期末通关训练 第五章一元函数的导数及其应用-2025-2026学年高二下学期人教A版选择性必修第二册

泰安市泰山区2026年高二下学期期末通关复习----第五章一元函数的导数及其应用 一、选择题 1．设函数的定义域为R,若曲线在处的切线方程为,则(      ) A. B. C.6 D.14 2．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(      ). A. B. C. D. 3．已知函数和在区间上的图像如图所示，那么下列说法正确的是(      ). A.从a到b的平均变化率大于从a到b的平均变化率 B.从a到b的平均变化率小于从a到b的平均变化率 C.对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D.存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 4．设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为(      ). A. B. C. D. 5．已知是函数的导函数,且,则(      ) A.1 B.2 C. D. 6．若函数的单调递减区间为,则a的值为(      ) A.6 B.3 C.-3 D.-6 7．已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如图所示，则该函数的图像是(   ). A. B. C. D. 8．设函数.若,则的最大值为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．若函数在R上可导，且，则(      ) A. B. C. D. 10．已知函数,其导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是(      ) A.有2个极值点 B.在处取得极小值 C.有极大值,没有极小值 D.在上单调递减 11．设函数的导函数为，则(      ). A. B.是的极值点 C.存在零点 D.在上单调递增 三、填空题 12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则____________________________. 13．若函数的极小值点为,则的极小值为_________________. 14．已知函数,,若使不等式成立,a的取值范围是_______________. 四、解答题 15．已知函数经过点,且. （1）求在的切线方程; （2）求的解析式. 16．设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）求的单调区间. 17．已知1是函数(a,b,)的极值点,在处的切线与直线垂直. (1)求a,b的值； (2)若函数在上有最大值2,在上有最小值也有最大值,求实数m的取值范围. 18．已知函数． (1)求证：； (2)若当时,,求a的取值范围． 19．已知函数，直线是曲线的一条切线. （1）求a的值，并讨论函数的单调性； （2）若，其中，证明：. 参考答案 1．答案：D 解析：因为曲线在处的切线方程为, 所以,, 所以. 故选：D. 2．答案：D 解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则， 因为，所以由均值不等式得， 又，则，即，所以.故选D. 3．答案：D 解析：A，B：因为从a到b的平均变化率是， 从a到b的平均变化率是， 由图像知，即二者相等，故A，B错误. C，D：函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 反映了函数在附近的变化情况， 同理函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 反映了函数在附近的变化情况，由图知C错误，D正确.故选D. 4．答案：A 解析：因为，所以. 因为是函数的极大值点，所以，解得， 则，故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，则当时，有极小值，且极小值为. 故选A. 5．答案：A 解析：由,可得, 故,解得. 故选：A. 6．答案：B 解析：由题意得, 因为函数的单调递减区间为, 所以的解集为, 即方程的两根为,1, 所以,解得, 故选:B. 7．答案：B 解析：由图可知，导函数的先增大后减少. 当单调递增时，，此时是凹函数； 当单调递减时，，此时是凸函数， 所以原函数应该是先凹后凸.故选B. 8．答案：C 解析：由题意可知的定义域为, 令解得;令解得; 则当时,,故,所以; 当时,,故,所以; 故,即, 所以 当且仅当时,等号成立, 所以最大值为. 故选:C 9．答案：ABD 解析：由，得：， 所以，解得：，故A正确； 所以，， ，故B正确； ，， ，故C错误，D正确； 故选：ABD. 10．答案：ABD 解析：根据图象可知,当时,且不恒为零, 当时,, 因此可得在上单调递增,在上单调递减； 即在处取得极大值,可知有唯一极值点,即A错误；B错误； 显然仅在处取得极大值,无极小值,C正确； 因为在上单调递增,又,可得在上单调递增,即D错误； 故选：ABD. 11．答案：AD 解析：由题意可知的定义域为， A：，则，故A正确. B，D：，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确. C：，故函数不存在零点，故C错误. 故选AD. 12．答案： 解析：方法一：设公切线与的切点为， 函数的导数为，过的切线斜率， 则它的切线方程为，同理，设公切线与的切点为， 则它的切线方程为， 所以 即 解得所以. 方法二：设公切线与和分别切于点，， 分别求导得和，斜率，得，， 所以则，. 切点代入公切线，截距相等，则故 两式相减得，所以. 方法三：由于这两条曲线是通过向量平移得到的， 所以可以判断出公切线的斜率为2， 函数的图像和的图像都是由的图像平移而来， 一个向上平移2个单位，一个向左平移1个单位，故切线的斜率. （只有是同一个函数图像平移成两函数的图像，才能应用） 由得，即，故， 将切点代入，可得. 13．答案： 解析：, 因为函数的极小值点为,故即, 故, 当或时,；当时, 故仅在处取得极小值,故的极小值为. 故答案为：. 14．答案：. 解析：因为,使不等式成立, 则,即, 则问题转化为. 设,由, 令,得. 当x在区间内变化时,,随x的变化情况如下表： x ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知,当时,函数有极大值,即最大值为,所以. 故a的取值范围是. 故答案为： 15．答案：（1） （2） 解析：（1） 又因为切点,故切线方程为,即 （2）由（1）知,且, 解得: 16．答案：（1），； （2）见解析 解析：（1）因为，所以. 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，，即，， 由①②解得，. （2）由（1）可知，. 令，则， x 2 - 0 + 极小值 故的最小值是，则的最小值为， 即对恒成立，故在上单调递增，无减区间. 17．答案：(1), (2) 解析：(1)依题意,在处的切线的斜率为, ,,, 所以,,经检验符合题意； (2)由(1)得,, ,,的变化情况如下表所示 x 1 2     0     0     递增 递减 递增 所以在上单调递增,在上单调递减,上单调递增, 所以,所以, 所以,又在上有最大值和最小值, 所以. 18．答案：(1)证明见解析.. (2) 解析：(1)令,, 则, 所以当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以, 所以恒成立, 即恒成立, 又,所以恒成立,即. (2)当时,等价于, 令,, 因为在上恒成立,则在上恒成立, 因为, 当时,,函数在上单调递减,,不符合题意； 当时, 则当时,,函数单调递减,,不符合题意； 当时,,,则, 所以函数在上单调递增,,符合题意． 综上所述,a的取值范围为． 19．答案：（1）；在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 解析：（1）设直线与曲线相切于点， ，， 又， ，即. 设，则，在R上单调递增， 又，有唯一零点，，，解得， ，， 则当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，. 当时，；当时，，. 要证，只需证. 在上单调递减，只需证， 又，则只需证对任意恒成立. 设， 则. 设， 则， 在上单调递减， ， 又当时，，，在上单调递增， ，即在时恒成立， 又，，故原不等式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $