湖北随州市广水思贤中学2025-2026学年高三下数学“7+2+2+3”题型训练

湖北随州广水市思贤中学“7+2+2+3”题型训练 难度：★★★★ 总分：100 分 用时：100分钟 得分： 一、单选题（每题 5 分，共 35 分） 1．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩(∁UB)＝{1,3,5}，则集合B为(　　) A．{2,4,6,7} B．{0,2,4,6,8} C．{0,2,4,6,7,8} D．{0,1,2,3,4,5,6,7,8} 2．已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 3．已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB，AC分别交于M，N两点，D为边BC的中点．若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y等于(　　) A. B. C．2 D. 4．已知锐角α，β满足α＋β＝，且＝，则sin β等于(　　) A. B. C. D. 5. 已知函数f(x)＝xlg 是偶函数，则m等于(　　) A．3 B．0 C．－1 D．2 6. 已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6等于(　　) A.7 B.6 C.3 D.2 7.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点Q(－2,0)的直线与C交于A，B两点，则|AF|·|BF|－|AF|－|BF|的值是(　　) A．0 B．3 C．4 D．5 二、多选题：（12分） 8．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 9.(多选)已知由样本数据(xi，yi)，i＝1，2，3，4，5，6，求得的经验回归方程为＝2x＋1，且＝3.现发现一个样本数据(8，12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是(　　) A.去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位 B.去除后剩余样本数据中x的平均数为2 C.去除后的经验回归方程为＝2.5x＋1 D.去除后样本相关系数r变大 三、填空题：（10分） 10. 已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为_________. A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 11.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形MF1NF2的面积为8a2，则C的离心率是_________. 四、解答题（43分） 13．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为(a2＋b2－c2)． (1)求sin C； (2)若sin(B－A)＝，求tan A. 14．(15分)为增强学生体质，某校高一(1)班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22)，[22,26]这5组，并得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计全班同学的平均进球个数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)现按比例分配的分层随机抽样的方法，从进球个数在[10,14)，[14,18)，[22,26]内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训． ①记这3人中进球个数在[14,18)的人数为X，求X的分布列与数学期望； ②已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率． 15．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点． (1)求证：AC⊥平面A1BO； (2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，若存在， 求出点P在CC1上的位置。 湖北随州广水市思贤中学“7+2+2+3”题型训练参考解答 参考答案 1．　 C 2．　D 3．　A 4．　A 5. 　A 6. 　C 7.　B 8．　AC 9.　BCD 1． C 解析　因为U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}， 又A∩(∁UB)＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6,7,8}． 2． D 解析　由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根， 则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根， 则m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，即m＝2，n＝2，则m＋n＝4. 3． A 解析　如图所示，由三角形重心的性质，可得＝， 所以＝，所以＝x＋y，即＝x＋y， 因为M，O，N三点共线，可得x＋y＝1，所以x＋y＝. 4． A 解析　由＝＝＝， 即cos αcos β－sin αsin β＝sin β， ∴sin β＝cos(α＋β)＝cos ＝cos＝cos cos －sin sin ＝. 5． A 解析　因为函数f(x)＝xlg 是偶函数， 则f(x)－f(－x)＝xlg ＋xlg ＝x＝xlg ＝0， 结合x的任意性可得lg ＝0，可得＝1，则m2＝9，即m＝±3， 若m＝3，则f(x)＝xlg ，令>0，解得x>3或x<－3， 可知f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，关于原点对称，符合题意； 若m＝－3，则f(x)＝xlg ， 可知f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意， 综上所述，m＝3. 6. C 解析　设数列{an}的公比为q，则S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168， a2-a5=a1q(1-q3)=a1q(1-q)(1+q+q2)=42，∴q(1-q)=，即4q2-4q+1=0，则q=， ∴a1==168×=96，∴a6=a1q5=96×=3. 7. B 解析　由题意，直线AB的斜率一定存在，且不为0， 设过点Q(－2,0)的直线方程为y＝k(x＋2)，k≠0， 联立方程组整理得ky2－4y＋8k＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝8， 由抛物线的定义，可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， 则(|AF|－1)(|BF|－1)＝x1x2＝＝4，所以|AF|·|BF|－|AF|－|BF|＝4－1＝3. 8. AC 解析　依题意，∠APB＝120°，PA＝2， 所以OP＝1，OA＝OB＝. A项，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，故A正确； B项，圆锥的侧面积为π××2＝2π，故B错误； C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示， 则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角， 则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故AD＝CD＝＝， 则AC＝2，故C正确； D项，PD＝＝，所以S△PAC＝×2×＝2，故D错误． 9. 　BCD 解析　当＝3时，＝2×3＋1＝7， 则xi＝6＝18，yi＝6＝42， 去除样本数据(8，12)后的新数据，＝＝2，＝＝6， 设去除样本数据(8，12)后重新求得的经验回归方程为＝x＋1， 则2＋1＝6，解得＝2.5， 故去除后的经验回归方程为＝2.5x＋1，C正确； 对于A选项，去除前变量x每增加1个单位，变量y大约增加2个单位，A错误； 对于B选项，去除后剩余样本数据中x的平均数为2，B正确； 对于D选项，去除了误差较大的样本数据后，线性相关性变强，因为y关于x为正相关，则r＞0， 所以，样本相关系数r变大，D正确. 10. e－1. 解析　依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0， 所以xex≥在(1,2)上恒成立，设g(x)＝xex，x∈(1,2)， 所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增， g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1. 11.. 解析　如图，由对称性知MN与F1F2互相平分， ∴四边形MF2NF1为平行四边形， ∵|F1F2|＝|MN|，∴四边形MF2NF1为矩形， 又＝＝4a2，即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝＝. 四、解答题 12．　(1)sin C＝. (2)tan A＝. 解　(1)结合题意可知△ABC的面积 S＝absin C＝(a2＋b2－c2)，sin C＝3×， 结合余弦定理可得sin C＝3cos C>0， 所以解得所以sin C＝. (2)因为sin(B－A)＝>0，所以B>A，易得A为锐角， 因为sin(B－A)＝sin Bcos A－cos Bsin A＝，① sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin(π－C)＝sin C＝，② 联立①②得sin Bcos A＝，cos Bsin A＝，则＝＝，③ 又tan C＝－tan(A＋B)＝＝3， ④ 联立③④得15tan2A－8tan A－9＝0.解得tan A＝－(舍去)或tan A＝. 13(1)17.12. (2)X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝. 解　(1)该班同学的平均进球个数 ＝8×0.02×4＋12×0.04×4＋16×0.08×4＋20×0.07×4＋24×0.04×4＝17.12. (2)由题意可知进球个数在[10,14)，[14,18)，[22,26]内的频率分别为0.16,0.32,0.16， 频率比为0.16∶0.32∶0.16＝1∶2∶1. 所以抽取的8人中，进球个数在[10,14)，[14,18)，[22,26]内的人数分别为2,4,2. ①由题意可知，X＝0,1,2,3， 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ②记事件A＝“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”， 事件B＝“抽取的3人的进球个数在不同区间”， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A)＝＝＝， 即这3个人的进球个数在不同区间的概率为. 14．（2）线段CC1上存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，此时＝. (1)证明　∵△ABC是等边三角形，O是AC的中点， ∴AC⊥OB， ∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，A1B⊂平面ABB1A1， ∴A1B⊥平面ABC， ∵AC⊂平面ABC，∴A1B⊥AC， ∵AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB⊂平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO. (2)解　存在，线段CC1的中点P满足题意． 理由如下： 由(1)得A1B⊥平面ABC， OB⊥AC， 以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴，过点O作Oz∥A1B，以Oz所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，A(1,0,0)，A1(0，，2)，则＝(0，，0)，＝(－1，，2)， 设＝t＝t＝(－t，t,2t)，0≤t≤1， 则＝＋＝(－1－t，t,2t)， 易知平面A1OB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设平面POB的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取x＝2t，则m＝(2t,0，t＋1)， 由题意得|cos〈n，m〉|＝＝＝， ∵0≤t≤1，∴解得t＝＝， ∴线段CC1上存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，此时＝. 学科网（北京）股份有限公司 $