精品解析：福建南平市武夷山二中2025-2026学年高一下学期期中数学试题

武夷山市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷 选择题 出卷：范欣 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式，可直接计算即可. 【详解】 . 2. 一个球的表面积是，则它的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据球的表面积可得球的半径，再由体积公式即可得解. 【详解】一个球的表面积是，设球的半径为，球的表面积公式为， 代入可得，解得， 所以球的体积为， 故选：D. 【点睛】本题考查了球的表面积和体积公式的简单应用，属于基础题. 3. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，求解面积即可. 【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB， 其面积为. 故选：D. 4. 已知在中，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理可得，故. 故选：B 5. 已知向量，则 A. B. 2 C. 5 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算，再根据模的概念求出． 【详解】由已知，， 所以， 故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 6. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都相交 D. 内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，直线与平面相交，内的直线与直线相交或异面，故B正确，ACD错误. 7. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 8. 的三边为满足，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数性质由条件证明，由条件结合指数函数性质可得，根据余弦定理和大边对大角即可判断三角形形状. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 所以 所以, 由 ， 故为锐角三角形， 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系可判断A；先用余弦定理求出AB，代入三角形的面积公式可判断B；将表示为，再根据数量积的定义进行计算即可判断C，根据进行计算判断D. 【详解】因为，且，所以，A正确； 在中由余弦定理可得：，则，B正确； ，C错误； ，D正确. 11. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断. 【详解】对于A项：由题意可得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第二象限，故A项正确； 对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误； 对于C项：由题意可得：， 则，故C项正确； 对于D项：由题意可得：， 则的共轭复数为，故D项正确； 故选：ACD. 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为_________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，圆锥的高为，则圆锥的体积为. 13. 已知向量，，，，若，则的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据，得，结合“1”的巧用即可求解. 【详解】由，得，即， 因此， 故当且仅当“”时，取最小值2. 故答案为：2. 14. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________． 【答案】150 【解析】 【详解】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中， ． 故答案为150． 考点：正弦定理的应用． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）； （2） 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】（1）直接进行数量积的坐标运算即可；（2）求出的坐标，利用坐标求向量的模. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，所以. 16. 在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且， （1）求角A. （2）求△的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题设条件，结合余弦定理可得，即可求角A； （2）应用三角形面积公式直接求△的面积即可. 【详解】（1）由，得， ∴，，可得. （2）. 17. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【小问1详解】 由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； 【小问2详解】 若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 18. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ， 又因为，所以； （Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得； （Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ， 进而， 所以. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 19. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是． 【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法； 方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围； 方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武夷山市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷 选择题 出卷：范欣 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 2. 一个球的表面积是，则它的体积是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 4. 已知在中，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知向量，则 A. B. 2 C. 5 D. 50 6. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都相交 D. 内存在唯一一条直线与平行 7. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 8. 的三边为满足，则是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 11. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为_________ 13. 已知向量，，，，若，则的最小值为___________. 14. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）； （2） 16. 在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且， （1）求角A. （2）求△的面积. 17. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 18. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 19. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $