2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与特殊三角形问题综合常见题型练

2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与特殊三角形问题综合常见题型练 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图①，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点的坐标为，连接，． (1)请直接写出二次函数的表达式； (2)若点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标； (3)如图②，若点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当的面积最大时，求此时点的坐标． 3．综合与探究 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值； (3)当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值． 4．如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求点C的坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，连接．直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点，连接、、、． (1)用m来表示的长； (2)当为等腰三角形时，求m的值； (3)如图2，直线l经过的中点且与抛物线交于M、N两点，直线分别与l、x轴交于G、Q两点，当平分的面积时，求l的解析式． 8．如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点C在对称轴右侧的抛物线上，点D在x轴上，若是以P为直角顶点的直角三角形，且，求点D的坐标； (3)如图2，A，B是抛物线上的两个动点（点A在点B的左侧），点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，交直线于点Q，是否存在实数m，使得总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 9．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 10．如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点D为的外心． (1)填空：点A的坐标为 ， °； (2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值； (3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则 ． 11．已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 12．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若时，二次函数的最大值为m，求m的值； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点．是上的动点，设点P的横坐标为，过点P作直线轴． (1)求抛物线的函数表达式及点A、D的坐标； (2)如图2，连接，直线l交直线于点M，连接交于点N，求的长（用含m的代数式表示）及的最大值； (3)在点P运动过程中，将抛物线沿直线l对称得到抛物线，与y轴交于点E，F为上一点，试探究是否存在点P，使是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 2．(1) (2)，，或 (3) 【分析】（1）将点，点坐标代入解析式可求解； （2）分别以、两点为圆心，长为半径画弧，与轴交于三个点，由的垂直平分线与轴交于一个点，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求得点的坐标； （3）设点的坐标为，则，过点作轴于点，根据三角形相似对应边成比例求得，然后根据得出关于的二次函数，根据函数解析式求得即可． 【详解】（1）二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为， ， ， 二次函数的表达式为：； （2）∵，， ， ①如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为， ②如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，， ∴ ∴， ∴此时的坐标为或； ③如图所示，作的垂直平分线，交轴于， ， ， ， ， ， 的坐标为， 综上所述，若点N在轴上运动，当以点、N、为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为，，或； （3）抛物线与轴交于，两点， ， ，， 点， ， 设点的坐标为，则，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 当时，面积最大， 点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3．(1) (2)的长度的最大值为； (3)的值为6或或或3 【分析】（1）令即可得出点A的坐标，再根据点B的坐标利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由点D的横坐标，可知点P和点D的坐标，再根据点在直线下方的抛物线上，即可表示解析式，并转化为顶点式就可得出答案； （3）根据题意分别表示出，，，分当时，当时，当时三种情况分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：对于，取，得， ∴． 将，代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴ ． ∵， 当时，线段的长度有最大值，最大值为； （3）解：由，，， 得，，． 当为等腰三角形时，有三种情况： ①当时，，即， 解得（不合题意，舍去），； ②当时，，即， 解得，； ③当时，，即， 解得． 综上所述，的值为6或或或3． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值、等腰三角形的性质，综合性比较强，需要注意的是求m的值时，等腰三角形要分情况讨论． 4．(1) (2)存在，点P坐标为：或或或 【分析】（1）根据二次函数对称轴，设其函数表达式为：，根据一次函数的表达式求出点A和点C的坐标，再根据二次函数的对称性，求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入求解即可； （2）分情况进行讨论，①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的表达式为：， ∴当时，，解得：，当时，， ∴，， ∵二次函数称轴为直线， ∴， 设二次函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴二次函数表达式为：， 整理得：． （2）存在 ①当时，如图：此时； ②当时，如图：有两种情况， ∵，， ∴， 令对称轴与x轴交于点Q， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M， ∵对称轴为直线， ∴点P横坐标为，， 设点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，灵活运用各个相关知识，根据题意进行分类讨论． 5．(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：． ∴图象与轴交于点，， 当时，， ∴图象与轴交于点； （2）解：∵，， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或 【分析】（1）把点A的坐标代入求解即可； （2）过P作于点E，过点P作轴交于点H，，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则， 求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，， 解得， ∴点C的坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 7．(1) (2) (3)直线l的解析式为 【分析】（1）根据题意先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，用含m的代数式表示即可； （2）先证明和是等腰直角三角形，根据为等腰三角形可得，建立方程求解即可得出答案； （3）设H是的中点，先得出，设直线l的解析式为，与抛物线解析式联立得，运用根与系数关系可得，再由题意可得的中点G的横坐标为2，建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令，得， ， 令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， 解得：或， ， ∴； （3）解：设H是的中点，如图， ， 设直线l的解析式为， 联立得， 整理得：， ∴， ∵直线平分的面积， 的中点G的横坐标为2， ∴，即， 解得：， ∴直线l的解析式为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积，一元二次方程根与系数关系的应用等，熟练掌握相关知识是解题关键． 8．(1) (2) (3)存在实数，使得总成立，理由见解析 【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，可求的值，再将点代入，即可确定函数的解析式； （2）设对称轴与轴的交点为，过点C作交于点，则，能得到，，设，，则，，即可求； （3）过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为，由题意可知，再由，则，设直线的解析式为，当时，，，求出，，可得等式，整理后可得． 【详解】（1）解：是抛物线的对称轴上一点， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴与x轴的交点为G，过点C作于点H，如图 ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ∴， 设，，则 ， ∴或（舍去)，， 解得或， 当时， ， 有， ， 即，不符合题意，舍去； ∴，即． （3）解：存在实数，使得总成立，理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 当时，，， ，轴， ，， ， ， ， ， ， 解得， ∴存在实数，使得总成立． 9．(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将代入得： 解得：； （2）解：， 抛物线的表达式为：， 将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 10．(1)，45 (2)为定值， (3) 【分析】（1）令得，因式分解求得方程的根，根据等腰直角三角形的判定，计算的度数即可． （2）过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则,,,,证明，后利用三角形面积解答即可． （3）设点，以对角线为依据，列出方程组计算即可． 【详解】（1）解：令得， ∴， ∴点，点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， ∴， 故答案为：，45． （2）解：为定值，理由： ∵点D为的外心，， ∴，，， 过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N， 设点， 则,,,, ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴且， 解得：， ∵的面积为，的面积为， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴, 故为定值，． （3）解：由（2）知，点，点，点，设点， 此时，， ∵点E在第一象限内的抛物线上， ∴为对角线， 由中点坐标公式： 解得：或（舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 11．(1) (2)点的坐标为或或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； （3）由题可知，抛物线的对称轴为，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， 解得或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 12．(1) (2)m的值为或 (3)点P的横坐标为0或或或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组得到a，b的值即可求得解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，再根据题意分情况进行讨论m的值，从而得到结果； （3）设，分情况讨论：①当点D为直角顶点，分为和；②当点A为直角顶点，利用一线三垂直证明三角形全等，设不同情况下含t的点P坐标，代入到二次函数解析式求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将点，代入抛物线解析式， 得：，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点式为， ∴抛物线的顶点为，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，即时， 当时，函数有最大值m， ∴， 解得：（舍去），； 若，即时， 当时，函数有最大值为（舍去）， 若， 当时，函数有最大值为m， ∴， 解得：（舍去），， 综上所述，m的值为或． （3）解：设，则， ①当点D为直角顶点， （i）当时， 如图，作交对称轴于点M，记抛物线对称轴与x轴交点为N， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得：， 解得（舍去），， ∴点P的横坐标为； （ii）当时， 如图，作交对称轴于点M， 同理可证， ∴，， ∴设点， 代入抛物线解析式得：， 解得：（舍去），， ∴点P的横坐标为； ②当点A为直角顶点， 如图，过点A作y轴平行线，作交于点M，交于点N， 同理易证得， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得：， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； 当点P在x轴下方时， 如图，过点P作轴交x轴于点M，记对称轴与x轴交点为N， 同理易证得， ∴，， ∴点P为， 代入抛物线解析式得：， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为0或或或． 13．(1)；点A的坐标为；点的坐标为 (2)； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式可得点A的坐标，求出时，y的值即可得到点D的坐标； （2）求出直线的函数表达式为，根据题意可得，则，，证明，得到，据此可得答案； （3）根据题意可得抛物线的解析式为，则；根据等腰直角三角形的定义可得，则；当点E在点D下方时，则，则或，且要满足；把点F的坐标代入中解方程即可得到答案；同理求出当点E在点D上方时m的值即可得到答案 【详解】（1）解：将点B和点C的坐标代入得 解得 ∴抛物线的函数表达式为， ∴点A的坐标为； 在中，当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， ，解得 ∴直线的函数表达式为， 把代入，得， ， ∵直线轴， ∴， 把代入，得 ， ． ， ． ∵直线轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知，， ∴直线l的解析式为； 设点为抛物线上的一点， ∵点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； ∵是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴轴， ∴， 如图所示，当点E在点D下方时，则， ∴或， ∵， ∴或， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程得或（不满足，舍去）， ∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 当时，， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程，（舍去）或（舍去）； ∴此种情况下，点P的坐标为； 如图当点E在点D上方时，同理可得只有和满足题意，即满足， ∴， ∴， ∴， ∴此种情况下，点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $