精品解析：山东省济南第三中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检测数学试题

山东省济南第三中学2025～2026学年 第二学期高一年级期中学情检测 数学试卷 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题:每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（    ） A. 三个点可以确定一个平面 B. 一条直线和一个点可以确定一个平面 C. 两条直线可以确定一个平面 D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 3. 在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，，则三角形解的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定 7. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 8. 图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（　　）   A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 复数的共轭复数 10. 已知向量，满足，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 存在非零实数，使得 D. 向量与的夹角为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若Q，M，N，P四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________. 13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________． 14. 如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 17. 如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 19. 如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. （1）求在圆锥中的线段的长； （2）求四面体的体积； （3）若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南第三中学2025～2026学年 第二学期高一年级期中学情检测 数学试卷 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题:每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算消去分母的即可求解. 【详解】由题意得， 所以的虚部为. 2. 下列命题正确的是（    ） A. 三个点可以确定一个平面 B. 一条直线和一个点可以确定一个平面 C. 两条直线可以确定一个平面 D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误； 两条异面直线不能确定平面，C错误. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确. 故选：D. 3. 在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，，，则，故， 由正弦定理得， 由于，故或. 4. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形， 得该三角形面积为，解得，圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为. 5. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，向量在上的投影向量为. 6. 在中，若，，，则三角形解的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【详解】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 7. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 8. 图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（　　）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱的外接球性质以及几何体的表面积列式可得球的半径，进而可得球的体积. 【详解】设内、外层圆柱的高分别为，外接球的半径为， 由题意可得：，解得， 所以此模型外接球的体积为. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 复数的共轭复数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数乘法运算，复数相关的概念，复数对应点的坐标的特性，复数模的计算公式和共轭复数的概念逐项分析即可. 【详解】因为，且复数的实部为， 所以，解得：，所以， 对于A，由，所以复数的虚部为，故A正确； 对于B，由复数在复平面内对应的点为，该点位于第三象限，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，由复数的共轭复数，故D错误. 10. 已知向量，满足，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 存在非零实数，使得 D. 向量与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可判定A正确；利用向量模的计算公式，可判定B正确；结合向量共线的坐标表示，列出方程，求得的值，可判定C不正确；利用向量的夹角公式，可判定D正确. 【详解】对于A，由，所以，所以A正确； 对于B，由，，所以，所以B正确； 对于C，由，若，可得， 解得，所以不存在非零实数，使得，所以C错误； 对于D，由，可得，且， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，所以D正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若Q，M，N，P四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，确定正六边形相关边长，进而求其表面积. 【详解】 对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故正确； 对于B，延展平面，结合平面的基本性质及正方体的结构特征得截面如图（2），易知平面过的中点，所以，错误； 对于C，如图（1），若，取的三等分点(靠近)，的中点，则， 平面，平面，故平面，同理平面， 又且都在平面，所以平面平面， 当点在线段上时，平面，则满足平面，所以即为的轨迹， 由，得，正确； 对于D，如图（2），，则正六边形的面积为，的面积为，所以棱锥的表面积为，故正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_________. 【答案】0 【解析】 【详解】因为向量，所以， 若，则，解得. 13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果. 【详解】根据斜二测画法的规则可知，，，， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键. 14. 如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，，，且， 由余弦定理得， 可得, 又由， 可得 因为， 则， 所以, ， 所以四边形的面积为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解. 【小问1详解】 由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． 【小问2详解】 由复数为实数，可得， 解得或． 【小问3详解】 由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足， 解得，即的取值范围为． 16. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 17. 如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，表示出，进而根据求解即可； （2）先结合（1）表示出，进而求解即可. 【小问1详解】 如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 因为，则，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则， 当时，，即的取值范围是. 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 19. 如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. （1）求在圆锥中的线段的长； （2）求四面体的体积； （3）若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）在线段OB上存在点E，且=3，证明： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以， 取CB的四等分点G，使，连接GE， 因为，所以，， 所以，， 所以四边形DFGE是平行四边形，所以 又平面ABC，平面ABC，所以平面 【解析】 【分析】（1）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，为等边三角形，通过外接圆半径计算边长，再由计算中位线的长度； （2）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，母线长为原半圆半径，底面圆周长为原半圆弧长，计算出半径后可以计算出圆锥高，体积即可求解； （3）通过中位线、平行四边形来构造出线面平行，从而找到点. 【小问1详解】 在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； 【小问2详解】 ， 圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $