福建泉州现代中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

2025-2026学年下学期泉州现代中学高二年段3月月考 数学试题 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知函数f(x)=x3+22+a2x在x=1处取得极小值，则a的值为（） A.-1或-3 B.-1 c.或1 D.-3 2.已知函数f(x)的导函数是f(x,若∫(x)=了(n)x2-cosx,则f)=() A-号 c √2 B.0 D.2 3.已知直线1的方向向量为V=(3,-1,),平面a的法向量为n1=m,2,-),平面β的法向量为 n2=(4,n,2),若1∥a且a⊥B,则m-n=() A.0 B.1 C.2 D.-13 4.已知数列{a}的前n项和为Sm,若S+1=3Sn(2EN*),32=9,则a2o=（) A.2319 B.319 C.320 D.2318 5.函数fX)=X的图象上的点到直线x叶2=0的距离的最小值为() A B.1 C.√2 D.2.√2 2 6.遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋.若 要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有() A.150种 B.180种 C.240种 D.300种 7.已知f(x)是定义在(-5,0)U（0,5)的偶函数，当x>0时，xf（x)-2f(x)<0,且f(2) =0,则(x-1)f(x)>0的解集为(） A.（-5,-2)U(1,2) B.(-2,-1)U(2,5) C.(-5,-2)U(2,5) D.(-2,0)U(0,2) 1 8.已知a>1,b>1,且ea-a=b-1mb=4,则下列说法错误的是() A.alnb+blna>1 B.atb>e+l 1,1.3 > D.ab>2e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等差数列{a}的前n项和存在最大值，且a3+3a5<0,4a5<0,则() A.首项>0 B.a14+a15>0 C.当n=14时，S取得最大值 D.S取得最小正值时n为27 10.如图甲，边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△ADE,△CDF,△BEF分 别沿DE,DF,EF折起，使A,B,C三点重合于点P(如图乙)，则下列结论正确的是() A.PD⊥EF B.平面PDF⊥平面PDE C平面P?与平面D夹角的余弦值为。 D,三棱锥P.BD的外接球半径是 2 11.已知函数fx)-nX,则下列结论正确的是( A函数()在0，名止单调递增，在( ，+∞)上单调递减 B.f(3.2)>f(2) C.若不等式a>f在(0，+0）上恒成立，则实数a的取值范围是（ X 2e,+) D.当。≤X≤e2时，若方程f(x)=bx(bER)有且只有-个根，则-e2≤b<2或b=2 e4 2e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等差数列{a}的首项为a=-1,前10项形成一组数据的中位数为8，则4= 13.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A,B,C,D四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种 花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种 草坪 B 14.函数f)=xnx-ax)-有两个零点，则实数a的取值范围为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),动点P关于O的对称点为9，且直线AP,AQ的斜率之 积是一子记？的抗迹为圃线区 (1)求E的方程； (2)若P关于x轴的对称点为M,求△PQM的面积的最大值. 16.已知数列{a}的前n项和为S,且S=2a+4n-10. (1)证明：数列{a-4}是等比数列.求{a}的通项公式 3an,n是偶数， (2)已知bn= n(an- 求数列{bn}的前2n项和B2n. 2n 一，n是奇数 17.已知函数fx)=号-alnx-a-x-号 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，∫(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围， 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAC⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥PC; (2设PA=PC,AB=2,∠ABC=号，M,N在线段PA和PC上，且M为PA中点，PC=3NC, 若直线P阳与平面4BCD所成角的大小为号 (i)求平面MND与平面ABCD所成角的余弦值； (ii)平面MND交直线PB于点Q,设PQ=PB,求λ的值. D M A -----.N ..D B C 19.已知函数f(x)=lm-ax,g(x)=ar2+(a-1)x-1(aER, (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围； (3)若aEZ,且不等式f(x)≤g（x)在(0，+∞)上恒成立，求a的最小值. 泉州现代中学2025-2026学年度下学期高二数学月考 参考答案与试题解析 一。 选择题（共8小题) 题号 1 2 3 4 6 8 答案 A D 二。多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ACD ABD BCD 一。选驿题（共8小题）》 1.已知函数f(x)=x3+22+a2x在x=1处取得极小值，则a的值为() A.-1或-3 B.-1 c我1 D.-3 【分析】对函数求导，根据极小值点有f（1)=0求参数，再将参数值代入验证是否满足题设即可得 【解答】解：根据导函数f(x)=3x2+4x+a2,又因为f(x）=x3+2m2+a2x在x=1处取得极小值， 那么f(1)=3+4aa2=0,解得a=-1或a=-3, 当a=-1时，导函数f(x)=3x2.4x+1=(3x-1)(x-1,令导函数f(x)=0,那么x=或x =1, 当x∈白，1)时，导函数f(x)<0,函数f(x)在x∈白，)上单调递减， 当xE(1,+0)时，导函数f(x)>0,函数f(x)在xE(1,+∞)上单调递增， 那么在x=1处取得极小值，故a=-1符合； 当a=-3时，导函数f(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),令f(x)=0,则x=3或x=1, 当xE(1,3)时，f(x)<0,f(x)在xE(1,3)上单调递减， 当xE(-∞，1)时，f(x)>0,f(x)在xe（-∞，1)上单调递增， 则在x=1处取得极大值，故a=-3不符合，所以a=-1. 故选：B 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题 5 2.已知函数∫(x)的导函数是∫(x,若f(x)=f(n)x2cosx,则f()=（) A-号 B.0 D号 【分析】根据基本初等函数的求导公式可求出f(x),然后即可求出f(π)的值，从而得出f(x) 的解析式，然后求出答案即可 【解答】解：f(x)=2xf(n)+sinx, ∴f（n)=2f(n), f(n)=0, ∴f(x)=-cosx, f)=-号 故选：A, 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题 3.已知直线1的方向向量为V=(3,-1,),平面a的法向量为n1=m,2,-),平面β的法向量为 n2=(4,n,2),若l∥a且a⊥B,则m-n=() A.0 B.1 C.2 D.-13 【分析】根据直线与平面平行、平面与平面垂直的性质，得到向量之间的关系，进而列出方程求解和 n,最后求差即可. 【解答】解：因为直线1的方向向量V=(3,-1,), 平面a的法向量n1=m,2,-1),平面B的法向量n2=(4,n,2),1∥a, 所以v.n1=3m+(-1)×2+1×(-1)=0, 所以m=1, 又a⊥B,所以n·n2=1×4+2m+(-)×2=0, 所以n=-1, 所以m-n=1-(-1）=2. 故选：C 【点评】本题主要考查了直线与平面平行，平面与平面垂直的向量表示，属于基础题. 4.已知数列{a}的前n项和为Sn,若Sa+1=3Sm（nEN),3=9,则a2o=（) A.2319 B.319 C.320 D.2318 6 【分析】由题意推得数列{S}是公比为3的等比数列，由等比数列的通项公式和数列的通项与前项和 的关系，可得所求值， 【解答】解：若S+1=3S(nEN),可得数列{Sn}是公比为3的等比数列， 由2=9，可得S=S23m2=93”2=3”, 则20=20-S19=320-319=2319 故选：A, 【点评】本题考查等比数列的定义与通项公式，以及数列的通项与前项和的关系，考查转化思想和运 算能力，属于中档题 5.函数fX)=X的图象上的点到直线x-叶2=0的距离的最小值为(） ex 2 A.2 B.1 C.√2 D.2.√2 【分析】求出与直线x~叶2=0平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【解答】解：由题意函数fx)=。 对函数求导可得f')=。令1()=1，即公=1=e*+X-1=0, ex 令g(x)=e+x-1,g(x)=e+1>0,xeR恒成立， 故函数g(x)在R上单调递增，且g(-1)g（1)=1-2e<0,故函数仅有一个零点， 令x=0,g（0)=e+0-1=0,即切点横坐标为0， 代人fx)==0,切点坐标为(0,0，切线方程为：xy=0, 切线与直线之间的距离d=2-0叫 +产苏2 故选：C 【点评】本题考查了利用导数研究函数得单调性，函数的切线，是中档题， 6.遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋.若 要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有() A.150种 B.180种 C.240种 D.300种 【分析】先计算出将5本不同的宣传册分成3组的情况，再计算分配方式即可求出. 【解答】解：已知将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋.且要求每个志愿 者小屋至少得到1本， 第一步：分组，将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况： ①3-1-1型：分组数为 CC}=10(种片 A ②2-2-1型：分组数为 3C3C1-15(种)， A 合计：10+15=25（种）力 第二步：分配，将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有A号=6（种， 根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有25×6=150（种） 故选：A 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题 7.已知f(x)是定义在(-5,0)U(0,5)的偶函数，当x>0时，f(x)-2f(x)<0,且f(2) =0,则(x-1)f(x)>0的解集为( ) A.(-5,-2)U(1,2) B.(-2,-1)U(2,5) C.(-5,-2)U(2,5) D.(-2,0)U(0,2) 【分析】设gx)=f, 根据已知条件判断g(x)的奇偶性与单调性，(x-1)f(x)>0等价于(x -1)g（x)>0,进而可得关于x的不等式组，求解即可. 【解答】解：设gX)=凶，因为f(x)是定义在(-5,0)U(0,5)的偶函数， x2 所以g(x)是定义在(-5,0)U（0,5)的偶函数， 且g'x)=Xf'-2f&) X3 因为当x>0时，f(x)-2f(x)<0,可得g(x）<0, 所以g(x)在(0,5)为单调递减函数， 所以g(x)在(-5,0)为单调递增函数， 又f(2)=0,所以g(2)=0,则g(-2)=g(2)=0, 所以当-5<x<-2或2<x<5时，g(x)<0,当-2<x<0或0<x<2时，g(x)>0, (x-1)f(x)>0等价于(x-1)g(x)>0, 所以 6gs x-1<0 或 -5<x<-2或2<x<5 解得1<x<2或-5<x<-2, 即(x-1)f(x)>0的解集为(-5，-2)U(1,2), 故选：A 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查 8 运算求解能力，属于中档题， 8.已知a>1,b>1,且e2-a=b-nb=4,则下列说法错误的是() A.alnb+bina>1 B.a+b>e+l 713 D.ab>2e2 【分析】由题设ea-mea-4=b-lnb-4=0且ea>e,b>1,则ea-a4,lnb=b-4,构造f(x)=x -l1x-4且x∈（1，+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，从而可得ea=b,a=1b,根据零点存在性 定理可得ea=bE（5,6),故ae(1m5,l6),再逐项判断即可得解 【解答】解：由题设e2-lea-4=b-lnb-4=0且e>e,b>1,则ea=a+4,lnb=b-4, 构造f(x)=x-x-4且xE(1,+0),则f'x)=7->0, 所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，则e2=b→a=b, 而/(5)=5-h5-4=h号<0<f(6)=6:h6:4=m e 所以f(x)=0有唯一的正根，位于区间(5,6)，则e2=bE(5,6),故aE(5,6), 对于alnb+bhna=a2+ena=a2+ala+4lna, 令y=x2+(x+4)hm且xe(m5,h6),所以y'=2x+lnx+7+4>0. 故y=x2+（x+4)lx在(ln5,n6)上单调递增， 所以y>（1m5)2+(5+4)1m(15)>12+5m1=1,A对； 对于tb=ae2=2t4>2ln5+4>2×1+4=6>e+1,B对； a b afea-atat4=at2 对于二+ 而3<2+ln5<a+2<2+ln6<4, a+2 且y=x-4在(3,4)上单调递增，则y<41=3,即a+2-4 <3, a+2 5,1,12、2而2-三=e>0,则后+6>c a+ba+24>3'32e6e ,C对； a+2 对于ab=aa=a(at4)=（at2)2-4在（1n5,1n6)上单调递增， 所以ab=6(4+ln6)<2×(4+2)=12<2e2,D错. 故选：D 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题， 二。多选题（共3小题) (多选)9.已知等差数列{a}的前n项和S存在最大值，且3+35<0,45<0，则() 9 A.首项山>0 B.44+45>0 C.当n=14时，S.取得最大值 D.S取得最小正值时n为27 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A,B,再结合S所在二次函数的图象和性质， 即可求解判断C,D. 【解答】解：等差数列{a}的前n项和Sn存在最大值，且3+35<0，a14s<0, 由S存在最大值，可得数列{a}的公差d<0, 则数列{a}是首项>0，d<0的等差数列，故A正确； 3+315=3+M5+2a15=24+25<0,则4+a15<0,故B错误； 由45<0，且aM4>0,15<0,当n=14时，S取得最大值，故C正确； S27=27,t22=27a4>0,S29=28a2型=28@1ga过<0， 2 2 2 可得：0<1<2<S<…<S4,S14>S5>516>…>S27>0>S28>…, S7-S=a2+a++26+27=13(a44+45)<0,S27<S, 所以S取得最小正值时n为27，故D正确， 故选：ACD 【点评】本题考查等差数列的前项和，考查运算求解能力，是中档题 (多选)10.如图甲，边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△ADE,△CDF, △BEF分别沿DE,DF,EF折起，使A,B,C三点重合于点P(如图乙)，则下列结论正确的是() B 乙 A.PD⊥EF B.平面PDF⊥平面PDE C,平面PBF与平面ED夹角的余弦值为 3 6 D.三棱锥P.BFD的外接球半径是2 10 【分析】根据折叠前后的性质，由线线垂直推出PD⊥平面PEF,进而得PDLEF,可判断选项A;由 面面垂直判定定理可判断选项B;以P为原点建系，利用向量法求面面角可判断选项C;利用补形法求 外接球半径即可判断选项D. 【解答】解：折叠前：AD⊥AE,CD⊥CF,BE⊥BF, 折叠后：A,B,C三点重合于点P, 所以PD⊥PE,PD⊥PF,PE⊥PF, 又E,F分别是AB,BC的中点，边长为2，所以PE=PF=1,PD=2, 选项A:因为PD⊥PE,PD⊥PF,PE∩PF=P,PE,PFc平面PEF, 所以PD⊥平面PEF, 又EFc平面PEF, 所以PD⊥EF,故选项A正确； 选项B:因为PE⊥PD,PE⊥PF,PD∩PF=P,PD,PFc平面PDF, 所以PE⊥平面PDF, 又PEC平面PDE,所以平面PDE⊥平面PDF,故选项B正确； 选项C:以P为原点，PE,PF,PD所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， E F 则E(1,0,0),F(0,1,0),D(0,0,2), 所以EF=(-1,1,0),ED=(-1,0,2), → 设平面EFD的法向量为n=X,y,z),则 n.EF=0_(-xty=0 n.ED=0 -x+2z=0 令z=1,得n=(2,2,), 易知平面PEF的一个法向量为m=(0,0,), →→ →→ 所以cos<n,m>==7=专 /n/m/ 11 所以平面PBF与平面EFD夹角的余弦值为了故选项C错误； 选项D:因为PD⊥PE,PD⊥PF,PE⊥PF, 所以三棱锥的外接球等价于以PE,PF,PD为相邻棱构成的长方体的外接球， 而长方体的体对角线长d=VPEP+PFP+PDP=√72+2+22=√6， 所以外接球半径R=号-放选项D正确 故选：ABD. 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，利用向量法求面面角， 以及补形法求外接球半径是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题， (多选)11.已知函数fX)=nx,则下列结论正确的是(） A函数()在0，忌止单调递增，在。，+∞止单润递减 B.f(3.2)>f(2) C.若不等式a>f在(0，十m)上恒成立，则实数a的取值范围是名，+) X D.当≤X≤e时，若方程f(x)=bm(R)有且只有-个根，则-e2≤b<2戎b=’ e 2e 【分析】先求函数fx)=x的导数，根据导数的正负判断函数的单调性，可判断选项A;根据函数 的单调性，结合f(4)=f(2),可判断选项B;将恒成立问题，转化为求函数的最值，可判断选项C; 可构造函数，通过求函数的极值和端点值确定b的取值范围，进而判断选项D 【解答】解：对于4，由f0)=,得/(x)= 世0得 x2 当xE(0,e),f(x)>0,f(x)单调递增；当xE(e,+o),f(x)<0,f(x)单调递减，故A 错误； 对于B,f4-n--f2,因为4>32>e, 而函数fx)=1nx在区间(，+∞)上单调递减，所以f(4)<f(3.2), X 即f(2)<f(3.2),故B正确： 对于C,不等式af在(0，+)上恒成立，即a~在(0.+)上恒成立 X xx2-2x×lnx 令gx)-e(0,+,则g'x)= 1-21nx 3 12 令g(x)=0,得x=Ve, 所以当0<X<√e时，g(x)>0,g(x)单调递增， 当x>Ve时，g(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)在x=Ve处取得最大值，最大值为g6We)=nE=之 Ne)2 2e 20故C正确； 所以a> 对于D.方程f(x)=x在日，e上有且只有-个根，等价于b=只在/日e上有且只有-个解 令h)=x∈日，e7由远项c分析知，h(x)在日，e止单调递指，在e,e止单调 递减 In! h(d)= e2 hoe)==ze:hce)==2 -(2)- 因为-e2<名所以当-e2≤b<忌或b=名时，y=6与y=h()的图象在日，e7L有且只有- 2e 个交点， 即当日≤X5e,若方程：)-(R)有且只有-个根，则-e2≤b总子我b=名成D正 2e 确 故选：BCD 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档 题 三.填空题（共3小题） 12.已知等差数列{a4}的首项为a1=-1,前10项形成一组数据的中位数为8，则a4=5 【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解. 【解答】解：依题意有50é=8→a5+a。=16 2 故41+10=a5+a6=16,又m=-1, 故40=17， 所以等差数列a)的公差为d-89=-2, .4=+3d=-1+3×2=5, 13 故答案为：5 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题， 13.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A,B,C,D四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种 花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有18种。 A D 草坪 B C 【分析】根据A,C区域种花情况，分两类情况求解，根据分类加法计数原理可得答案。 【解答】解：将圆环平均分成A,B,C,D四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求 每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则A,C区域种同一种花，不同的种植方法有：3×2×1×2=12； A,C区域种不同的花，不同的种植方法有：3×2×1×1=6； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法 故答案为：18. 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题， 14.函数f6)=x1nx-ax)-号有两个答点，则实数a的取值范国为_0,2忌 【分析】根据部意)有两个号点，即直线=a与函数y=一景的田象有两个交点，令g) 父装远用导数件究数的单调性，确定出/s)的单洞K间.结合ge=忌R0时， g(x)→-o0,当x+o时，g(x)→0，建立关于a的不等式，解出实数a的取值范围. 【解答】解：函数fx)=x1nx-ax)-号有两个零点， 即方程xnx-ax)-号在x>0时有两个不同解， x-2发2令g)=nx-e2 两边同除以x之，整理得：a=nx_e2 x 2x2 问题转化为直线y=a与曲线y=g（x)有两个交点时，求a的取值范围. 求导数得g'(X)=-lnx+e2-x(1-lnx)+e2 大3 X3 设g(x)分子对应的函数为h(x)=x(1-x)+e2,求导数得(x)=-lm, 当0<x<1时，h(x)>0,h(x)单调递增；当x>1时，h(x)<0,h(x)单调递减， 14 可知h(x)在x=1处取得最大值h(1)=1+e2>0, 进一步分析h(x)的零点：当x→0+时，h(x)→e2>0; 当x=e2时，h(e2)=e2(1-2)+e2=0;当x>e2时，h(x)<0, 故h(x)在(0，e2)内为正，在(e2,+∞)内为负， 因此，当0<x<e2时，g(x)>0,当x>e2时，g(x)<0, 可得g(x)在(0，e2)上单调递增，在(e2,+∞)上单调递减. 所以g（x)在x=e2处取得最大值g1e)=忌 当x→0时，g(x)→-∞；当x+时，8(x)0, 综上所述：当a忌时，直线y=a与曲线y=g（x)无交点： 当a=忌时，直线y=a与曲线y=g(x)有一个交点： 当0<a忌名时，直线y=a与曲线y=g（x)在(0.e2)和(.+)各有-个交点： 当a≤0时，仅在（0，e2)有一个交点 若直线y=a与曲线y=g(x)有两个交点，则0<a<,3 e21 所以使f(x)有两个零点的实数a的取值范围为(0， 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根、运用导数研究函数的单调性与最值等知识，考查了计 算能力、逻辑推理能力，属于难题 四.解答题（共4小题) 15.15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),动点P关于O的对称点为Q,且直线AP,AQ的斜 率之积是 4 记P的轨迹为曲线E (1)求E的方程； (2)若P关于x轴的对称点为M,求△PQM的面积的最大值. 【答案】(1) 4+少=1(x≠±2) (2）)2 【解析】 【分析】（①）设P(x以，则(-x-以，直线AP,A0的斜率之积是- 列方程化简可得E的方程； 41 15 (2)解法一：由向量垂直得直角三角形面积，结合椭圆方程用均值不等式放缩求最值 解法二：将椭圆上点用三角参数表示，转化为三角函数求最值： 解法三：设过原点的直线，联立椭圆得点坐标，将面积表示为k的函数，再用均值不等式求最值 【小问1详解】 设P(x,y),则2(-x,-y),则 x-2-x-2-4 整理得4少2=4-x2,即 +y2=1, 4 故E的方程为号+少=1(x≠±2).匈束条件也可写成y≠0) 4 【小问2详解】 解法一： 依题意，得M(x,-y),则MP=(0,2y),MQ=（-2x,0), 所以MP.MQ=0,从而MP1M0，,所以PM⊥QM, 则NPOM的质积8-PM2-2=2. 因为点：线上则导+=1.以1-于产付叫 即xy≤1，当且仅当 5时取“=” 故△PQM面积的最大值为2. 16.已知数列{a}的前n项和为Sn,且S-2a+4n-10. （1)证明：数列{a-4}是等比数列. (2)求{a}的通项公式. 3an,n是偶数， (3)已知bn= in(an-4) 求数列{bn}的前2n项和B2n ,n是奇数， 2n 16 【分析】(1)由4与Sn的关系式，得到4与a.1的关系式，再利用等比数列定义证明即可； (2)由(1)得出数列{}的通项公式； (3)利用分组求和以及等差数列和等比数列前项和公式求解 【解答】解：(1)证明：当n=1时，=2m+4-10,解得m=2=6, 当n≥2时，由Sn=2a+4n-10,可得Sm.1=2a.1+4-14, 两式相减得a=2-2an.+4,所以an-4=2（.1-4), 因为-4=2，所以{a-4}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由(1)可知an-4=2×21-1=21,即an=2”+4. n(an-4 (3)当n为奇数时，bn= =n, 2n 当n为偶数时，bn=3an=3×2n+12, 故B2m=（b1+b3+bs++b2m.1)+（b2+b4+b6++b2) =(1+3+5+…+21-1)+3(22+24+26+.+22m)+12n =420-弧+3x22+1m=41+n2+12n-4 【点评】本题主要考查等比数列的定义与通项公式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题， 17.已知函数fx)=号-alnx-a-x-号 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围. 【分析】(1)利用导数求得(1)，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； (2)求导，分a≤0和a>0两种情况讨论可求得f(x)的单调性； (3)结合(2)可得a>0时，f(x)有极小值，进而结合题意可得a(1-a-2ma)≥0，进而求解即 可 【解容】解：(1)当a=1时，f)=号+1nx+2X+号 所以f'x)=x+己+2，所以f'()=1++2=4, 又f()=5+ln1+2×1+2=3, 所以曲线y=f(x)在点（1，f(1)处的切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0. 17 (2)由fx)=号-alnx-a-7x-号 得f')=X-是-a-)=2a,=a--a+, X X 函数f(x)的定义域为(0，+)， 若a≤0，可得xE(0,+∞)时，f(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； 若a>0时，当xe（0,a)时，f(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减； 当x∈(a,+0)时，f(x)>0,所以f(x)在(a,+oo)上单调递增. 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+)上单调递增， (3域2可知当a0时x有极小值极小值为fa-号-aina-a-a-号一号-ana+ 号， E时极小水值他层最水值.由rx≥0.可得alna手00-a-2na≥0 a 又a>0,所以1-a-2ha≥0. 令g(a)=1-a-2a,求导得g'a)=-1-2<0, a 所以g（a)在(0，+0)上单调递减，又g(1)=1-1-2ml=0, 当a(0,1)时，g(a)>g(1)=0,当aE(1,+∞)时，g(a)<g(1)=0, 所以aE(0,1]时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0， 所以a的取值范围(0,1]. 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，考查 运算求解能力，属于中档题 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAC⊥平面ABCD. (1)求证：BD1PC; (2设PA=PC,AB=2,∠ABC=号，M,N在线段PA和PC上，且M为PA中点，PC=3WC, 若直线PB与平面ABCD所成角的大小为号 (i)求平面MND与平面ABCD所成角的余弦值； (i)平面MND交直线PB于点Q,设PQ=PB,求λ的值. 18 M D C 【分析】(1)根据面面垂直可得线面垂直，再由线面垂直得线线垂直即可得证； (2)(i)建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的角； (ii)设PQ=PB,利用向量运算求出DQ,再由DQ·n=0求解， 【解答】解：(1)证明：连接AC和BD交于点O,连接PO,如图所示： ZA P A B 由题易知O为AC的中点，BDLAC, 又因为面PAC⊥面ABCD,面PAC∩面ABCD=AC,所以BD⊥面PAC, 又因为PCc面PAC,所以BD⊥PC; (2)PA=PC,故PO⊥AC, 因为面PAC⊥面ABCD,面PAC∩面ABCD=AC,所以POL面ABCD, 所以∠PB0即为线PB与面ABCD所成角，所以∠PBO=号 因为AB=2,∠ABC=60°，所以BO=√3，AO=1, 所以=tan三=V3,即Po3: 3 (i)建立空间直角坐标系，如图所示： 19 ZA D B A0,-1.0.BW3.0,0.C0,10,D1-3.0,0.P0,0,3,M0,-. ON=0P+PN=OP+号PC=0,号，， DM=W3,-,,DN=W3,号，， 设平面ND的法向量为n=(X,y,z, 「 则 n:DM=3x-2y+22=0 n:DN=3x+y+z=0 令x=3,则n=3,-1,-, 同理可得平面ABCD的法向量为m=(0,O,), →→ 7 cos(m,n)=m -3 7W85 mm7-5 (i)平面MND交线段PB于点Q,设PQ=APB, 则DQ=DP+PQ=DP+1PB=W3+√31,0,3-31)， 因为DQ.n=0,即W3+3A)3+3-32)(-)=0, 即-4+10m=0,解得入=号 【点评】本题主要考查线线垂直的判定以及平面与平面所成的角，属于中档题. 19.已知函数f(x）=hm-ax,g(x)=a2+(a-1)x-1(aeR (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围； （3)若aEZ,且不等式f(x)≤g(x)在(0，+∞)上恒成立，求a的最小值， 【分析】(1)函数定义拔为(0，+“人求导f”)=又-Q,再分a≤0和a>0两种情况讨论求解即 20 可得答案； (2)函数零点即方程hx-=0的解，等价于a=lnX,将问题转化为求y=a与hK)=nX图像的交 点个数； (3)根据题意得a≥nx+x+在(0，+0)上恒成立，故令hx)=lnx+x+口 x2+2X ,求函数h(x)最大值 X2+2x 即可得答案。 【解答】解：(1)由题意，x>0,f'x)=-a. 当a≤0时，f(x)>0恒成立，f(x)在(0，+∞)单调递增； 当a>0时，令f(x)=0,得x= a 当x∈0，，f(x)>0,当x∈(2，+∞)，f(x)<0, (x)在0，)单调递增，在（日，+∞）单调递减 a 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+o0)单调递增； 当a0时.x)在0，单调递增，在日+)单调递减 (2)f(x)=lx-ax有两个零点，等价于lx-m=0有两个实数根，即1hx=x, 即a=lnx,等价于y=a与hx)=lnx有两个交点。 由h')=-lnx=0得，x=e, x2 当x∈(0，e,(x)>0,当x∈(e,+0),M(x)<0, h(x)在(0，e)单增，(e,+o)单减.且hx)max=he)=h(1)=0, x→0，h(x)一-o,x+o∞，h(x)→0，且x∈(e,+0)时，h(x)>0,图象如图， 2 0 a的取值范围是(0，名： 21 (3)不等式 f(x)≤g(x) $$l n x - a x \le a x ^ { 2 } + \left( a - 1 \right) x - 1 ，$$ 所以不等式 $$\left( \ln x + x + 1 \right) \le a x ^ { 2 } + 2 a$$ x在 (0，+∞) 上恒成立， 所以 $$a \ge \frac { \ln x + x + 1 } { x ^ { 2 } + 2 x }$$ (0，+∞) 上 成立. 设 $$1 \left( x \right) = \frac { \ln x + x + 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } ，$$ $$则 h ' \left( x \right) = - \frac { \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \ln x \right) } { \left( x ^ { 2 } + 2 x \right) ^ { 2 } } ，$$ 当 x>0 时， $$x + 1 > 0 ， \left( x ^ { 2 } + 2 x \right) ^ { 2 } > 0 ，$$ 又 φ(x)=x+2lnx 在 (0，+∞) 上是增函数， $$\varphi \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } - 2 \ln 2 < 0 ， \varphi \left( 1 \right) = 1 > 0 ，$$ 所以存在 $$x _ { 0 } \in \left( \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，1)， ，使得 $$\left( x _ { 0 } \right) = 0 ，$$ 当 $$0 < x < x _ { 0 }$$ 时， φ(x)<0，h'(x)>0； 当 $$x > x _ { 0 }$$ 时， φ(x)>0，h'(x)<0， 即 h (x)在 $$\left( 0 ， x _ { 0 } \right)$$ 上单调递增，在 $$\left( x _ { 0 } ， + \infty \right)$$ 上单调递减 $$\varphi \left( x _ { 0 } \right) = x _ { 0 } + 2 l n x _ { 0 } = 0 ， \ln { x _ { 0 } } = - \frac { x _ { 0 } } { 2 } ，$$ h $$h \left( x \right) _ { m a x } = h \left( x _ { 0 } \right) = \frac { \left( n x _ { 0 } + 1 + x _ { 0 } \right) } { x _ { 0 } ^ { 2 } + 2 x _ { 0 } } = \frac { 1 + \frac { 7 } { 2 } x _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { 2 } + 2 x _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2$$ 所以 $$a \ge \frac { 1 } { 2 x _ { 0 } }$$ 因为 $$x _ { 0 } \in \left( \frac { 1 } { 2 } ， 1 \right) ，$$ 所以 $$\lambda \frac { 7 } { 2 \times _ { 0 } } \in \left( \frac { 7 } { 2 } ， 1 \right) ，$$ 又因为 a∈Z， ，所以 $$a _ { m n } = 1 ，$$ ，所以 a 的最小值为1. 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属 于难题. 22