精品解析：安徽合肥市第四十二中学2025-2026学年度七年级第二学期期中数学试卷

数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数是无理数的有（ ）个 ，，，，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】解：，，，，是有理数； 是无理数． 2. 某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根与立方根的定义，根据定义逐一判断各式即可得到错误选项． 【详解】解：根据定义，表示的算术平方根，结果为非负数，立方根的符号与被开方数一致． ∵表示的算术平方根，结果应为非负数，∴，A不正确； ∵，∴，B正确； ∵，∴，C正确； ∵，，∴，D正确； 故选不正确的选项为A． 4. 若，则下列不等式一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，不等式基本性质为：不等式两边加(或减)同一个整式，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵根据不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变 ∴，A错误． ∵，两边同时乘，不等号方向改变 ∴，B错误． ∵，两边同时乘正数，不等号方向不变 ∴，C正确． ∵，两边同时除以正数，不等号方向不变 ∴，D错误． 5. 若，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将已知转化为，，再根据同底数幂的乘法求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示其解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 7. 已知，那么与的关系是（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将，变化为指数相同的形式，再根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴． 8. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 9. 已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两个已知等式相等，推导a与b的关系，再代入原式求出c的值，最后代入计算判别式，判断各选项的正误． 【详解】∵ ， ∴ 整理得 ， 因式分解得 ∵ 互不相等， ∴ ， ∴，故选项A正确，故本选项不符合题意； 由得 ，代入得： ，即 ，得 ， ∴ ，故选项B正确，故本选项不符合题意； 将，代入得： ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项C正确，故本选项不符合题意； ∵ 恒大于0，不可能等于0， ∴ 的结论不正确，故选项D错误，故本选项符合题意； 10. 关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（ ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先解出方程组中，关于的表达式，再逐一验证四个结论，统计正确结论的个数即可． 【详解】解:原方程组，两式相加得， ，代入得， ① 当时，，，方程组的解为，故①正确． ② 若，则， ，得，故②正确． ③ 若，，则： ，，得； ，，得； 的取值范围是，可以取到，故的最小值为，③正确． ④ ，由得，代入得： ，若，随增大而增大， 当时，的最大值为，不是，故④错误． 综上，正确的结论共3个，答案选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知多项式4x2－x＋1，它与某个单项式的和可以写成一个多项式的完全平方，则这个单项式是________． 【答案】或−3x或5x或． 【解析】 【分析】根据完全平方公式分这个单项式可能是一次项，二次项或常数项三种情况分类讨论求值即可． 【详解】解：①若此单项式为一次项， 则4x2-x+1+ax=（2x±1）2， 解得a=-3或5， ∴此时这个单项式为-3x或5x； ②若此单项式为二次项， 则4x2-x+1+ax2=， 解得， ∴此时这个单项式为； ③若此单项式为常数项， 则4x2-x+1+a=， 解得， ∴此时这个单项式为； 故答案为：或−3x或5x或． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握全完平方公式是解题的关键． 13. 中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】通过估算无理数的近似值，得到黄金分割比的取值范围，再与比较大小即可． 【详解】解： ， ． ∴． ∴． 又 ，且 ， ． 14. 对于三个实数a、b、c，定义为a、b、c中最大的数，例如：，，请回答以下问题： （1）____； （2）若，则a的取值范围是____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）将前两个多项式化为完全平方式与一个常数的和后与1比较大小，再将前两个多项式利用作差法比较大小即可； （2）分情况讨论得到或9，列不等式求解即可 【详解】解：（1）∵， ， ， ∴； （2）由题意知， 当，即或时，， ，解得； 当，即时，， ， 整理得，即，无解； 综上，a的取值范围是； 三、（本大题共2题，每题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 四、（本大题共2题，每题8分，满分16分） 17. 若的算术平方根是2，是27的立方根，c是的整数部分， （1）求a、b、c的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）算术平方根、立方根、平方根的定义求出a、b、c的值即可； （2）将a，b，c的值代入，求出代数式的值即可． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是2， ∴ 解得：； ∵是27的立方根， ∴ 解得：； ∵，c是的整数部分 ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ 18. 阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． （1）请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； （2）若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 【答案】（1）集外点 （2） 【解析】 【分析】本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法． 【小问1详解】 解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不在的解集内， 方程的解是集外点． 【小问2详解】 解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 两边同乘2得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 方程的解是“集内点”， 满足，即， 的取值范围是． 19. 已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： （1）p是_____（填“奇数”或“偶数”）； （2）p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）奇数 （2） p是完全平方数，理由如下： ∵， ∴， ， 即是完全平方数． 【解析】 【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出p的奇偶； （2）将代入中得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【小问1详解】 解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数； 【小问2详解】 略 20. 观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）根据规律写出第n个等式：______； （2）根据规律计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等式规律直接得到答案； （2）先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：根据规律写出第n个等式： 【小问2详解】 解：根据已知等式可得规律：， 设， 变形可得， 根据已知规律使，得：， 整理得， 等式两边同时除以，得：． 六、（本题满分12分） 21. 项目式学习：同学们，我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． [任务一：阅读学习]例如：求的近似值． 因为所以 则可以设成以下两种形式： ①，其中 ②，其中 小明以②的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，将忽略不计，所以 所以得，所以 所以 [任务二：探究学习] （1）请用①的形式求的近似值（结果保留2位小数）； （2）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目示例计算即可； （2）根据题目示例计算即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以 则可以设成以下两种形式： ，其中． 所以，即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即． 所以． 所以． 【小问2详解】 因为所以 设，其中． 因为， 所以， 即 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 所以． 所以． 七、（本题满分12分） 22. 黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． （1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ （2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 【答案】（1）生产的一级毛峰至多为10千克． （2）至少售出一级毛峰50千克． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，先设出一级毛峰的质量为未知数，再根据题干给出的不等关系列出一元一次不等式，求解不等式后结合题意得到最终结果． 【小问1详解】 解：设生产一级毛峰千克，则生产二级毛峰千克． 根据题意可得不等式： 展开整理得： 解得： 答：生产的一级毛峰至多为10千克． 【小问2详解】 解：设售出一级毛峰千克，则售出二级毛峰千克． 调整价格后，一级毛峰单价为（元/千克） 调整价格后，二级毛峰单价为（元/千克） 根据总售价不低于56000元，可得： 展开整理得： 解得： 答：至少售出一级毛峰50千克． 八、（本题满分14分） 23. 利用正方形的知识完成下列问题： （1）如图1，在一个大正方形的内部分别放置两个大小不同的小正方形、，边长分别为、，放置的两个小正方形重叠部分（即阴影部分）是正方形且面积为，正方形剩下的两处空白部分的面积分别为，，则_____（填“”、“”或“”）； （2）在（1）的条件下，将图1大正方形内部这两个小正方形按图所示的方式分别放置成小正方形、，求图中阴影部分的面积（用含、的式子表示），并求当，时阴影部分的面积； （3）如图3，在一个大正方形的内部放置三个边长分别为、、的小正方形、、，若图中个阴影部分的面积分别为、、，且，直接写出大正方形的边长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别表示出，即可求解； （2）由图1可得，大正方形的边长为，进而求得阴影部分的面积，结合，，根据完全平方公式变形，得出，进而求得，代入阴影部分的面积，即可求解； （3）依题意，，，， 设大正方形的边长为，分别表示出、、，根据，求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，放置的两个小正方形重叠部分（即阴影部分）是正方形且面积为， ∴小正方形的边长为 ， ∴； 【小问2详解】 解：由图1可得，大正方形的边长为， 如图2， ，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：依题意，，，， 设大正方形的边长为，则 ， ∵， ∴ ∴ 解得：即大正方形的边长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数是无理数的有（ ）个 ，，，，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式一定成立的是（） A. B. C. D. 5. 若，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，那么与的关系是（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定 8. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 9. 已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（ ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式_______． 12. 已知多项式4x2－x＋1，它与某个单项式的和可以写成一个多项式的完全平方，则这个单项式是________． 13. 中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 14. 对于三个实数a、b、c，定义为a、b、c中最大的数，例如：，，请回答以下问题： （1）____； （2）若，则a的取值范围是____． 三、（本大题共2题，每题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解不等式：． 四、（本大题共2题，每题8分，满分16分） 17. 若的算术平方根是2，是27的立方根，c是的整数部分， （1）求a、b、c的值； （2）求的值． 18. 阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． （1）请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； （2）若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 19. 已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： （1）p是_____（填“奇数”或“偶数”）； （2）p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 20. 观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）根据规律写出第n个等式：______； （2）根据规律计算：． 六、（本题满分12分） 21. 项目式学习：同学们，我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． [任务一：阅读学习]例如：求的近似值． 因为所以 则可以设成以下两种形式： ①，其中 ②，其中 小明以②的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，将忽略不计，所以 所以得，所以 所以 [任务二：探究学习] （1）请用①的形式求的近似值（结果保留2位小数）； （2）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 七、（本题满分12分） 22. 黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． （1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ （2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 八、（本题满分14分） 23. 利用正方形的知识完成下列问题： （1）如图1，在一个大正方形的内部分别放置两个大小不同的小正方形、，边长分别为、，放置的两个小正方形重叠部分（即阴影部分）是正方形且面积为，正方形剩下的两处空白部分的面积分别为，，则_____（填“”、“”或“”）； （2）在（1）的条件下，将图1大正方形内部这两个小正方形按图所示的方式分别放置成小正方形、，求图中阴影部分的面积（用含、的式子表示），并求当，时阴影部分的面积； （3）如图3，在一个大正方形的内部放置三个边长分别为、、的小正方形、、，若图中个阴影部分的面积分别为、、，且，直接写出大正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $