6.2.1排列 第一课时课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教版高中数学选择性必修第三册 6.2.1排列 在我们的生活中，处处都有“顺序”的身影 手机的解锁密码组合、体育比赛的出场顺序 这些“顺序”背后，都蕴含着同一个数学思想 —— 排列 这节课，让我们一起揭开它的神秘面纱，学会科学计算可能性！ 温州科技高级中学 [张明] 1.7.2013 同学们好，今天我们来学习高中数学选择性必修第三册中的一个重要内容——排列。在我们的生活中，从选班委到安排座位，从密码组合到体育比赛的出场顺序，都蕴含着排列的思想。这节课，我们将一起揭开排列的神秘面纱，学会如何科学地计算这些可能性。 ‹#› 分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案。 在第1类方案中有m₁种不同的方法，在第2类方案中有m₂种不同的方法， …… 在第n类方案中有种不同的方法， 那么完成这件事共有N = m₁ + m₂ + ... + 种不同的方法。 💡 核心特征：分类 · 独立 · 相加 | 关键词：“或” 1.7.2013 我们先来看第一个问题的第一小问：“只想吃一份主食或喝一杯饮品”。这里的关键词是“或”，它代表了一种分类关系。我们把这种计数方法总结为分类加法计数原理。它的核心是，完成一件事有不同的类别，每一类都能独立完成这件事，最终的方法总数就是各类方法数的总和。 ‹#› 分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。 做第1步有m₁种不同的方法， 做第2步有m₂种不同的方法， ... ... 做 第 n 步 有 mₙ 种不同的方法， 那么完成这件事共有N = m₁ × m₂ × ... × mₙ种不同的方法。 核心特征：分步、关联、相乘 | 关键词是 “且” 1.7.2013 接下来看第一问题的第二小问：“选择一份主食并且搭配一杯饮品”。这里的关键词是“且”，它代表了一种分步关系。这就是分步乘法计数原理。它的核心是，完成一件事需要分几个步骤，每个步骤都不能独立完成整件事，必须依次完成所有步骤，最终的方法总数就是各步骤方法数的乘积。 ‹#› 两个计数原理的比较 原理名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是用来计算“完成一件事”的方法种数 不同点 各类方法相互独立，关键词“或” 各步骤相互关联，关键词“且” 每类方法都能独立完成整件事，方法数相加 每步只能完成事件一部分，需都做完才完成，方法数相乘 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 解题思路：第一步：明确“做什么事”；第二步：分析“怎么做”（分类还是分步） 1.7.2013 现在我们来对比一下这两个原理。分类加法计数原理处理的是“或”的关系，方法是相加；而分步乘法计数原理处理的是“且”的关系，方法是相乘。一个强调独立完成，一个强调步骤关联。理解它们的区别，是解决所有计数问题的基础。 ‹#› 解答计数问题的一般思维过程 STEP 1: “做什么事” STEP 2: “怎么做：分类？还是分步？” 分类完成 各类方法相互独立 任选一类即可完成 分步完成 各步过程环环相扣 全部完成才算结束 选择加法原理 各类方法数相加 选择乘法原理 各步方法数相乘 1.7.2013 那么，面对一个计数问题，我们应该如何思考呢？这里有一个通用的思维流程。第一步，明确我们要“做什么事”。第二步，思考“怎么做”，判断是分类还是分步。第三步，根据判断选择合适的计数原理进行计算。这个思路将贯穿我们整个计数问题的学习。 ‹#› 课堂总结 同学们，怎么做千奇百态；做什么简单明白。我们要慢慢积累如何做的经验，在以后的学习中灵活运用，把考题解出。 其实一个人的人生意义也是知道自己做什么事，然后通过怎么做来实现人生理想。但一个人要知道自己这一生该做什么，却是很不简单的。有人说：“教育的本质，是找到一个人内心想成为的样子，然后帮助他成长为那个样子。” 所以不管是当官还是当校长还是普通老师，只要他是幸福的完整的人，那他就知道自己这一生该做什么事，也在努力的寻找此事该如何做，且也努力的完成此事。 比如我就觉得教书很有意思。我的人生使命就是认真教书再写写书，然后开创一个教学流派。 描述分类计数原理和分步计数原理的诗： 两大原理妙无穷， 解题应用各不同； 多思慎密最重要， 茫茫数理此中求。 总结：解决计数问题第一步做什么事很好知道，就是第二步这件事怎么做很难知道。为了知道这件事怎么做，你可以先列出一种结果分析出这件事怎么做。 引入 我们知道第一步做什么事很容易知道，第二步怎么做很难知道。于是数学家研究事情该怎么做，发现许多事情有相同的做法,也就是这许多事情有个共同的模型。我们只需研究出这个共同的模型，当分析出怎么做时只需把这个模型套用一下就行。 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 2、如何完成： 1、“要完成的一件事”： “选出2名参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动” 第1步：确定参加上午活动的同学，从3人中任选1名，有3种选法. 第2步：确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法. N=3✖2=6种. “分步” 分析： 上午 下午 相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 新课引入 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 追问1：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为： 从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同的排列是：ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的计数方法为N=3✖2=6种. 追问2：问题1中的顺序是什么？ 参加上午的活动在前，参加下午的活动在后。 新课引入 问题再探：数字排列 问题：从1, 2, 3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 2、如何完成： 1、“要完成的一件事”： 第1步：确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数字中任选1个，共有4种不同的方法； 第2步：确定十位上的数字，百位数字选定后，只能从剩下的3个数字中选，共有3种不同的方法； 第3步：确定个位上的数字，百位和十位数字选定后，只能从剩下的2个数字中选，共有2种不同的方法。 N = 4 × 3 × 2 = 24（个） 组成一个三位数 分析： 分步完成 新课引入 百位： 十位： 个位： 1.7.2013 我们再来看一个数字问题。用1,2,3,4组成没有重复数字的三位数。这同样是一个分步问题。第一步确定百位，有4种选择；第二步确定十位，剩下3种选择；第三步确定个位，剩下2种选择。所以总共有4×3×2=24个不同的三位数。这个问题中，百位、十位、个位的位置就是一种顺序。 ‹#› 问题1：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列. 问题2：从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，然后按照一定的顺序排成一列. 基本概念：排列 通过上面的例子，我们可以抽象出排列的数学定义： 一般地，从n个不同元素中取出m (m ≤ n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement)。 说明要点： 1. 元素唯一性：取出的元素不能重复，个元素不同，取出的个元素也互不相同。 2. 核心判断依据：“按一定顺序”是判断是否为排列问题的关键。这里的“顺序”通常与具体的“位置”紧密相关。 3. 排列的分类：当取出的元素个数 时，称为“选排列”；当取出全部元素 时，称为“全排列”。 1.7.2013 通过前面的例子，我们可以抽象出一个核心概念——排列。大家看定义，它包含三个关键点：第一，元素是不同的；第二，要取出一部分元素；第三，也是最关键的，要按照一定的顺序排成一列。判断一个问题是不是排列问题，就看它是否涉及到“顺序”。 ‹#› 相同排列： 当且仅当两个排列的元素相同，顺序也相同时，两个排列相同。 不相同排列： 当两个排列的元素不相同或顺序不相同时，两个排列不相同。 1、123与132、 2、123与124 位置不同 元素不同 学习新知 例题讲评 例题1：判断下列问题是否为排列问题？ (1) 10名学生中抽2名学生开会。 否 (2) 10名学生中选2名做正、副组长。 是 (3) 从2,3,5,7,11中任取两个数相乘。 否 (4) 从2,3,5,7,11中任取两个数相除。 是 (5) 20位同学互通一次电话。 否 (6) 有10个车站，共需要多少种车票？ 是 (7) 有10个车站，共需要多少种不同的票价？ 否 1.7.2013 理论学完了，我们来练一练。这里有几个问题，请大家判断一下，哪些是排列问题，哪些不是？思考的关键在于，这些问题中，选取的元素是否有顺序之分。比如选正副组长，正和副是有顺序的，所以是排列问题；而两人互通电话，甲打给乙和乙打给甲是一回事，没有顺序，所以不是排列问题。 ‹#› 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来． 解：先安排左1有4种坐法，安排左2有3种坐法，安排左3有2种坐法，安排左4有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种)． 画出树形图． 若在条件中再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？ 例题讲评 若在条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？ 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来． 解析：如图所示的树形图． 由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种． 例题讲评 课堂小结 01.两个基本计数原理 ● 分类加法计数原理： 解决“或”的问题，将各类方法数直接相加。 ● 分步乘法计数原理： 解决“且”的问题，将各步方法数连续相乘。 02.排列的核心定义 从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列。判断关键：看选出的元素是否有顺序要求。 1.7.2013 好了，这节课的内容就到这里。我们一起来回顾一下今天学习的重点。首先是两个基本计数原理，分类加法和分步乘法，它们是所有计数问题的基础。然后我们学习了排列的定义，核心是“有序”。最后，我们掌握了排列数的计算公式。希望大家课后能多加练习，熟练掌握这些方法。 ‹#› 课堂总结 同学们，数学的魅力不仅在于严谨的逻辑，更在于它能帮助我们理解世界的运行规律。今天我们学习的排列，就是从纷繁复杂的选择中，寻找规律、计算可能性的工具。 “做什么”是目标，“怎么做”是方法。希望大家在学习和生活中，都能清晰地知道自己的目标，并找到最高效的方法去实现它。就像解决排列问题一样，一步步，有条不紊，最终得到完美的答案。 下课！ 1.7.2013 最后，我想说，数学不仅仅是公式和计算，它更是一种思维方式。今天我们学习的“做什么”和“怎么做”的思想，不仅适用于解数学题，更适用于我们规划人生。希望大家能将今天学到的思维方法运用到未来的学习和生活中，祝大家学习进步！下课！ ‹#› $