2026中考数学热门考点通关练——二次函数与角度综合

2026中考数学热门考点通关练一一二次函数与角度综合 1.(25-26九年级上·福建泉州期末)已知抛物线y=ax2+bx-3,且与x轴交于点A、B, 与y轴交于点C,其中A(1,0),B(3,0). B B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，若点P在抛物线上运动(P点异于点A). ①当△PBC的面积等于ABC的面积时，求点P的坐标； ②当∠PCA=2∠BCA时，求直线PC的解析式， 2.(25-26九年级上·广东珠海月考)综合与探究：如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴 交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D,OA=OC=3. (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n,求△CAN面积S与n 的函数关系式及S的最大值： (③)在抛物线上是否存在一点P,使得∠PAB=∠ABC,若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 3.(25-26九年级上·广东惠州期末)如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(-1,0),B(4,0)两点， 与y轴交于点C,D为直线BC上方抛物线上一动点，且DE⊥BC于点E. 试卷第1页，共3页 A0 B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，求线段DE长度的最大值： (3)如图2，设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得∠DCE=∠CF0?若存 在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由 4.(25-26九年级上山东威海期末)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴分别交于点A和 点B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=-1,且0A=OC. A-10 B A -10 B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接BC,若点M为抛物线上一点，且LMAB=∠BC0,求点M的坐标； (3)如图2，点Q(0,1),点P为第二象限内抛物线上一动点，连接PQ交AC于点E,若 SPmE=SQcE,求点P的坐标. 5.(25-26九年级上·四川绵阳期末)如图1，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴分别交于A,B两点，与y轴交于点C(0,3),顶点E的坐标是1,4).经过点A的直线1交y 轴于点D,OA=OD,与抛物线交于另外一点G,连接CG,点P是直线1上的一个动点， 连接CP,EP 试卷第1页，共3页 图1 图2 ()求抛物线和直线1的解析式： (2)求PC+PE的和的最小值； (3)如图2，作∠CGD的平分线交抛物线于点M,连接DM,试判断△GMD的形状，并说明 理由， 6.(25-26九年级上·重庆铜梁期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC,若0C=20A (I)求抛物线的解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM‖x轴交直线BC于点M,过点P作 PN⊥BC于点N.求PM+V2pN的最大值和此时点P的坐标； 2 (3)将该抛物线沿AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y,Q为新抛物线y上的一个动 点.当∠QBC-∠AC0=45°时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标 7.(25-26九年级上·江苏南通·月考)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和 B(3,0)两点，与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点E,点D为顶点，连接 BD、CD、BC. 试卷第1页，共3页 (I)求证：△BCD是直角三角形： (2)点P为线段BD上一点，若∠PC0+LCDB=180°，求点P的坐标； (3)点M为抛物线上一点，作MN⊥CD,交直线CD于点N,若∠CMN=∠BDE,请直接 写出所有符合条件的点M的坐标 8.(25-26九年级上黑龙江哈尔滨期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=-】x+hx+5交 x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OB=OC. B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，求抛物线的解析式： (2)如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接AP交y轴于点D,连接PC,点P的横坐标为 t,△CDP的面积为S,求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在(2)的条件下，点Q在y轴上且在点D的下方，点E在DQ上，EQ=3DE, 连接PO,∠APQ=2∠BAP,点F为CP中点，连接EF,过点B作x轴的垂线交PO于点H, 连接EH,FH,∠FEH-∠FHB=45°，求点P的坐标. 9.(25-26九年级上·四川自贡·期末)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B(-1,0)两 点，并经过C2,3,交y轴于点D. 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)请求出抛物线解析式； (2)如图1，连接BD,点P在抛物线上，连接PB,若∠ABP=∠BD0,求点P的坐标； (3)如图2，直线y=mx+n与抛物线交于点E,F,连接CE,CF分别交y轴的正，负半轴 于点M,N,若OM·ON=3,求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标。 10.(25-26九年级上·湖南株洲期末)己知二次函数y=ax2（a≠0的图像经过点1 抛物线上两点A(x,y),Bx2,y2),满足x1<0<x2,直线AB与y轴交于点C. 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接OA,OB,若LA0C=∠B0C,且0C=4,求线段AB的长度； (3)已知，OC=4,点P是直线AB下方抛物线上一点，作PQ∥y轴，交AB于点Q,若线 段PQ的最大值是8，求直线AB的解析式. 11.(25-26九年级上·湖北武汉·月考)抛物线y=-x2+bx-3经过点A(1,0)· 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： 试卷第1页，共3页 (2)如图1，点D是第四象限内抛物线上一点，满足∠DAC=3∠ACO,求点D坐标： (3)如图2，Gt,2)是第一象限内一点，过点G的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点 分别为M、N,探究直线MN是否过定点，求这个定点的坐标 12.(25-26九年级上·四川广元期末)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴交于A,B(3,0)两点，与y轴交于点C,点D(2,3)在抛物线上，点P 是抛物线上一动点. VA 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)如图1，连接OD,当点P位于直线0D上方时，求aODP面积最大时点P的坐标； (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使LCBP+LAC0=45°？若存在，请 直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 13.(25-26九年级上·湖北荆门期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 v)2+hx+cb,c是常数)交x轴于点4，B,交y轴于点C0号 点A坐标为 (-1,0),点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t. B 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)连接BC,若E在BC的上方，当LECB=2LCBA时，求点E的坐标； (3)如图2，设aEAC的面积为S,点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； 试卷第1页，共3页 ②以点E为对称中心，构造正方形PQMN,且MN在y轴上（点M在点N的下方），直接 写出抛物线与正方形PQMN的边只有2个公共点时S的取值范围. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)解：：抛物线y=ax2+bx-3过点A1,0),B(3,0), 「a+b-3=0 9a+3b-3=0 解得： a=-1 b=4 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+4x-3. (2)①解：I,如图，当点P在x轴的上方时，过点A作PA∥BC,交抛物线于点P,则 有S△PBc=S△4BC, :抛物线y=-x2+4x-3与y轴交于点C, .C(0,-3), 设直线BC:y=kx+m, [3k+m=0 「k=1 m=-3 解得： m=-3’ .直线BC:y=x-3, 故设直线AP:y=x+n, 直线AP:y=x+n经过A1,0), .0=1+n, 解得：n=-1,即直线AP:y=x-1, y=x-1 气Uy=-2+4-3解得： x=1x=2 由 或 y=0 y=1 P2,1; 答案第1页，共2页 Ⅱ.如图，当点P在x轴的下方时， 设直线AR:y=x-1与y轴交于点E,则E(0,-1, 则EC=-1-（-3)=2, 由直线BC向下平移2个单位长度，交抛物线于点，B.得S△PBc=S△4Bc, 此时直线B:y=x-5, y=x-5 由{ y=-x2+4x-3' 「3+17 ._3-7 2 x2= 2 解得： *或 2 亚 2 ②解：如图，延长CP交x轴于点Q, C(0,-3,B(3,0,A1,0), .0C=0B,AB=2, 答案第1页，共2页 ∴.∠OCB=∠OBC=45°， 设∠0CA=a,则∠BCA=45°-， ∠PCA=2∠BCA=245°-a=90°-2a, ∴.∠0CQ=90°-a, .∠0QC=a, :∠A0C=∠C0Q=90°， .RtAAOC∽RtACOO, 0A OC1 3 ·0c00 即一= 3O0 .OQ=9,即Q(9,0, 设直线PC:y=dx+1, 将C(0,-3),Q(9,0)代入y=dx+1中， [9d+t=0 1 d= 1t=-3 解得： 3 t=-3 直线PC:y=3-3, 【点晴】本题考查了一次函数与二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式，函数 相关的图形面积关系，角度存在性问题等，灵活运用相关知识是解题的关键， 2.(1)抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3,顶点D的坐标为：（-1，-4). 日关系式为：5=对，当=-时，s的最大值为智 2 (3)存在，点P的坐标为-2，-3)或(4,21. 【分析】(1)根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可； (2)根据待定系数法求出直线AC的解析式，过点N作NG⊥x轴于点G,交直线AC于点 M,根据S4wc=SNw+S.cw得到S=- 27,即可得到最大值： (3)分点P在点A左侧；点P在点A,点B之间；点P在点B右侧三种情况讨论即可得到 答案 【详解】(1)解：：OA=0C=3,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点AB(点A在点B的 答案第1页，共2页 左侧)， A-3,0),C(0,-3, 9-3b+c=0 c=-3 [b=2 解得： c=-3' ·抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3, 对称轴为直线：x=-,2 =-1, 2×1 把x=-1代入函数解析式得到y=4, 故顶点D的坐标为：（-1，-4). (2)解：设直线AC的解析式为y=x+d, [-3k+d=0 将A(-3,0),C(0,-3)代入得 d=-3 k=-1 解得： d=-3' :直线AC的解析式为y=-x-3, 如图，过点N作NG⊥x轴于点G,交直线AC于点M, 交：点N的横坐标为n, ∴Nn,n2+2n-3,Mn,-n-3 .NM=(-n-3-n2+2n-3=-n2-3n, S.ANc=S。ANM+S.CNM -号M,AG+MM-oG 2 =号Nw(4G+0G例 答案第1页，共2页 =INM-OA -3训3 =-3n29n 22 3227 n 2 28 Ya=-3 <0, 2 :当n=-3时， s的最大值为27 (3)解：存在， 当点P在点A左侧时，∠PAB是钝角，∠ABC为锐角，此时得∠PAB≠∠ABC; 当点P在点A,点B之间时，点P与点C关于直线x=-1对称， :点P的坐标为-2，-3， 当点P在点B右侧时， 如图，过点A作直线I∥BC,根据两直线平行内错角相等可知直线1与抛物线在第一象限的 交点为P,此时有∠PAB=∠ABC, 0 令y=0,则x2+2x-3=0, D 解得x=-3或x=1, B(1,0 设直线BC的解析式为y=c+e, k+e=0 将B(1,0),C(0,-3)代入得 e=-3 答案第1页，共2页 k=3 解得 e=-3' :直线BC的解析式为y=3x-3, 设直线1的解析式为y=3x+f, 将A(-3,0)代入得∫=9， :直线1的解析式为y=3x+9, 联立/y=3x+9 y=x2+2x-31 解得x=4或x=-3, “点P在点B右侧， ,点P的横坐标大于1， :x=-3舍去， .P(4,21, 综上，点P的坐标为-2，-3或(4,21. 【点晴】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计 算是解题的关键， 3.(1)y=- 4 e 5 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与几何，正确画出辅助线是解题的关键. (1)利用两点式求函数的解析式即可； 2)过点D作DW1r轴交8c于M点，设D-r+是+3 则+3，得到 DE=号+号--2+号可解答， 5 5 5 (3)过点B作BG⊥BC,交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H,可得 an∠DCE-GB=2,再证明△GBHn△BC0,求得点G坐标，求得CG解析式，联立方程 BC 即可解答. 答案第1页，共2页 a-b+3=0 【详解】(1)解：由题意，得16a+4h+3=0 3 a=- 4 解得 9 b=- 4 :抛物线的函数表达式为y=-3x+?x+3: 4 4 3 9 (2)解：关于y=-二x2+二x+3,令x=0,则y=3, 4 4 C(0,3, 设直线BC的解析式为y=c+h, 4k+h=0 则 h=3’ 3 k=- 解得4， h=3 “直线BC的解析式为y=- x+3, 4 设D,-3+2+3, 9 4 4 如图1，过点D作DM上x轴交BC于M点，则M子+3 B 图1 +++ :DM=-4 :∠DME=∠OCB,∠DEM=∠BOC, △DEM∽△BOC, 、DEOB DM BC OB=4,OC=3, .BC=5, 答案第1页，共2页 DE=4DM, 3,12 DE=-22+t=- 5 5 1-22+12 3 5 -3<0:对称轴1=2 :当1=2时，DE取最大值，最大值是2 (3)解：存在。 点F为AB的中点， oF先2am∠cro=OG OF =2, 过点B作BG⊥BC,交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H,如图2， G D E :∠DCE=∠CFO, 分 图2 .tan∠DCE= GB BC =2 .BG=10, :∠CB0+∠0CB=90°，∠CB0+∠GBH=90°， :ZOCB ZGBH ∠B0C=∠GHB=90°， :△GBH∽△BCO, GH HB GB BOOC BC =2, .GH=2B0=8,BH=20C=6, G10,8, 设直线CG的解析式为y=x+b', 「b'=3 110k+b=8' 答案第1页，共2页 k= 解得 2 b'=3 .直线CG的解析式为y=一x+3, 2 1 联立 y=2+3 x+3 4 4 、7 解得x=。或x=0(舍去) 3 所以点D的横坐标为 7 4.(1)y=-x2-2x+3 ②当点M在铺上方，点w:当点M在X轴下方，点M号 ⑧9 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题， (1)根据题意先求得C(0,3),进而可得A(-3,0),根据对称性可得B1,0),待定系数法求 解析式，即可求解； (2)当点M在x轴上方，设AM交y轴于点N,证明△ANO≌△CBO(ASA得出N(0,I, 待定系数法求得直线AM的解析式，联立抛物线解析式求得M的坐标；当点M在x轴下方， 同理可得AM的解析式为y=一了-1，再联立抛物线解析式求得M的坐标，即可求解， 9 (3)过点P作PT1x轴于点T,根据S.:=S.0ce得出Ss形：om=S.ac=之，进而设 7 Pm,-m-2m+3)，解方程得出m=-3,即可求解. 【详解】(1)解：当x=0时，y=a2+bx+3=3,则C(0,3) .0C=3 0A=0C .OA=3,A-3,0 :抛物线的对称轴为直线x=-1 B(1,0 答案第1页，共2页 将A-3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx+3 9a-3b+3=0 a+b+3=0 a=-1 解得： 1b=-2 .y=-x2-2x+3 (2)解：如图，当点M在x轴上方，设AM交y轴于点N, M A -1O B 图1 :B(1,0 .OB=1 :∠MAB=∠BC0,OC=0A,∠A0N=∠C0B=90 .△ANO≌△CB0ASA 0N=0B=1,则N(0,1 设直线AM的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入A(-3,0),N(0,1, 「-3k+b=0 b=1 1 解得： b=1 1 直线AM的解析式为y=3x+1 y=-x2-2x+3 联立1 y=3x+1 答案第1页，共2页 2 x=-3 x 解得： 或 y=0 .11 y29 点写号 当点M在x轴下方，同理可得AM的解析式为y= 31 y=-x2-2x+3 联立1 y=-3-1 x=-3 x= 解得： y=0 或 9 (3)解：如图过点P作PT⊥x轴于点T, AT-1 O B主 图2 S.PAE=S.OCE 3x3= 1 9 2 又：0(0,1 9 :S,西地形HO0P=SPr+S华形pT00=2 设P(m,-m2-2m+3), m+3训-m2-2m+列+-m-2m+3列+-m- 解得m= 或m=0(舍去) 3 当m三3时，-m-2m+320 9 答案第1页，共2页 720 :P39 5.(I)抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,直线1的解析式为y=x+1 (2)√10 (3)△GMD是直角三角形，理由见解析 【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)+4(a≠0)，利用待定系数法求解即可得；再 求出点A,D的坐标，利用待定系数法即可得直线1的解析式： (2)作点C关于直线l的对称点F,CF交直线I于点H,连接PF,EF,则 PC+PE=PF+PE,根据两点之间线段最短可知，当点E,P,F共线时，PF+PE的值最小， 最小值为EF,再求出点H,F的坐标，利用两点之间的距离公式求解即可得； (3)设MG与y轴交于点N,过点N作NQ上DG于点？，先求出点N的坐标，利用待定 系数法可得直线MG的解析式，从而可得点M的坐标，然后利用勾股定理的逆定理求解即 可得 【详解】(1)解：由题意，设抛物线的解析式为y=a(x-1)+4(a≠0)， 将点C(0,3)代入得：a+4=3, 解得a=-1, 抛物线的解析式为y=-(x-)2+4: 将y=0代入y=-(x-1+4得：-(x-1)+4=0,解得x=3或x=-1, A-1,0,B(3,0), .0A=1, 0A=0D, .0D=1, .D0,1, 设直线1的解析式为y=kx+bk≠0)， 「k=1 将点A-1,0),D(0,1代入得： t00,解得h= b=1 直线1的解析式为y=x+1. 答案第1页，共2页 x=-1x=2 (2)解：联立 +.解 或 y=x+1 y=0 y=3 .G(2,3), C(0,3,D(0,1, .CG=CD=2,CG⊥CD, .△CDG是等腰直角三角形， 如图，作点C关于直线l的对称点F,CF交直线l于点H,连接PF,EF, B .CH=FH,CF⊥DG, .DH=GH(等腰三角形的三线合一)， :H2+03+1） (2,2 即H(1,2), 设点F的坐标为F(s,, (s+0=1 2 S=2 t+3 解得=1' =2 2 F(2,1, :顶点E的坐标是1,4)， EF=V2-1)2+(1-42=0, 由轴对称的性质可知，PF=PC, .PC+PE PF +PE, 由两点之间线段最短可知，当点E,P,F共线时，PF+PE的值最小，最小值为EF=√10， PC+PE的和的最小值为V0. (3)解：△GMD是直角三角形，理由如下： 答案第1页，共2页 如图，设MG与y轴交于点N,过点N作NQ⊥DG于点Q, :CG=CD=2,CG⊥CD, ∴DG=VCD2+CG2=22,LCDG=∠CGD=45°， :GM是LCGD的平分线，CG⊥CD,NQ⊥DG, .CN=ON, 在Rt△GNQ和RtaGNC中， GN=GN ON=CN' :RtAGNO≌RtAGNC(HL, .GO=CG=2, .D0=DG-GQ=2√2-2， 又：∠CDG=45°，NQ⊥DG, ∠DNQ=∠CDG=45°， ∴.N0=Dg=2V2-2, .CN=2√2-2， .0N=0C-CN=5-2√2， N(0,5-22), 设直线MG的解析式为y=kx+bk。≠0)， 将点G2,3),N(0,5-2W2)代入得： [2k+b=3∫k=V2-1 4=5-2V2'解得 6=5-221 “直线MG的解析式为y=(2-1x+5-2√2， 答案第1页，共2页 y=-(x-12+4 联立 ∫x=2x=1-√2 =(2-小x+5-22'解得=3或 y=2 :M1-2,2, 又G2,3,D(0,1, MG2=(1-V2-2+(2-3)2=4+22, MD2=1-2-0+(2-1)2=4-22, DG2=(2-0)+(3-1)2=8, :MG2+MD2=DG2, :△GMD是直角三角形. 【点晴】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的几何应用、轴对称的性质、勾股定 理与勾股定理的逆定理、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握二次函数与一次函数的应用 是解题关键。 22+x+4 6.()抛物线的解析式为y=- (2)当m=2时，取得最大值3，此时P(2,4 (③)点0的坐标为0,5,2，Q,3-6,-v6-5. 2,4 【分析】(1)首先求出C(0,4),再由0C=20A可得A(-2,0),然后利用待定系数法求解即 可； (2)首先求出直线BC表达式为y=-x+4,设M)m2-m, 1m2+m+4 表示出PM, 2 由aPMN是等腰直角三角形表示出PN=2PM,然后代入PM+5PN利用二次函数的性 2 质求出当x=2时，取得最大值，得到此时P叫2,4利： (3)首先求出AC=√A02+0C2=2√5，进而可得将该抛物线沿AC方向平移√5个单位 长度得到得新抛物线y时，点A的对应点是AC的中点A(-1,2),由此确定平移方式，进而 院定平修后的新抛物线y室达式为yx-1+号+242x+号，再银据 9 ∠QBC-∠AC0=45°，可得∠QBC=∠ACO+45°=∠ACB,分两种情况求出BQ的函数表达 式，然后和抛物线联立求解即可. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+4(a≠0) .当x=0时，y=4 C(0,4),即0C=4 :0C=20A .0A=2 .A-2,0 将A-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4a≠0)得 [4a-2b+4=0 16a+4b+4=0 1 =- 解得 Γ2 b=1 :y=-x2+x+4: 21 (2)解：·P是直线BC上方抛物线上的一动点， 设P心+烟+ B4,0),C(0,4 设直线BC表达式为y=x+4 则4k+4=0,解得k=-1 .直线BC表达式为y=-x+4 :过点P作PM∥x轴交直线BC于点M, 设M[m2-m, 1 二m2+m+4 1 .PM m- 二m2-m=- m2+2m :0C=0B=4 △OBC是等腰直角三角形 L0BC=∠0CB=45° PM∥x轴 .∠0CN=∠0BC=45 :PN⊥BC 答案第1页，共2页 ,△PMN是等腰直角三角形 PN-PM 2 PM+PN=PM+ .PM-3PM 22 3_1m2+2m= 3 3 m2+3m=- Γ221 m-2)2+3 4 4 3 <0 4 当m=2时，取得最大值3，此时P(2,4； (3)解：：A-2,0),C0,4), .AC=VA02+0C2=2V5, :将该抛物线沿AC方向平移√5个单位长度得到得新抛物线y, 点A移动到AC的中点A(-L,2), 平移方式为向右平移1个单位，向上平移2个单位， ∵y=- +x+4=-x-l1+2 1 1 2.9 “平移后的新抛物线y表达式为y=- x1-+号2+2+ 2 :∠QBC-∠AC0=45°， .∠QBC=∠AC0+45°， 又：∠0BC=∠0CB=45°， .∠QBC=∠ACO+∠OCB=∠ACB, 当点Q在x轴上方时，如图所示，延长B四交抛物线y于点2， Q,·∠QBC=∠ACB, BQ∥AC, 答案第1页，共2页 :A(-2,0),C(0,4) 可得直线AC表达式为y=2x+4 设直线Bg表达式为y=2x+n, B4,0), .0=2×4+n,即n=-8, 设直线BQ表达式为y=2x-8, y=2x-8 [x=5x=-5 联立得 2+2 1 9,解得： y=2'y=-18 (不合题意舍去) y= 2 点9坐标为5,2)， 当点Q在x轴下方时，如图所示，在y轴负半轴上取点K(0,-2),连接BK并延长交抛物线 y于点9， :0B=0C=4,0A=0K=2,∠A0C=∠K0B=90°， .△AOC≌△KOB(SAS), .LKB0=∠AC0, ∠Q,BC=LOBC+∠KB0=∠AC0+45°， B(4,0),K(0,-2), 1 :可得直线K表达式为)=2X-2 [3+√61 y2x-2 3-√61 X1= X2= 联立得， 解得： 2 (不合题意舍去)， 1 ’ y=- 2+2x+2 y=V6-5 5-v6-5 4 4 点Q坐标为3-6，v6-5， 2， 4 综上所述，点0的坐标为0,5,2，Q,3-6,-v6-5, 2， 4 【点晴】本题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段 最值问题，构造相等角的方法，能够对知识点综合运用是解题关键 7.(①)见详解 a号 答案第1页，共2页 39或5,12 720 (3)点M的坐标为 【分析】(1)运用待定系数法得到抛物线解析式为y=x2-2x-3,由此得到 C(0,-3),D(1,4),运用两点之间距离公式得到BC=3√2，CD=√2，BD=25,运用勾股定 理逆定理即可求解； (2)运用待定系数法得到直线BD的解析式为y=2x-6,如图所示，过点P作PQ⊥x轴于 点Q,可证△PQC∽aBCD,得到PQ=3CQ,设P(P,2p-61≤p≤3)，则PQ=p,则点 o0-3-3p 由点P、Q的纵坐标相等，代入计算即可求解； (3》很据衍到当∠CWW=∠DE时，an∠CWN:},结合点M的位江分类时论即 可求解。 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点， 1-b+c=0 19+3b+c=01 b=-2 解得， c=-3' 抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-)2-4, C(0,-3,D1,-4, .OB=3,OC=3, ·BC=V0B2+0C2=V32+32=32,CD=V0-12+-3+42=V2, BD=V3-12+0+42=25, BC2=18,CD2=2,BD2=20, :18+2=20,即BC2+CD2=BD2, .△BCD是直角三角形； (2)解：B(3,0),D1,-4, 设直线BD的解析式为y=x+bk≠O), 答案第1页，共2页 「3k+b=0 k+b=-4 解得， ∫k=2 1b=61 .直线BD的解析式为y=2x-6, 如图所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q, 分 O D :∠PQC=∠BCD=90°， :∠PCO+∠PCQ=180°，∠PCO+∠CDB=180°， :∠PCQ=∠CDB, .△PQCn△BCD, 29,即%C-35 CO CD2 3, BC CD :PO=3C0, 点P为线段BD上一点， 设P(p,2p-6)(1≤p≤3)，则PQ=p, :c0=P0=5p, 1 3 1 -3-3p=2p-6, 解p号 9 .2p-6=2× -6=-24 , g》 (3)解：C(0-3),D1,4, 答案第1页，共2页 设直线CD的解析式为y=x-3(f≠0)， f-3=-4, 解得，f=-1, :直线CD的解析式为y=-x-3, 根据题意得到E(1,0),∠BED=90°， BE=3-1=2,DE=4, ·tan 2BDE=BE-21 DE42, 当∠CMN=LBDE时，tan∠CMN=CN-I MN2' 如图所示，过点N作RT⊥y轴于点R,过点M作MT⊥RT于点T, A E M .∠CNM=∠CRN=∠MTN=90°， :∠CNR=90°-∠MNT=∠NMT, .aCNR∽aNMT, 贷得0 :CR=-NT,NR=-MT, 1 :OB=OC=3,∠BOC=∠BCD=90°， .△BOC是等腰直角三角形，则∠0CB=∠0BC=45°， .∠NCR=45°，且∠NRC=90°， ∠CNR=45°，即△CNR是等腰直角三角形， 同理，△MNT是等腰直角三角形， .CR=NR,MT=NT, :点N在直线CD上， 答案第1页，共2页 设N(n,-n-3,Mm,m2-2m-3,则R(0,-n-3),Tm,-n-3), :CR=NR=-3-(-n-3)=n,MT=NT=m-n, 1 n=2m-小， 整理得，m=3n, :MT=m2-2m-3-（-n-3)=m2-2m+n, m2-2m+n=m-n,把m=3n代入得，9n2-6n+n=3n-n, 整理得，9n2-7n=0, 7 解得，八=0，，=9’ 当n=0时，点N,C重合，不符合题意，舍去； 当m-号时，m-加-3-子-2-3- 7 7)2 如图所示， OE B :∠OCB=45°，BC⊥CD,RC⊥y轴，MN⊥CD, OCN=45°=∠RCN=∠RNC=∠TNM=∠TMN, ∴.△CNR,△MNT是等腰直角三角形， 设N(n,-n-3,Mm,m2-2m-3,则R(n,-3),Tn,m2-2m-3, 答案第1页，共2页 :MT=TN,CR=NR,CR=-TN, :m-n=m2-2m-3--1-3),0-n=2m-, 1 整理得，m2-3m+2n=0,m=-n, .n2+5n=0, 解得，11=0,2=-5， 当n=0时，点N,C重合，不符合题意，舍去： 当n=-5时，m=-n=-(-5=5,m2-2m-3=52-2×5-3=12, .M(5,12; 720 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为39或(5,12. 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数与三角形面积的计算，相 似三角形三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正切值的计算等知识的综合，合 理作出辅助线是解题的关键。 8.0y=2 +x+5 1 3 (2S=1 21 (3)P(6,-4 【分析】(1)先求出B5,0),再将点B5,0)代入y=-x+x+5可得b的值，即可得抛物 2 线的解析式： (2作P71维于点7，PR1箱于点，先求出0A=,可得P-++小， 1-3 -5 Rt4PT中，an∠PAT=PT-22 Rta4OD中，tan∠OAD=OD=OD 可得 AT 1+2 0A2 1-,-50D,得出0D=1-5.CD=0D+0C=1,再由三角形面积公式求解即可：一 t+2 2 (3)作PR⊥y轴于点R,取CR中点G,连接FG,作HM⊥y轴于点M,FN⊥HM于点 N,先求得∠PDR=∠ROP.再证明aEMH≌△HNF(AAS.可得MO=3-3,-5. 4 答案第1页，共2页 3--5.am20aD=00-' M-44 .再列出方程求解即可. tan∠MHQ= 5 OA2 M 1 【详解】(1)解：抛物线y= 2r+bx+5交y轴于点C, C(0,5). 0C=5. 0B=0C=5. B(5,0. 空动+5=0… 解得：b=3 2 2+ 3 抛物线的解析式y=一 x+5: 2 2 3 (2)解：y= 1x2+3x+5=0时， 22 解得：x1=-2,x2=5. A-2,0),即0A=2, 作PT⊥x轴于点T,PR⊥y轴于点R, B R 可得P, 3 t+5 2 Rt APT中， 3t-5 anZPAT=PT=2 AT 1+2 Rt&AOD中，tan∠OAD= ODOD 0A 2 123 -5 22 0D, 1+2 2 答案第1页，共2页 得出0D=t-5. ..CD=0D+0C=1. SAcm= CD-PR. s=, 2 (3)解：作PR⊥y轴于点R,取CR中点G,连接FG,作HM⊥y轴于点M,FN⊥HM于 点N,得矩形OBHM,矩形MNFG, Gh-- T →.PR∥AB. :∠APR=∠BAP, ∠APQ=2∠BAP, .∴∠APQ=2∠APR, .∠APR=∠QPR, PR⊥y轴， .∠PDR=∠RQP. PD=PO.FG=PR=1 EQ=3DE,得出DE=ER. :.EG=RG-RE=1CR-1DR=1CD=11=FG. 2 2 2 2 LGEF=∠GFE=45°. :∠FEH-∠FHB=45°. 设∠FHB=a, ∠FEH=∠EFH=45°+a. .EH FH. :△EMH≌△HNF(AAS. 答案第1页，共2页 M0=E0-EM=3D0-EM=3-131-5. 44 3,21 Rt△Mi0中，tan∠MH0=Me-44 -5 RtAOD中，tan∠OAD=OD_t-5 OA2 32_13 t-5 44 t-5. 2 6=6,t=3 (舍) .P(6,-4. 【点晴】本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，全等三角形的判定和 性质，解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，解直角三角 形，正确作出辅助线。 9.(1)y=-x2+2x+3 (3)证明见解析，定点坐标 【分析】(1)使用待定系数法求出抛物线解析式即可； (2)作PG⊥AB,垂足为G,设点P坐标为t,-t2+2t+3),可得BG=t+1, PG=+21+3.引容易证明△B0 DvABGP,则C=D0 PG BO 3,根据点P在x轴上下方分 别计算出坐标即可； (3)设点E坐标为x,y),点F坐标为x2,y2),联立直线与抛物线的方程，根据一元二次 方程根与系数的关系求出x,+x,=2-m,x,x2=n-3.使用待定系数法求出直线CE的解析 式为y=-xx+3+2x1,从而得到点M的坐标为0,3+2x),同理点N的坐标为 (0,3+2x,).结合0M·0N=3,求出m和的关系，进而求出定点的坐标. 【详解】(1)解：将B-1,0),C(2,3代入y=ax2+bx+3,得， [0=a-b+3 3=4a+2b+3' 答案第1页，共2页 a=-1 解得b=2' :抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：作PG1AB,垂足为G,设点P坐标为t,-2+2t+3, ①当点P在x轴上方时，如图， 将x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3, .点D坐标为0,3)， PG⊥AB, .Xp=Xe=t,∠BGP=90°， 点G坐标为1,0)， .BG=t+1,PG=-t2+2t+3, :∠ABP=∠BD0,∠BOD=∠BGP=90°， △BOD∽△BGP, :BG、PG D0=B0 :D0=3,B0=1, .BG 3PG .t+1=-3t2+6t+9, 化简，得3t2-5t-8=0, 8 解得，1=。或1=-1， 3 当1=-I时，点P与点B重合，故舍去， 1此时点P坐标为号) 答案第1页，共2页 ②当点P在x轴下方时，如图， VA 同理①可得，BG=t+1,PG=--12+21+3=2-2t-3,且BG=3PG, ∴t+1=3t2-6t-9, 化简，得32-7t-10=0, 解得，t=10 或=1（点P与点B重合，舍去， 110 1013 ,此时点P坐标为3,9)： 综上所述点P坐标为39)或39月 811) 1013 或 (3)解：设点E坐标为x,),点F坐标为x2,2), 当直线EF与抛物线相交时， mx+n=-x2+2x+3, 化简，得x2+(m-2)x+n-3=0, 由韦达定理可得，x1+x2=2-m,xx2=n-3, 设直线CE的解析式为y=kx+b, 将C(2,3),E(x,y)代入y=kx+b,得， [3=2k+b 乃=k书+b' k=当~3 ￥-2 解得， 2=3-2(4-3到' x-2 :点E在抛物线上， .》=-x2+2x1+3, 答案第1页，共2页 变形，得月1-3=-xx-2), :k=当3 X1-2 =-%,4=3-2%3到=3+2x, 七-2 ∴直线CE的解析式为y=-x,x+3+2x1, 将x=0代入y=-Xx+3+X1,得y=3+2x1, .点M的坐标为0,3+2x, 同理可得，点N的坐标为0,3+2x2), :点M在y轴正半轴，点N在y轴负半轴， 0M=3+2x1,0N=-(3+2x2), :0M·0N=3, .(3+2x)(3+2x2）=-3, 化简，得4xx2+6x+x2）+12=0, x1+x2=2-m,xx2=n-3, .4n-12+12-6m+12=0, 3 n=2m-3, :直线EF的解析式为y=x+ 2m-3, 当x=-三时，y= 3 3 -2m+ m-3=-3为定值， 2 线E过定(3小 【点晴】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析 式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握函数与方程的关系是解题关键. 10.0y-x (2)8 (3)y=2x+4或y=-2x+4. 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与角度综合、二次函数与线段的综合 等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键 答案第1页，共2页 )直接将T日)代入y=m求得a的值即可解答： 2由题意可得C04、A,、8 再运用待定系数法可得直线AB的解析 式为y=+戈x-5,再结合点C0,4可得5=-16：再求得直线0B的解式为 4 4 ”=子，再根据对称性可得，关于y轴的对称点c(- 1 4 在直线y=x上， 4 代入可得x2=-x1,易得x=-4,x2=4,即A(-4,4),B(4,4),再求线段AB的长度即可； (3)如图：设直线AB的解析式为y=+4,Px,4 则0(x,kx+4), ，易得P0-红+4号-4判+4=x-2+4+,即当=2时，D有最大 4 值4+k2,再根据PQ有最大值为8列方程求得k的值即可确定 直线AB的解析式 【详解】解：将7)代入=可得}ax,解得：a= 所以抛物线的解析式为y= (2)解：：0C=4, .C0,4, 抛物线上两点Ax,y),B(x2,y2), 设直线AB的解析式为y=x+b, =k+b k=名+x 4 解得： 4 =kc+b b=-为 4 4 ·直线AB的解析式为y=+x-五 4 4 :直线AB与y轴交于点C, _5=4,即x,=-16: 4 设直线OB的解析式为y=x,则=xk,解得：片-车 4 41 答案第1页，共2页 :直线OB的解析式为y=x, 4 :∠A0C=∠B0C, .OC是∠AOB的角平分线， 直线OA、OB关于y轴对称， 设45好)关于y抽的对称点D(4)在直线y=年上， ,即， 4 xx2=-16, .x1=-4,x2=4, A-4,4,B(4,4, AB∥y轴， .AB的长为4--4)=4+4=8. (3)解：如图： 设直线AB的解析式为y=c+4, 则Qx,k+4), P0=+4-=-4+4=x-2+4+ 当x=2k时，PQ有最大值4+k2, :PQ有最大值为8， 4+2=8,解得：k=士2， .直线AB的解析式为y=2x+4或y=-2x+4. 11.(1)y=-x2+4x-3 a传9》 答案第1页，共2页 (3)过定点，（2,0 【分析】（①）用待定系数法求二次函数的解析式： (2)延长DA交y轴于F,在OC上取点E,使CE=AE,可得∠AF0=∠AE0,根据等角对 等边可得OF=O上三，利用待定系数法求出直线4P的解析式，联立直线4F与抛物线型 解析式，解方程即可求出点D的坐标： (3)设点M的坐标是(m,-m+4m-3)、点N的坐标是n,-n+4n-3),可得直线MN的解析 式是y=(4-m-nx+mn-3,根据直线GM、GN、抛物线有公共交点，可得点G的坐标 是(22m+2-m-3 从而可得mn=2m+2n-5,即直线MN的解析式是 y=(4-m-nx+2m+2n-8,根据解析式可知直线MN过定点(2,0). 【详解】(1)解：把点A1,0)的坐标代入y=-x2+bx-3, 可得：-1+b-3=0, 解得：b=4, :抛物线的解析式为y=-x2+4x-3; (2)解：当x=0时，y=-x2+4x-3=-3, :点C的坐标是(0，-3)， 0C=3, 如下图所示，延长DA交y轴于F,在OC上取点E,使CE=AE, 设CE=AE=1,则OE=3-1, 在RtAAE0中，OE2+OA2=AE2, .12+(3-t2=2, 第得：1 :0E= 3AE 3 :∠ACE+∠CAE=∠AE0,∠EAO=ECA, :∠AE0=2∠AC0, :∠DAC=3LAC0,DAC=∠AC0+∠AF0=3∠AC0, 答案第1页，共2页 :∠AF0=2∠AC0, ∠AF0=∠AE0, 0F=0E=4 ·点F的坐标是0,3 :点A的坐标是1,0)、点F的坐标是 设直线AF的解析式是y=kx+bk≠0)， 「k+b=0 可得： 4 b= 3 44 :直线AF的解析式是y= 3t+ 3 44 y=- -x+ 联立 33, y=-x2+4x-3 13 解得：=山，=3’ :点D的坐标是 1340 3-9 y (3)解：设点M的坐标是(m,-m+4m-3)、点N的坐标是n,-n+4n-3), 设直线MN的解析式是y=kx+b(k≠O), mk,+b,=-1m+4m-3 可得： nk+b=-nC+4n-3’ [k=4-m-n 解得： b=mn-3’ ·直线MN的解析式是y=4-m-n)x+mn-3, 设直线GM的解析式是y=k2x+b2 答案第1页，共2页 y=kx+b2 联立 y=-x2+4x-3 .x2+k2-4x+b2+3=0, :直线GM与抛物线只有一个交点， :一元二次方程x2+(k-4)x+b+3=0有两个相等的实数根， m+m=4-k2 mm=b2+3’ k2=4-2m 6,=m2-3 ·直线GM的解析式是y=(4-2mx+m2-3, 同理可得直线GN的解析式是y=(4-2nx+n2-3, 解方程4-2m)x+m2-3=(4-2n)x+n2-3, 可得：x=m+n 2 :点G的坐标是 m+n,2m+2n-mn-3) “点G的坐标是(，2)， .2m+2n-mn-3=2, :mn=2m+2n-5, ：直线MN的解析式是y=4-m-n)x+2m+2n-8, 当x=2时，可得：y=(4-m-nx+2m+2n-8=0, :直线MN过定点(2,0). 【点晴】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次 函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求 解， 12.(1)y=-x2+2x+3 a4 答案第1页，共2页 ③)抛物线上存在点P,点P的坐标为P2,)或P3g 211 【分析】(1)将点B(3,0),点D(2,3)代入抛物线y=-x2+bx+c,用待定系数法求解即可； 3 0D,求出0D的解析式y=x,设PE的解析式为y=)+ 多x+6=+2+3,化简，得-+6-3=0，得A-(月 -4b-)-0,解得0-8得直 线E的解东流为子招可有公8》 2 3)求出C(0,3,得0B=0C=3,∠CB0=∠BC0=180P-∠B0C=45,将△40C绕 点0顺时针方向旋转90°，至△A0B,，则AO=A0=1,∠AC0=∠AB0,得A(0,),求出 直线BP的解析式为y=+1,联立二次函数解新式，解方程组可得P子)） (39此时使 ∠CBP+∠ABO=∠CBP+∠ACO=45°，过C作CF∥x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交 于点F,四边形OBFC为正方形，作A关于BC的对称点G,点G在CF上，作直线BG, 得GF=0A=1,CG=2,BF=0C=3,得G(2,3),与点D重合，得点P(2,3)在抛物线上. 【详解】(1)解：：点B(3,0),点D(2,3)在抛物线y=-x2+bx+c上， 「-9+3b+c=0 -4+2b+c=3’ b=2 解得c=3 :该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：作PE∥OD,如图所示： E 设OD的解析式为y=c, 将D2,3)代入，得-， 答案第1页，共2页 3 :0D的解析式为y=2, 3 设PE的解析式为y=二x+b 2 联立直线PE与抛物线解析式有 y=-x2+2x+3 1·八3x+b=一x2+2x+3 化简，得x- 2r+b-3=0, 1 2 4b-3)=0, 解得b=49 6, ·直线PE的解析式为y=多x+49 3tx 16 3.49 联立 y=二x+ 216, y=-x2+2x+3 1 X24 解得55 y=16 P4i8】 211 3)解：存在P2,或P号g 理由： 对y=-x2+2x+3,令x=0,则y=3, C(0,3), B(3,0, .0B=0C=3, :∠CB0=∠BC0=)80°-∠B0C=45 将△A0C绕点0顺时针方向旋转90°，至aA0B,如图2所示： 则A0=AO=1,∠AC0=∠AB0, .A(0,1), 由题意知直线BP过点A,设直线BP的解析式为y=mx+n, 答案第1页，共2页 将B(3,0),A0,1),代入， n=1 得 3m+n=0' 1 m=- 解得： 3， n=1 直线BP的解析式为y=- 3+1, y=-x2+2x+3 联立{ 1 y=-二x+1 3 2 X=- 3 x=3 解得： 11 或 (舍去)， y=0 y=- 9 此时使∠CBP+∠ABO=∠CBP+∠ACO=45°， 图2 如图2所示，过C作CF∥x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交于点F, 则四边形OBFC为正方形， 作A关于BC的对称点G, 由对称性知，点G在CF上， 作直线BG, 则直线BG与抛物线的交点满足条件， :GF=0A=1,CG=CF-FG=3-1=2,BF=0C=3, G(2,3),与点D重合， :点D(2,3)在抛物线上， .P2,3) 答案第1页，共2页 抛物线上存在点P,使∠CBP+L4C0=45,点P的坐标为P心，3)或P-3, 【点晴】本题考查了二次函数综合.熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定 与性质、一元二次方程的应用，正确构造辅助线，是解题的关键. 13.(1)y=- +x+ 2 2 (2)1,2) 30s=2+u>;②1< 4 4 59455成5>9 4 【分析】(1)将己知的点A和点C的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b和c的值，即 可确定抛物线的解析式： (2)延长EC交x轴于F,利用∠ECB=2LCBA推导出LCBA=∠CFB,进而得到OF=OB 确定点F的坐标，再求出直线FC的解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立，解方程组 并舍去不符合条件的解，得到点E的坐标； (3)①求出直线AC的解析式，过点E作x轴的平行线交直线AC于点H,用含t的代数式 表示出点E和点H的坐标，进而得到线段EH的长度，再结合三角形面积公式，推导出S与 t的函数关系式； ②根据正方形的对称中心性质确定顶点坐标，再分情况讨论正方形与抛物线的交点个数，找 到交点个数为3个时的临界状态，确定对应的1的范围，结合t的取值范围和二次函数的性 质，最终转化为S的取值范围. 【详解】(1)解：将点A,点C的坐标分别代入得： 3 0-2 2x(-12-b+c=0 b=1 解得： 2 1 :该抛物线的解析式是y=一 3 x2+x 2 3 (2)解：延长EC交x轴于F. 答案第1页，共2页 令y=0,则-)x2+x+ -=0, 解得x=-1,x2=3, B(3,0, :∠ECB=2∠CBA=∠CBA+∠CFB, .ZCBA=ZCFB, :CF =CB, .OC⊥AB, .0F=0B=3, .F-3,0), 13 :直线FC解析式为y=二x+ 2 2 31 联立抛物线得)x+x2++3 222 解得：x=0(舍)，x3=1, 点E的坐标为1,2)； (3)解：①过E作EH∥y轴交直线AC于H. 答案第1页，共2页 :直线4C的解析式为)=2+2 3 （,12+1+ ,3 3 22 1 4 即s=+子>： ②油题可有，-+引+2+引 2 2 当边PN经过点D(1,2), 正方形与抛物线有3个交点， +22 解得：1=2+√5或t=2-√5， :t>1, t=2+V3, 当1<t<2+√5时，正方形与抛物线有2个交点： B E M 当点N与点C重合时，正方形与抛物线有3个交点， 答案第1页，共2页 珠 P A B +21 1 33 E 22’ 解得：t=0(不合题意，舍去)或t=4, 当t>4时正方形与抛物线有2个交点， 当2+√3<t<4时正方形与抛物线有4个交点 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，1<t<2+√5或t>4. s--w 当1<t<2+√3或t>4,S随t的增大而增大 s945或5. 【点晴】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰 三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质，图形面积的计算方法，正方形的对称性，掌 握相关知识是解决问题的关键， 答案第1页，共2页