湖北随州市随县丹外高级中学2025-2026学年高三下学期“7+2+2+3”题型训练

湖北随州行知高中数学“7+2+2+3”题型训练 姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共35分） 1．（本题5分）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（本题5分）设复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）设是非零向量，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、多选题（共12分） 8．（本题6分）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 9．（本题6分）已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 评卷人 得分 三、填空题（共10分） 10．（本题5分）已知单位向量，满足，则________. 11．（本题5分）已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 评卷人 得分 四、解答题（共43分） 12．（本题13分）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 13．（本题15分）已知正方形的边长为，将沿翻折至，如图，在二面角内有一点，满足，且． (1)求证：平面； (2)若二面角大小为，求与所成角的余弦值． 14．（本题15分）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北随州行知高中数学“7+2+2+3”题型训练解析版 姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共35分） 1．（本题5分）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再按照交集的定义计算即可. 【详解】由题意，. 2．（本题5分）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 3．（本题5分）设是非零向量，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过向量的平方等于向量模长的平方，及数量积的定义求解. 【详解】将平方后，得， 则，，，推出； 若，则或，此时或， 不能推出，故是的充分不必要条件. 4．（本题5分）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 5．（本题5分）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知化简求得，利用二倍角公式进行弦化切求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 显然， ， 于是. 6．（本题5分）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上都单调递增， 得函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 7．（本题5分）已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，， 因为在区间上恰有5个零点，所以由正弦函数性质得， 解得． 评卷人 得分 二、多选题（共12分） 8．（本题6分）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 9．（本题6分）已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 【答案】ABD 【分析】根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴， 故，焦点坐标为， 因为圆过焦点，代入得，即，解得， 因此双曲线的方程为：. 对于A：点代入双曲线方程得左边右边， 因此在双曲线上，故A正确； 对于B：联立，消去得，故横坐标可以为 ， 中，，高为， 面积 ，故B正确. 对于C：双曲线渐近线为， 设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为， 因为在双曲线上，故满足，即， 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下， 为，故C错误； 对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点， 则， 又①，②，由①②得到， 得到，所以， 综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称， 且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值， 故当点坐标为时， 直线和的斜率之积为定值，故D正确. 评卷人 得分 三、填空题（共10分） 10．（本题5分）已知单位向量，满足，则________. 【答案】 【详解】， 又，为单位向量，故，解得， 又，所以. 11．（本题5分）已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得，将代入双曲线方程即可求出离心率. 【详解】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为， 由经过点，（），得点关于轴对称，即， 则，于是，而，则， 由点在双曲线上，得，即，整理得， 因此，即，则，而， 所以的离心率. 故答案为：    评卷人 得分 四、解答题（共43分） 12．（本题13分）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 13．（本题15分）已知正方形的边长为，将沿翻折至，如图，在二面角内有一点，满足，且． (1)求证：平面； (2)若二面角大小为，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面垂直，需要证明该直线与该平面内的两条相交直线垂直即可，即证明. （2）先建立空间直角坐标系，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，，，由于，，， 由等腰三角形三线合一可得，，， 又因为，面，可得面，从而， 同样的，又因为，面，可得面，从而， 又因为，面，可得平面． （2）解：由于正方形，所以，又因为， 由（1）有，所以，从而有， 以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 由于二面角的平面角即为，由（1）可知、、、共面， 又因为可得， 所以，，，， ，，所求角的余弦为：． 14．（本题15分）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $