙：在 上任取一点 ，连接，再以为圆心、以长为半径作弧，交 于点． （1）选择其中一种正确的方案进行证明： ； （2）根据你在（1）中选择的方案，延长交边 于点，若 ，求证： ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． （1）若点 到抛物线的对称轴的距离为2，求的值； （2）若，点 为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点 的坐标： （3）将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线 上．如果，求抛物线的解析式． 23. 如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作 ，交的延长线于点，在上取点，使，联结 、 ． （1）求证： ； （2）联结、 ，若四边形为梯形，求四边形的面积； （3）直线 与直线交于点，若为等腰三角形，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $