山东泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末通关单元复习训练：第六章 计数原理

泰安市泰山区2026年高二下学期期末通关复习----第六章计数原理 一、选择题 1．从4名男教师和2名女教师中选出3名教师,分配到3个班担任班主任(每班一个班主任),要求男女教师都要有,则不同的安排方法种数为(      ) A.96 B.72 C.60 D.16 2．( ) A.0 B.56 C.1 D.42 3．在的展开式中,各项系数之和为(      ) A.1 B.16 C.32 D.243 4．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有(      ) A.72种 B.36种 C.12种 D.60种 5．有12位同学在毕业前夕要留影,每位同学的身高均不同,要求排成前5位、后7位的两排,且组长站在前排正中间,两位女生甲、乙站前排,则所有的排法有__________种(   ) A. B. C. D. 6．在的展开式中,的系数为(      ) A.20 B. C. D.40 7．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(   ) A.若任意选择三门课程，则选法总数为 B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C.若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法总数为 8．已知的二项式系数和为64,则其中错误的是(      ) A. B.常数项是第3项 C.二项式系数最大值为20 D.所有项系数之和等于1 二、多项选择题 9．已知，且，则(      ) A. B. C. D. 10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,下列说法正确的有(      ) A.所有可能的方法有种 B.如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有61种 C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种 D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有20种 11．已知，则(   ) A.展开式中的第4项为 B.展开式中的常数项为60 C.展开式中的各项系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大 三、填空题 12．已知,则_______. 13．为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有____________________种. 14．现用3种不同的颜色给正六边形ABCDEF的六条边涂色,要求每种颜色都要使用,相邻两条边颜色不同,则不同的涂法有____________________种. 四、解答题 15．计算下列各题: （1）; （2）解方程:. 16．从5名男生和3名女生中选出3人,分别求符合下列条件的选法数. （1）男同学甲、女同学乙必须被选出; （2）至少有2名女生被选出; （3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任. 17．在下面两个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答. 条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37； 条件②：第3项与第7项的二项式系数相等. 问题：在二项式的展开式中，已知_________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）设，求的值； （3）求的展开式中的系数. 18．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入五个盒子中. （1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 19．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 参考答案 1．答案：A 解析：选出3名教师分为两男一女和两女一男两类,共有种方法, 再分配到3个班,故不同的安排方法种数为. 故选：A. 2．答案：A 解析：由题意得， 故选：A. 3．答案：C 解析：令,即得的展开式中的各项系数之和为. 故选:C. 4．答案：A 解析：由题意列表如下： 顶点 V A B C D 种数 4 3 2 1（C与A同色） 2 1（C与A不同色） 1 总计 故选A. 5．答案：D 解析：第一步,从除组长、甲、乙外的9人中选出2人,有种； 第二步,甲、乙和选出的2人排在前排,共种； 第三步,后排7人全排列,有种, 由分步乘法计数原理可得共有种. 故选：D. 6．答案：C 解析：由题得的展开式的通项为, 令,则,所以的系数为, 故答案为：C. 7．答案：ABD 解析：若任意选择三门课程，则选法总数为，故A中说法错误； 若物理和化学至少选一门，则选法总数为，故B中说法错误； 若物理和历史不能同时选，则选法总数为，即，故C中说法正确； 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法总数为，故D中说法错误. 故选ABD. 8．答案：B 解析： 9．答案：ABD 解析：A选项，由组合数性质得，A正确； B选项，由组合数计算公式得，B正确； C选项，不妨设， 则，， 显然，C错误； D选项，，D正确. 故选：ABD 10．答案：BC 解析：对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动, 每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动, 故有种选择方案,错误； 对于选项B,如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有（种）,正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有（种）,正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区, 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况,则不同的安排方法共有（种）, 错误. 故选：BC. 11．答案：BCD 解析：的展开式的通项， 对于A，展开式中的第4项为，所以A不正确； 对于B，令，解得，所以展开式中的常数项为，所以B正确； 对于C，令，得展开式中各项系数之和为，所以C正确； 对于D，由可知展开式共有7项，所以展开式中第4项的二项式系数最大，所以D正确.故选BCD. 12．答案：2 解析： 13．答案：30 解析：安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人， 则将4人按2，1，1分组， 若不考虑限制条件， 则此时不同的安排方式有种， 当甲和乙去同一个地方时，有种不同的安排方式， 所以若甲和乙不能去同一个地方， 则不同的安排方式有种. 故答案为：30 14．答案：60 解析：第一类,,,三条边用同一种颜色, 先涂,,有3种方法,再涂有2种方法,再涂有2种方法,再涂有2种方法,若,,颜色相同,方法数为,则不合题意,共有方法数为种； 第二类,,,三条边用2种颜色, 由,,三条边用2种颜色,可得必有2条边涂同一种颜色,先涂,,有种方法, 再涂,,,有2种方法,共有方法数为种； 第三类,,三条边用种颜色, 先涂,,有种方法,再涂有1种方法,再涂有1种方法, 再涂有1种方法,共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得,共有方法数种． 故答案为：60. 15．答案：（1） （2）6 解析：（1）; （2）由,得, 即,即, 解得或, 又因为且,故, 故的解为. 16．答案：（1）6 （2）16 （3）90 解析：（1）根据题意,先选出男同学甲,女同学乙,再从其它6个人中再选1人即可,共有种选法; （2）从8人中任选3人,有种选法,没有女学生入选,即全选男生的情况有种情况, 只有1名女生入选,即选取1女4男,有种选法,故所有符合条件选法数为:种; （3）选出一个男生担任体育班委,有种情况, 再选出1名女生担任文娱班委,有种情况, 剩下的6人中任取1人担任其它班委,有种情况, 用分步计数原理可得到所有方法总数为:种. 17．答案：（1） （2）0 （3）560 解析：选择①，由，解得. 选择②，由，解得. （1）展开式中二项式系数最大的项为. （2）令，则， 令，则，所以. （3）因为， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为560. 18．答案：（1）119种 （2）31种 解析：（1）编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中有种方法，球的编号与盒子编号完全相同的有1种， 利用间接法可知满足题意的投放方法为（种）. （2）分为三类： 第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种； 第二类，三个球的编号与盒子的编号相同， 其中三个球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种， 其余两个球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种， 所以投放方法有（种）； 第三类，两个球的编号与盒子的编号相同， 其中两个球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种， 其余三个球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种， 所以投放方法有（种）. 根据分类加法计数原理得所有的投放方法有（种）. 19．答案：(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 解析：（1）两个女生必须相邻而站，把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法. （2）4名男生互不相邻，应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法. （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法. 根据分类加法计数原理知共有（种）站法. 学科网（北京）股份有限公司 $