2026年中考数学二轮复习专项训练二次函数提升特殊三角形存在性问题

2026年中考数学二轮复习专项训练 二次函数提升 特殊三角形存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)求四边形面积的最大值； (3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标． 2．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 3．如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与轴另一交点坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上直线上方一点，过点P作轴，交于点Q，过点A作直线轴，过点P作于点K，求的最大值及点的坐标． (3)在（2）取得最大值情况下得到点P坐标，把原抛物线向左平移个单位后的新抛物线上的对称轴上有一点M，是否存在一点M使得以P、O、M构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标（并写出求点M的过程的一种情况）；若不存在，说明理由． 4．如图，已知抛物线（，为常数）的图象与轴交于，两点，与轴相交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)若点为抛物线对称轴上一点，是否存在点使得值最小，若存在请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)若点为该抛物线上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标． 5．如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 6．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 7．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形面积的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 9．如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 10．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 11．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 12．综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 13．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．                       (1)直接写出，，的坐标__________，__________，__________ (2)如图1，点是抛物线第四象限上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，过原点的两条动直线分别交抛物线于点，和点，，直线与直线交于点，求线段的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2) (3)、、或 【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点A，点C的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点B的坐标，设直线的解析式为，把，B的坐标代入，得出直线的解析式为． （2）根据题意得，，求出，，，求出，，根据得，运用二次函数的性质得出结论即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，设点，由两点间距离公式得，，；分，，三种情况，结合勾股定理列方程求出的值可得点的坐标． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 令， 解得， ∴点B的坐标， 设直线的解析式为， 把，B的坐标代入，得， 解得 所以直线的解析式为． （2）解：∵轴，点P的横坐标为m． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形面积， ， ∵， ∴有最大值， ∴当时，最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵， ∴，，； 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∴， 解得， ∴； ③当时，， ∴， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述，点的坐标为、、或． 2．(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 3．(1) (2)最大值为， (3)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，直角三角形的存在性问题，最值问题等知识点． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出，再由待定系数法可求直线，设，则，则，再由二次函数的性质求解最值即可； （3）先求出向左平移个单位后的新抛物线为，设，则表示出，，，然后分类讨论，利用勾股定理以及两点间距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：对于，当， 则， 解得：或， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 设， ∴由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∵，， ∴当时，取得最大值为， 此时； （3）解：存在，理由如下： 将配方可得， ∴向左平移个单位后的新抛物线为：， ∴新抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时，则， ∴ 解得：， ∴； 当时，则， ∴ 整理得，， ， ∴此种情况不存在； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 综上：存在，点M的坐标为或． 4．(1) (2)存在， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，锐角三角函数，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）连接，过作抛物线的对称轴垂直轴于点，求出顶点坐标，表示出相关角的三角函数值，得到，过作于点，连接，得出的最小值为，然后利用锐角三角函数进行求解即可； （3）分别过，作垂线，交抛物线于点，利用待定系数法求出，分两种情况进行求解，求出相关点的坐标，利用待定系数法，求出， ，然后联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中， 得 ， 解得， 二次函数解析式为 ； （2）解：由及顶点坐标公式得： ，连接，过作抛物线的对称轴垂直轴于点， 由，得：，， 由勾股定理得， ，， 设， ，要使最小，必须使最小， 过作于点，连接， ， ， ， ， 当点在同一条直线上时，值最小， 即最小， 最小，最小值为， 在中，，， ， ，即的最小值为， 的最小值为， 即：存在使得最小，最小值为； （3）解：如图所示， ，，理由如下： 由得，当时，， ∴， 假设直线的解析式为， ，，代入得， ， 解得， ， ①过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点， 由，得，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，将，代入得： ， 解得， ∴， 将与联立方程组， 得：， 解得：或， 所以：（舍去）， ②过点作的垂线，交抛物线于点， 结合①得，两垂线平行，设， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 将与联立方程组， 得 ， 解得：或 ， 所以，（舍去），， 综上所述：存在点，为，使是以为直角边的三角形． 5．(1)，顶点； (2)； (3)或时，以为直角边的是等腰直角三角形． 【分析】求出直线与轴，轴的交点的坐标分别为点，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出的解析式，根据点是与抛物线的对称轴的交点求出点的坐标，可得的长度，再设点，则点，根据平行四边形的性质可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 当以为直角边的是等腰直角三角形时，需要分两种情况讨论：情况一、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点；情况二、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点时． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得：， 解得：， 点，， 抛物线过点，点， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， ， 抛物线为：， 时，， 顶点； （2）解：如下图所示， 设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 轴交于点， 则点的横坐标为， 把代入， 可得：， ， ， 设点，则点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：(与点重合，舍去)或， ； （3）解：设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，以为直角边的是等腰直角三角形 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质知识． 6．(1) (2)点坐标为， (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，即可求解；熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入， 得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解： 令， 得， ∴，， ∴， 令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解： ∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时， 如图所示有，， ②当时， 过点C作，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时， 由四边形为矩形知， ， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，面积与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 7．(1) (2)，D (3)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）先求得，则，设点的坐标为，分五种情况讨论：①直线与轴交于点，则，此时是等腰三角形，；②是延长交直线于点，此时，但、、三点在同一条直线上，所以不存在以、、三点为顶点的等腰三角形；③是，且点在轴的上方，由，列方程得，可求得；④是，且点在轴的下方，设直线与轴交于点，则，所以；⑤是，则，列方程得，可求得． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 又点，点， ，，， 作于，交于，如图， ，， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下： 设点的横坐标为，则， 解得：， ， ， 设点的坐标为， 如图2，直线与轴交于点，则， 点与点关于轴对称， ， 是等腰三角形，； 延长交直线于点， ， ，， ， ， ， 、、三点在同一条直线上， 不存在以、、三点为顶点的等腰三角形； 如图3，，且点在轴的上方， ， ， 解得：，， ； 如图3，，且点在轴的下方，设直线与轴交于点， ， ， ； 如图3，， ， ， 解得：， ， 综上所述：点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图形与性质，二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 8．(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； （3）∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 9．(1) (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，二次函数与面积综合题，等腰三角形分类问题，综合性强，难度较大． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线，即可得到点坐标为，点A、B关于对称轴对称，从而得到当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点．求出直线解析式为，即可得到点的坐标为； （3）根据点的横坐标为得到点的纵坐标为，点坐标为，求出，根据得到，根据二次函数性质即可求出当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）根据，，，求出，，，根据为等腰三角形，分，，三种情况列出方程，解方程舍去不合题意解，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点坐标为，点A、B关于对称轴对称， ∴当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点． 设直线解析式为， ∵点、， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）解：如图， ∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，，解得（均不合题意，舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上所述，符合条件的的值或1． 10．(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 11．(1) (2)是直角三角形 (3)面积的最大值，此时点E的坐标为 【分析】（1）把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点B的坐标，可证明，据此可得结论； （3）过点E作轴交于点F，求出直线的表达式为；设，则，则，可求出，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴； ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，过点E作轴交于点F， 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 则，即此时点E的坐标为． 12．(1) (2)①的面积为时，点的横坐标为1或4；②能，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：（1）将代入， 得：， 解得，     则抛物线解析式为． （2）设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以直线的解析式为，    ． 设，则，， ∴． ①根据题意得的面积为， 故可得方程： 解得． 的面积为10时，点的横坐标为1或4．     ②能． ∵， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分． （3）抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标，能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 13．(1)；； (2) (3) 【分析】（1）分别求得当和时对应的x的值和y的值，即可解答； （2）设交于点，过点作于，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，令，那么，可知为等腰直角三角形，然后证明，得到，接着求得直线的表达式，代入，即可求得，得到的坐标，然后利用待定系数法求得直线的表达式，联立抛物线与直线即可求得点坐标； （3）不妨设，，，，设直线为：，联立，得到，同理可得，然后用待定系数法求得直线为，直线为，联立得到点 ，推出点在上运动，那么当与垂直时，最短，设交轴于点，交轴于点，然后用面积法求得即可． 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设交于点，过点作于，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，如图所示： 令，那么， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为，代入， 得到，解得， 直线的表达式为， ，都在直线上， ， ， 设直线为，代入， 得到，解得， 直线的表达式为， 联立，解得或， 在第四象限， ； （3）解：不妨设，，，， 设直线为：，联立，得到， 整理得， ， 同理可得， 设直线为代入，， ， ， 直线为， 同理可得直线为， 联立直线与直线，可得， ， ， ， ， ， ， 点在上运动， 当与垂直时，最短， 如图所示，交轴于点，交轴于点， 当时，；当时，； ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一次函数综合，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $