2026年九年级中考数学二轮重难点二次函数的综合应用专题复习

2026年九年级中考数学二轮重难点二次函数的综合应用专题复习 1．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 2．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 3．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴交于点Q，连接，，设点P的横坐标为m．    (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求线段长度的最大值． 4．（2024九年级下·广东广州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)请写出抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一动点，点的横坐标为，请求出使点到直线距离最大的的值； (3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，请写出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标． 5．（2025·河南·二模）如图1是某校劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得．       (1)求抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，当遮阳网面积最大时，求点的横坐标． 6．（2025·广西梧州·一模）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，． (1)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）； (2)如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离； (3)如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 7．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线：的顶点为，交轴于点，（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求的面积； (3)设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标． 8．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，当直线垂直平分的边时，求点的坐标． 9．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线交轴负半轴于，交正半轴于，交 轴于 ，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限抛物线上一点，连接交 轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线，交轴于点 ，垂足为点，为 上一点，连接 ，若，，求点坐标． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·月考）如图，已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，矩形，边在线段上（M点在N点的左侧），P、Q点在抛物线上，设，当n为何值时，矩形的周长最大，最大值是多少？ (3)在（2）的结论下，矩形保持不动，沿x轴平移抛物线，平移后的抛物线与矩形的两边交于点E、F，且直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式． 11．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）一水渠截面是个抛物线形状，如图1，建立平面直角坐标系，抛物线的图象经过的点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，横坐标相同的两点，轴，交抛物线于点，交于点，交轴于点，点在抛物线上，若． ①求点到直线的距离； ②求长度的最小值． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线． (1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______； (2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)连接、，点为抛物线上第三象限内一动点，且，求点坐标； (3)如图2，直线交抛物线于、两点（、不与、重合），直线、分别交轴于点、点，若、两点的纵坐标分别为，，试探究，与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将点、代入计算即可得； （2）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，将用含的式子表示出来，利用二次函数的性质求解即可得； （3）设点的坐标为，先求出，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得， 所以此抛物线的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，最大，最大值为， ， 所以当最大时，点的坐标为． （3）解：二次函数的对称轴为直线， 则可设点的坐标为， 所以，，， ①当时，以点为顶点的三角形为直角三角形， 则，即， 解得或， 所以此时点的坐标为或； ②当时，以点为顶点的三角形为直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； ③当时，以点为顶点的三角形为直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 2．(1) (2)点，点 (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合． （1）将点和点代入即可求出解析式； （2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标； （3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把点和点代入得 解得， 所以抛物线的解析式为：． （2）把代入， 得， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点，点． （3）解：连接， 由题意得， 3．(1)抛物线的解析式为，； (2)长度的最大值是． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段周长问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解． （1）待定系数法求解析式，令，进而求得点的坐标； （2）由，两点的坐标可求得直线的解析式为．设，．得出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为， 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点的横坐标为， ，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为． 长度的最大值是． 4．(1) (2) (3)点M的坐标为，， 【分析】（1）将，代入，运用待定系数法即可求解； （2）连接，过点作轴，交于点，运用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，可用含的式子表示，，再运用配方法得到，由此即可求解； （3）点在抛物线对称轴上，点在轴上，设点，根据平行四边形的性质分类讨论，①当是对角线时；②若为对角线时；③若为对角线时；运用中点坐标的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点为第一象限内抛物线上的一动点， ∴， ∴， 设点到的距离为， ∵，且是定值， ∴当取最大值时，也取最大值， 当时，取得最大值， 即当时，点到直线的距离最大； （3）解：由抛物线解析式为，得对称轴为直线， 设点， 若以为顶点的四边形是平行四边形， ①当是对角线时， 由平行四边形的性质可知点是和的中点， 得，即， 解得， ∴点的坐标为； ②若为对角线时， 由平行四边形的性质可知点是和的中点， 得，即， 解得， ∴点的坐标为； ③若为对角线时， 由平行四边形的性质可知点是和的中点， 得，即， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点M的坐标为，，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，运用二次函数图象的性质求最值，等面积法求三角形面积的高，平行四边形的性质，中点坐标的计算方法等知识是解题的关键． 5．(1)抛物线的解析式为； (2)的面积最大值是，此时点的横坐标为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数与几何图形面积的计算是关键． （1）根据题意，，，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则，，根据图示列式得到，结合二次函数最值的计算求解即可；如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则，点在点右边与条件矛盾；由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵点是中点， ∴，且， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在抛物线上选取一点， 如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值是为； 如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵，即点在点右边与条件矛盾； 综上所述，的面积最大值是，此时点的横坐标为． 6．(1) (2)24 (3)6或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点A，C的坐标代入，即可求解； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答； （3）设平移后的抛物线解析式为，则得到此时抛物线与轴的交点，根据，结合两个三角形的底相同，即可得到，进而即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：， 由题意得，把，代入得， ． 抛物线对应的函数关系式为： （2）解：设直线的关系式为： 直线经过点 ，即 直线的关系式为： 解方程组 ， 点的坐标为，根据对称性可得点的坐标为 ； （3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为： 令，则 此时抛物线与轴的交点设为 平移后抛物线和轴交点间的距离不变，又 则，即 解得的值为或（舍去负值） 的值为6或 【点睛】本题考查二次根式的实际应用，待定系数法求抛物线解析式，抛物线与直线的交点，函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．(1)抛物线对应的函数关系式为； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而求出点点坐标，然后根据线段的和差求出，最后根据即可求解； （3）由题意得，为等腰直角三角形，顶点，分两种情况：①当时，②当时，即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 设直线的解析式为，将点，点代入得， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时， 点的坐标为， 直线的解析式为：，将点，点，代入得： ， 解得： 直线的解析式为， 点坐标为， ， （3）由题意得，， 为等腰直角三角形， 抛物线， 顶点， 由题意可知不可能为直角， ①当时，如下图， 或， 则， 设， ，， ， 解得：（舍去），， 当时，， ， ②当时，如下图， 或， 过点作，垂足为点， 则， 由①可知， ， ， 综上所述：点的坐标为或． 8．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点、代入抛物线解析式中，解方程组即可求解； （2）过点作轴，交于点，由题意得，结合，轴，得到，，进而推出，根据题意得：直线的解析式为，所以设，则，最后根据即可求解； （3）设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接，由点在线段的垂直平分线上和轴，得到，进而得到轴，最后结合和直线的解析式为即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）过点作轴，交于点， 由（1）知，抛物线的解析式为， ， ， 点， ， ， ， ，轴， ，， ， ，， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，最大，最大值为， 当时， ； （3）如下图，设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接， 点在线段的垂直平分线上， ，， 轴， ， ， 轴， 又， 由（2）知直线的解析式为， 当时，， ， 点的纵坐标为， 设点， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，一元二次方程等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）先令求出点坐标再根据已知，可得点的坐标，运用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）由（1）可得点的坐标，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，进而求出，即可求得答案； （3）找点关于原点的对称点，连接，过点作于，根据已知先证得，再证，进而证得，得，再证可得，，进而求出点的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的交点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点， ， ， ， ， 在抛物线上， ， ， ． （2）点是第三象限抛物线上一点， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 令，得， ， ， 线段 长为 ， ； （3）解：找点关于原点的对称点，连接，过点作于， ，，， ，， ， ， ，， 点关于原点的对称点， ，，， ，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式是， ， ， 直线的解析式是， 点在直线上，也在抛物线上， ， ， ； 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加正确的辅助线是解题的关键． 10．(1)二次函数的解析式为； (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为； (3)平移后的抛物线的解析式为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，得到，，根据矩形的周长公式得到关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意直线经过矩形的中心点，分向右平移和向左平移两种情况讨论，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴交轴于点， ∵， ∴， ∴，， 则， ∴矩形的周长为， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：由（2）得，， ∴，连接，设矩形的中心为点，则， 由题意得直线经过点， ∴， 如图， 当抛物线向右平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为，且， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴平移后的抛物线的解析式为； 当抛物线向右平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为，且， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴平移后的抛物线的解析式为； 综上，平移后的抛物线的解析式为或． 【点睛】本题考查了是二次函数的综合运用，考查了待定系数法，二次函数的性质，轴对称变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 11．(1) (2)点的坐标为 (3)①点到直线的距离为；②长度的最小值为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据，，可得，求出直线的解析式为，联立上式和抛物线的解析式得，即可求得点的横坐标进而即可求解； （3）①求出直线的解析式为，设点，则点， 则，．设点到直线的距离为，根据，即可求得点到直线的距离为． ②设点，则点或， 则 或，根据二次函数的性质即可求得长度的最小值为1． 【详解】（1）解：抛物线的图象经过点． ， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， 点是第二象限内抛物线上一点， 直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得， 解得（舍去）或， 当时，， 点D的坐标为． （3）解：①设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 则，． 设点到直线的距离为， ∵， ∴， ， 解得：， 点到直线的距离为． ②设点，则点或， 则 或， 当时，有最小值1， 故当时，取得最小值1； 同理可得， 当时，取最小值1． 当时，取得最小值1； 综上，长度的最小值为1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与面积问题，线段问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于压轴题． 12．(1)， (2)点P的坐标为：（）， (3)存在，或 【分析】（1）由二次函数表达式和坐标轴上点的特点即可得出答案； （2）由点的坐标求出直线解析式，并分类讨论直角顶点即可得出答案； （3）分类讨论对角线的情况，结合正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， ， 当时， 或， ， 当时，， ， 点M是的中点， ； （2）由（1）可得直线的表达式为：， 轴， ， 故点不可能是直角顶点， 若，如图， 则轴， 把代入得 ， 解得：（舍去），， ， 若，如图过点作， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 与点关于直线对称， 设直线的表达式为， 把代入得 ， 直线的表达式为， ， 解得：（舍去），， 把代入得 ， ， 综上所述，点的坐标为，； （3），， ， 设，， 当时， 直线的表达式为：， 则设直线的表达式为：， 把代入得， 则直线的表达式为：， 把代入得， 则， ， ， 当为顶点的四边形是正方形时， 则解得， ， 当时， 直线的表达式为：， 则设直线的表达式为：， 把代入得， 则直线的表达式为：， 把代入得， 则与重合，舍去不符合题意； 当时，则， 则可设，同理可得 则解得， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与多边形的存在性问题，涉及二次函数的图象与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的判定、中点坐标公式等知识，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 13．(1)点，点，点 (2)点 (3) 【分析】（1）分别，令，代入中即可求解； （2）由（1）点，点，点，得出，得到，进而得到；作点关于轴的对称点，连接，得到，推出，求出直线的表达式为：，联立方程组：，即可求解； （3）设点，，则的解析式为：，，同理，得到，然后联立：，得，，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点， 点，点，点； （2）由（1）得点，点，点， ，，， ， ， ， ， ， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ， ， ， 设直线的表达式为：， 将代入得：， 直线的表达式为：， 联立方程组：， 解得：或， 点在第三象限内， 点； （3）点、在抛物线上， 设点，， 点， 的解析式为：，， 同理，， 联立：， 整理得：， ，， ， ，与之间的数量关系为：． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要涉及二次函数的图像与性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点；综合运用上述知识、数形结合是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $