椭圆及其方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆及其方程核心考点，依据高考评价体系梳理了标准方程、几何性质、焦点三角形等考查内容，通过表格对比椭圆与双曲线参数差异，归纳定义应用、方程求解、离心率计算三大常考题型，明确通径、最值等高频考点权重，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题变式+素养导向”的训练体系，如以2025北京调研题为例，通过向量数量积推导离心率范围，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念。特设易错点分析（如椭圆方程参数条件）和答题模板，助力学生掌握焦点三角形面积公式等得分技巧，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

椭圆及其方程 ＞ ＝ ＜ 2a 2b a2＝b2＋c2 B D B D C 20 BC B BD [知识总结] 1．椭圆的定义 (1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． 当2a |F1F2|时，集合P表示椭圆； 当2a |F1F2|时，集合P表示线段F1F2； 当2a |F1F2|时，集合P是空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 几 何 性 质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴长|A1A2|＝ ；短轴长|B1B2|＝ 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c 的关系 3.常用结论 (1)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦称为椭圆的通径，通径长为. (2)a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． (3)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图8.4­1所示，设∠F1PF2＝θ. ①焦点三角形的周长为2(a＋c). ②S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. ③当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大． ④|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. ⑤|PF1|·|PF2|≤＝a2. ⑥4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. [基础训练] 1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( ). A．(±3，0)　　　 B．(0，±3) C．(±9，0)　　　 D．(0，±9) 2．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( ). A．长轴长为　　　 B．焦距为 C．短轴长为　　　 D．离心率为 3．2<m<6是方程＋＝1表示椭圆的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，那么点P的轨迹方程是 ． 5．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，那么点P的坐标为 ． ＋＝1 或 题型1　椭圆的定义及应用 【例1】(1)若F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为( ). A．4　　　 B．8 C．10　　　　 D． 20 (2)设点P为椭圆C：＋＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为 ． 【解析】由题意知c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，所以|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，所以|F1P|·|PF2|＝，所以S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝. 【变式】(1)(2024·泸州模拟)已知点P在椭圆C：＋＝1上，C的左焦点为F，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|的值为( ). A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．8 (2)(2025·许昌调研)若F为椭圆C：＋＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为 ． 【解析】如答图8.4­1，设F1为椭圆C的左焦点，由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0；当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周长的最大值为20. 答图8.4­1 题型2　椭圆的标准方程 【例2】(1)(多选)(2025·佛山模拟)已知方程＋＝1表示椭圆，则下列说法正确的有( ). A．m的取值范围为(4，12) B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12) C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4 D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，) (2)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( ). A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1　　　 D．＋＝1 【解析】不妨设点A(xA，yA)在第一象限，由椭圆的左焦点为F(－1，0)，点C，F是线段AB的三等分点，得C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1，所以＋＝1，则yA＝，即A，所以C，B，将点B的坐标代入椭圆方程，得＋＝1，即＋＝1，又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，所以椭圆的标准方程是＋＝1. 【变式】(1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为( ). A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1　　　 D．＋＝1 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，点P在椭圆C上，|BP|＝，则椭圆C的标准方程为 ． ＋＝1 题型3　椭圆的离心率问题 【例3】(1)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上且满足1·2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是 ． 【解析】设P(x，y)，则＋＝1，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，1＝(－c－x，－y)，2＝(c－x，－y)，所以1·2＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤1·2≤b2，所以b2－c2≤c2≤b2，所以c2≤b2≤2c2，则2c2≤a2≤3c2，所以≤≤，即椭圆离心率的取值范围是. (2)(2025·苏北八市调研)已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P是C上一点，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.若l1，l2的交点Q在C上(P，Q均在x轴上方)，且|PQ|＝，则C的离心率为 ． 【解析】设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，当x0＝c时，l2与l1相交于F1，不符合题意；当x0≠c时，kPF1＝，kPF2＝.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以kl1＝－，kl2＝－，所以直线l1的方程为y＝－(x＋c)①，直线l2的方程为y＝－(x－c)②. 联立①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q.因为P，Q都在椭圆C上，且均在x轴上方，P，Q的横坐标互为相反数，所以点P，Q关于y轴对称，所以y0＝，|PQ|＝2x0＝，所以x0＝，y＝x－c2.又＋y＝1，所以1－＝x－c2，即1－＝－c2.又c2＝a2－1，所以a2＝4，c2＝3，所以e＝＝. 求椭圆离心率的值或取值范围，可先将已知条件转化为含有a，b，c的方程或不等式，再求解． (1)若已知a，c，则直接代入e＝求解； (2)若已知a，b，则用e＝求解； (3)若已知b，c，则先求a，再利用(1)求解； (4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(取值范围)； (5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a，b，c的关系，再列方程(不等式)求解． 由于a，b，c之间是平方关系，所以在求e时，常常先平方再求解． $