第六章 计数原理 单元巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理巩固训练 一、选择题 1．某影城有一些电影新上映,其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片,小华从中任选1部电影观看,则不同的选法种数有(      ) A.12 B.9 C.8 D.7 2．的展开式中的常数项为(      ) A.60 B.120 C.160 D.240 3．A，B，C，D，E共5人站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么排法种数共有(      ). A.60种 B.48种 C.36种 D.24种 4．二项式的展开式中，含的项的系数是(      ) A. B.10 C. D.5 5．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责.若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有(      ) A.18种 B.36种 C.48种 D.54种 6．某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排,则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为(      ) A. B. C. D. 7．中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有(      ). A.408种 B.336种 C.240种 D.120种 8．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有(      ) A.72 B.56 C.48 D.36 二、多项选择题 9．下列各式正确的是(      ) A. B. C. D. 10．甲乙丙等5人的身高互不相同,站成一排进行列队训练,则(      ) A.甲乙不相邻的不同排法有种 B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有种 C.甲乙不排在两端的不同排法有种 D.甲在乙左侧(可以不相邻)的不同排法有种 11．在的展开式中,(      ) A.常数项为20 B.含x的项的系数为80 C.各项系数的和为32 D.各项系数中的最大值为80 三、填空题 12．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有_______________种. 13．下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有________________种. 14．若,则_________. 四、解答题 15．将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组： （1）要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？ （2）要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？ 16．计算下列各题: （1）; （2）解方程:. 17．已知有9本不同的书. (1)分成三堆,每堆3本,有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆,一堆2本,一堆3本,一堆4本,有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 18．已知. (1)求的值; (2)求的值; (3)求的值. 19．有5名男生和甲、乙2名女生排成一排,求下列情况各有多少种不同的排法？ (1)女生甲排在正中间； (2)2名女生不相邻； (3)女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）； (4)2名女生中间恰有1名男生. 参考答案 1．答案：D 解析：由分类加法计数原理,得不同的选法种数为. 故选：D. 2．答案：D 解析：共有6个因式，从2个因式中选择，在剩下的4个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 3．答案：D 解析：根据题意，分2步进行分析： ①A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种顺序， ②将AB整体与C、D、E全排列，有种情况，则有种排法； 故选：D. 4．答案：A 解析：的展开式的通项为 ，， 则含的项的系数是. 故选：A. 5．答案：B 解析：将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种. 6．答案：A 解析：4位任课老师站在一起的排法种数为, 将排完的4位任课教师作为一个整体,与剩下的10名学生站成一排的排法种数有, 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 7．答案：B 解析：“礼”不在第一场也不在最后一场， 先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有种方法； 再将剩余5个元素全排列，有种方法，共种， 先将“射”和“御”捆绑，内部有种排法； 将此捆绑体与其余4个元素（含“礼”）排列， 要求“礼”不在首尾，排法有种， 故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共种， 故不同的排法共有种. 8．答案：C 解析：将四个区域标记为A，B，C，D，如下图所示： 第一步涂A：种涂法， 第二步涂B：种涂法， 第三步涂C：种涂法， 第四步涂D：种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法， 故选：C. 9．答案：AC 解析：对A选项，，A正确； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：AC. 10．答案：BC 解析：A：甲乙不相邻的不同排法有种,所以本选项不正确； B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种,所以本选项正确； C：甲乙不排在两端的不同排法有种,所以本选项正确； D：甲在乙左侧(可以不相邻)的不同排法有种,所以本选项不正确. 故选：BC 11．答案：BD 解析：2x和只有分得的次数相同才能得到常数项,5次方无法均分,因此没有常数项,故A不正确； 含x的项为,故x的系数是80,所以B正确； 各项系数的和是令时得到,即,故C错误. 的展开式的通项公式为：, 设第项的系数最大,系数为,则, 解得：或,此时系数为,故D正确； 故选：BD. 12．答案：64 解析：由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有种. 故答案为：64. 13．答案：200 解析： 将有阴影的圆分别标为a，b，c， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为7，6，5时，则将7，6，5填在a，b，c中有种方法，接着剩下的4个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为7，6，4时，若将4填到c， 则接着安排7，6有种方法， 与c相邻的两个圆只能从1，2，3中选两个有种方法， 剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将4填到a或b，有种方法，则接着安排7，6有种方法， 与4相邻的三个圆只能填1，2，3有种方法， 剩下一个数有1种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为7，6，3时，则3只能填到c， 则接着安排7，6有种方法， 与c相邻的两个圆只能安排1，2有种方法， 剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有种填法. 故答案为：200 14．答案： 解析： 15．答案：（1）60种 （2）360 解析：（1）3人分到甲组，2人分到乙组，1人分到丙组这件事分三步完成， 共有种不同的分法. （2）分四步完成这件事，第一步选3人作为一个对象； 第二步选2人作为一个对象； 第三步剩余的1人作为一个对象； 第四步把三个对象全排列. 不同的分法种数为. 16．答案：（1） （2）6 解析：（1）; （2）由,得, 即,即, 解得或, 又因为且,故, 故的解为. 17．答案：(1)280 (2)1260 解析：(1)9本书平均分成3堆,所以不同的分堆方法的种数为； (2)从9本书中,先取2本作为一堆,再从剩下的7本中取3本作为一堆, 最后4本作为一堆,所以不同的分堆方法的种数为. 18．答案：(1)70 (2)663 (3) 解析：(1)由题意得：. (2)令,则, 再令,则, 又, 所以 (3)两边同时求导得：, 令,则 19．答案：(1)720种 (2)3600种 (3)2520种 (4)1200种 解析：(1)女生甲排在正中间,其余6人有种排法,因此不同排法种数为种； (2)将5名男生排成一排,有种排法,2名女生可以在 每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排,有种排法, 因此不同排法种数为种； (3)对7名学生全排列有种排法,因此不同排法种数为种； (4)选1名男生排在2名女生中间,有种排法,将3人看成1个元素, 与4名男生共5个元素排成一排,不同的排法有种, 又因为2名女生有种排法, 因此不同排法种数为种. 学科网（北京）股份有限公司 $