小升初应用题：找次品（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦找次品问题，构建"三分法"系统解题体系，通过53道梯度题组实现从原理理解到复杂情境应用的逻辑进阶，培养优化思想与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础型|28题（如第3/7/15题）|三分法分组策略、平衡原理应用|从3^n数量模型入手，建立"分组-称量-定位"三步解题框架| |进阶型|17题（如第1/4/10题）|轻重未知判断技巧、多步推理方法|拓展至次品属性未知情境，强化分类讨论与结果验证能力| |拓展型|8题（如第5/26/53题）|特殊称量法、极限数量计算|结合实际场景（如1000箱产品），深化优化意识与数学建模思维|

小升初应用题：找次品 1．今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。试问，怎样利用这架天平称两次，来达到目的？ 2．有3筒羽毛球，每筒有12个，其中有1个次品比正品重一些。现在要求用一个没有砝码的天平来称，只称3次能保证找到这个次品吗？如果不能，至少要称几次？ 3．有37个零件，其中36个质量相同．另有1个轻一些，是不合格产品，至少称几次能保证找出这个次品？ 4．红红家有5瓶相同的药，每颗药丸重10克，只有一瓶受到污染的药丸质量发生了变化，但是不知道是变轻了，还是变重了。给你一台无砝码的天平，至少称几次能保证找出这瓶受污染的药？ 5．有1000箱外形完全相同的产品，其中999箱重量相同，有1箱次品重量较轻。现有一个称（一次可称量500箱），怎样才能尽快找出这箱次品？ 6．在100个同样的零件里，有一个不合格(不合格的重些)，用天平称，至少称几次定能把不合格的找出来？ 7．有15枚金币，其中一枚是假币，外观和真的一样，只是比真金币轻一点。能在天平上称3次（不用砝码），就把假金币找出来吗？ 8．有11个果冻，其中10个质量相同，另有1个稍微轻一点． （1）如果用天平秤，称几次可以找出这个稍微轻一点的果冻？ （2）你能称2次就保证找出这个稍微轻一点的果冻吗？ （3）如果天平两边各放5个果冻，称一次有可能找出这个稍微轻一点的果冻吗？ 9．有9袋白糖，其中8袋是每袋500g，另一袋是550g。 （1）如果用天平称，最少称几次就可以找出较重的一袋？ （2）你能保证称2次就找到它吗？ （3）如果天平两边各放4袋，称一次有可能称出来吗？ 10．有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币，现在不知道假币比真币重还是轻． （1）利用天平，至少称几次就一定可以判断出假币比真币重还是轻？ （2）至少再称几次就一定能找出那枚假币？ 11．药厂抽检一批药品，抽查的19盒药中有1盒不合格（质量稍重一些）． （1）至少称几次能保证将这盒药找出来？ （2）如果在天平两端各放9盒的话，称一次有可能称出来吗？为什么？ 12．有3袋洗衣粉，其中两袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知比500克重还是轻，你能用天平找出来吗？ 13．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 14．6枚一元的硬币中有一枚是假币，它比其他5枚略重一些，至少称几次才能把假币找出来？ 15．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 16．有12盒糖果，其中11盒质量相同，另一盒少了几颗。如果用天平称，至少几次就可以保证找出这盒糖果？请写出过程。 17．有13瓶水，其中12瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些。用天平至少称几次就一定能找出这瓶糖水？ 18．有5袋盐，其中4袋每袋500g，另一袋不是500g，但不知道是比500g重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以保证找出这袋盐？ 19．要保证4次能测出待测的物品中的次品（只含有一个次品，且次品比正品轻），待测物品的数目最多是多少个？ 20．有27个大小、颜色均相同的弹力球，其中1个次品比正品轻一些。不用砝码，你能用天平把它称出来吗？至少几次可以称出来？ 21．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 22．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 23．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 24．有10盒饼干，其中9盒的质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称几次可以保证找出这盒饼干？请表示出找的过程。 25．有一盒乒乓球，其中一个较重的是次品，用天平称，保证3次能找到这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能是多少个？ 26．师傅和徒弟一起做包子,规定每个包子用的面粉一样多,并且要求10个一笼。一天,师徒共做了5笼包子,其中师傅做了4笼,徒弟做了1笼,但由于徒弟粗心,听错了师傅的要求,每个包子都少了10g。你有什么办法用电子称称一次就能知道哪一笼包子是徒弟做的? 27．一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程） 28．有大小、形状完全相同的薯片11桶，其中有一桶质量较轻．如果用天平，你最少称几次能找到它？ 29．金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？ 30．有9袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程用示意图表示出来） 31．仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？ 32．有9袋方便面，其中有8袋质量相同，另有一袋缺6克，用天平称，至少称几次就一定能保证找出这袋质量轻的方便面？请绘图表示你称的过程。 33．有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果能用天平称，至少几次保证可以找出这盒饼干？ 34．有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。 35．现有A、B、C、D四袋奶糖，A袋最重，C袋最轻．试用无砝码的天平称一次，将四袋奶糖按照从轻到重的顺序排一排，说说你是怎样称量的． 36．小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 37．学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 38．有16瓶同样的水，小明往其中1瓶加了一些盐．如果用天平称，那么至少称几次才能保证找出加盐的那瓶水？ 39．有A、B、C三个金属球，它们的质量：A＞B＞C，另外还有一个球D。试用无砝码的天平称两次，你能确定D球质量排在第几位吗？ 40．9块外观一样的苏式大月饼，有一块重量未达标须找出来重做，现在只给你一架天平，最少称几次就可以找到那块未达标的月饼？你打算怎样找？ 41．在15盒牛奶中混入了一盒不合格产品（比合格产品轻一些）。用天平至少称几次才能找到这盒次品？ 42．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，那么这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 43．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问：怎样利用这架天平称两次，就能弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重？ 44．有27个零件，其中有一个零件是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次能保证找出次品零件？ 45．有9袋柑粉饮料，其中的8袋质量相同，另有一袋质量不足，轻一些．至少称几次能保证找出这袋柑粉饮料？ 46．小明偷吃了妈妈买的15袋果冻的一袋，使这袋里面少了5个果冻，如果妈妈用天平称．至少要多少次一定可以找出这一袋？ 47．有14颗外形完全相同的透明小球，其中13颗是玻璃球，1颗是塑料球，且塑料球比玻璃球轻．如果用天平称，至少称几次可以保证找出这颗塑料球？ 48．一共有190颗珠子，其中189颗的重量一样，另一颗重量比其他的要轻一些，现在手里有一架天平，至少称几次，能找出那枚稍轻的珠子？写出称法． 49．有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？ 50．有5袋食盐，其中4袋每袋重，另外1袋不是，且比重一些。你能用天平找出重的那袋食盐吗？把过程写一写。 51．妈妈到超市买了10盒质量相同的奶片，乐乐偷偷吃了一片．如果用天平，至少称几次就可以保证找出少了一片的那一盒来？ 52．质监部门对某企业的产品进行质量抽检。在抽查的19盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些）。 （1）至少称几次能保证将这盒产品找出来？ （2）如果在天平的左右两端各放9盒的话，称一次有可能称出来吗？为什么？ 53．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．见详解 【分析】把101枚硬币，尽可能三等分，根据找次品的常用方法解答即可。 【详解】把101枚硬币，分成34， 34， 33三组，①把两个34的放到天平上称，如天平平衡，则假币在33的－组中，从34－组中任取一枚硬币，再放到天平。上和33枚一组进行称量，若33枚一组重，则假币重，若33的一组轻，则假币轻；②若天平不平衡，则33的－组全是真币，取下轻的一端的34个，分成17、17放在天平两端，如果平衡，说明这34个是真币，之前重的－堆中有假币，假币比真的重；如果不平衡，说明这34个中有假币，因为这34个是轻的一堆，所以假币比真币的轻。 【点睛】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解决问题的能力。 2．不能，至少需要称4次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】3×12＝36（个） 将36个羽毛球分成（12、12、12），称（12、12），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中12个；将12个分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、2），称（1、1），只考虑最不利的情况，平衡，次品在2个中；再称1次即可确定次品，共4次。 答：只称3次不能保证找到这个次品，至少需要称4次。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 3．4次 【详解】略 4．3次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【详解】5瓶药分别是1、2、3、4、5； 第一次称：把1、2和3、4分别放在天平两边，有三种情况： ①1、2＝3、4，5是次品； ②1、2＞3、4，5是标准，1、2可能是重次品，或者3、4可能是轻次品； ③1、2＜3、4，5是标准，1、2可能是轻次品，或者3、4可能是重次品； 第二次称：假设是上面第②种情况，1、2＞3、4.把1和2分别放在天平两边，有三种情况： ①1＝2，次品在3、4中，1和2是标准品，且知道3、4是轻次品； 第三次，把1和3称，有两种情况（1）1＞3，3是轻次品，（2）1＝3，4是轻次品； ②1＞2，1是重次品或者2是轻次品，3和4是标准品；第三次，把1和3称，有两种情况：A、1＞3，1是重次品，B、1＝3，2是重次品。 答：至少称3次能保证找出这瓶受污染的药。 【点睛】此题麻烦就在不知道次品是轻还是重，而且天平没有砝码；不但要缩小次品的范围，还要弄清楚次品是轻还是重，所以要分多种情况进行分析。 5．每一次都采用三分法，总共需要称7次 【分析】采用三分法，每一次称量都尽可能等分成3份，第一次分成333个，333个，334个三组，可以把次品限定在其中一组，然后继续等分，继续缩小次品的范围，直至找出次品。 【详解】根据三分法找次品的限定范围，设产品数为n，且只有一个次品，次品较轻或较重已知； ，1次； ，2次； ，3次； ，4次； ，5次； ，6次； ，7次； ，故最少需要7次； 答：每一次都采用三分法，总共需要称7次。 【点睛】本题考查的是找次品的问题，三分法是找次品最常用的方法。 6．5次 【详解】略 7．见详解 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【详解】第一次，把15枚金币平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻的一份（5枚）中的4枚，天平两侧分别放2枚，若天平平衡，则较轻的为未取的一枚，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第三次，取含有较轻的金币（2枚），分别放在天平两侧，即可找到较轻的假币。 答：能在天平上称3次，就把假金币找出来。 【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取羽毛球的筒数。 8．（1）解：把11个果冻分成3组：5个1组剩一个，进行第一次称量，如果平衡，剩下那一个就是次品，如果不平衡，那么次品就在较轻的那一组中；由此 再把较轻的5个果冻分成3组：2个1组剩一个，进行第二次称量，如果平衡，剩下那一个就是次品，如果不平衡，那么次品在较轻的那一组中；再把较轻的2个果 冻分成2组：那么较轻的那个是次品． （2）解：不能称2次就保证找出这个稍微轻一点的果冻． （3）解：如果天平两边各放5个果冻，称一次有可能找出这个稍微轻一点的果冻． 【详解】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量：（把质量较轻的那个小球看做次品）； 把11个果冻分成3组：5个1组剩一个，进行第一次称量，如果平衡，剩下那一个就是次品，如果不平衡，那么次品就在较轻的那一组中；由此再把较轻的5个果冻中分成3组：2个1组剩一个，如此经过3次即可找出质量较轻的那个果冻． 9．（1）2次； （2）能保证； （3）有可能 【分析】把9分成（3，3，3），天平每边放3个，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边（称第1次）；把有次品的3个分成（1，1，1），天平每边放1个，若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边（称第2次）；据此解答。 【详解】（1）把9袋白糖随机分成3，3，3，三部分随机选取两组称，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边； 把有次品的3个随机分成1，1，1，三部分，随机选取两组称若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边； （2）能，将9袋分成三份，先将两份放在天平上称如果重量不相同，较重那一袋则放在天平重的那一边。然后将重的那一份分成三份放在天平上秤，如果重量不相同取出较重的如果相等就是未放上天平的那袋如果相同重量较重那一袋在没有放在天平的那一份中，然后再将重的那一份分成三份放在天平上称如果重量不相同取出较重的，如果相等就是未放上天平的那一袋； （3）有可能，任意取出一袋将剩下的8袋分两边放一样重则取出的那袋就是较重的。 答：（1）如果用天平秤，最少秤2次就可以找出较重的袋。 （2）能够保证秤两次就找到它。 （3）如果天平两边各放4袋，秤一次有可能秤出来。 【点睛】本题是一道找次品问题，需要结合找次品的方法进行求解。找次品的最优策略是：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 10．（1）2次        （2）4次 【详解】略 11．（1）解：把19盒药分成三份：6盒、6盒、7盒， ①在天平两端各放6盒，如果平衡，次品在7盒中；如果不平衡，下沉的那端的6盒中有次品； ②如果次品在7盒中，把这7盒分成2盒、2盒、3盒，在天平两端各放2盒，如果平衡，次品在3盒中，如果不平衡，下沉那端的2盒中有次品；无论次品是在3盒中还是在2盒中，都需要再称1次找出次品，这样共需要3次． 如果次品在6盒中，把这6盒平均分成3份，天平两端各放2盒，这样找出次品所在的2盒，再称1次就能找出次品，共需要3次． 答：至少称3次能保证将这盒药找出来． （2）解：有可能，因为在天平两边各放9盒正好平衡，那么，剩下的那1盒就是不合格的药品． 【详解】(1)要把所有商品平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那一份比其它的多1或少1，这样称一次就能把次品所在的范围缩小到最小；(2)称一次是有可能找出次品的． 12．能 【详解】能，先分别两两把洗衣粉放到天平上，至少称两次就可以找出不合格的那一袋。 13．27个 【分析】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品； （2）如果有3×3＝9个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品； （3）如果有3×3×3＝27个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。 【详解】当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有10~27个。 答：这堆玻璃球最多有27个。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 14．2次 【详解】略 15．3次 【分析】根据题意，一个次品比正品略轻一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。 【详解】把11个机器零件分成三份（4，4，3）； 第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况： ①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品； ②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品； 第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中； 第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。 答：用天平把次品找出来，最少称3次。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的零件是次品。 16．3次；见详解 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把12盒糖果平均分成3份，每份4盒，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的4盒中；如果天平平衡，次品在剩下的4盒中； 再把有次品的4盒糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1盒，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一盒；如果天平平衡，次品在剩下的2盒中； 最后把有次品的2盒糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1盒，次品就是较轻的那一盒。 所以至少称3次就可以保证找出这盒糖果。 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 17．3次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将13分成（4、4、5），先称（4、4），只考虑最不利的情况，平衡，次品在5瓶中；将5瓶分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2瓶中；再将2瓶分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。 答：用天平至少称3次就一定能找出这瓶糖水。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 18．3次 【分析】根据题意，第一次把5袋盐分成3份：2袋、2袋、1袋，取2袋的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一袋不是500克，若天平不平衡，继续第二次称量，在天平两边各取1袋，分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的包含不是500克的，若天平不平衡，取较重的一袋与其他一袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则剩余一袋不是500克（比500克轻），若天平不平衡，则较重的一袋不是500克；第三次，在剩余2袋中取一袋，与前面的任一袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个不是500克，若天平不平衡，则这袋不是500克，据此解答。 【详解】 答：至少称3次可以保证找出这袋盐。 【点睛】本题主要考查找次品，关键利用天平平衡原理解题。 19．81个 【分析】第一次试验分3组，每组的数量相同，可以确定次品所在的组；第二次试验再将确定的那组继续分为3组，同样操作可得次品所在组；第三次试验再将确定的那组继续分为3组，同样操作可得次品所在组；第四次试验在剩下的3个物品中，两两对照，轻的那个就是次品，所以最多可以测出的待测物品数目为：3×3×3×3＝81个。 【详解】3×3×3×3＝81（个） 答：待测物品的数目最多是81个。 20．能；3次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】先把27个乒乓球分成（9、9、9），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中9个；再将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3个；再将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 答：能用天平把它称出来，至少称3次保证能找出这个次品球。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 21．82个；81个 【分析】因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数在82个与243个之间；第二堆零件需要称4次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【详解】第一堆零件需要称5次。 ＝9×9＋1 ＝81＋1 ＝82（个） ＝9×9×3 ＝81×3 ＝243（个） 第一堆零件的个数在82个与243个之间； 第二堆零件需要称4次。 （个） ＝9×9 ＝81（个） 则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 答：第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【点睛】此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。 22．3次 【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。 【详解】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中； 第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中； 第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品； 因此，至少称3次可以保证找出次品。 【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。 23．2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端； （1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作； （2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端； 若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副； 若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。 答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。 【点睛】本题主要考查找次品，关键注意每次取中药的数量。 24．3次，过程看详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把10盒分成两组，每组5盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组5盒分成三组，分别是2盒，2盒，1盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的一组2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边； 因此，即至少称3次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】天平秤的平衡原理，是解答本题的依据，关键是明确每次取饼干的盒数。 25．大于等于10个，小于等于27个 【分析】若干个乒乓球，其中一个较重的是次品，采用三分法可以最快找出次品。 【详解】当总数n个乒乓球里面只有一个次品时，下面给出至少需要称的次数； ，1次； ，2次； ，3次； ，4次； 所以，保证3次能找出次品，乒乓球的数量大于等于10个，小于等于27个； 答：这盒乒乓球可能大于等于10个，小于等于27个。 【点睛】当次品比正品重或比正品轻这个条件已知时，采用三分法是找出次品最便捷的方法，每一步都尽量三等分。 26．先将5笼包子编号为1号、2号、3号、4号、5号,然后分别从里面拿1个、2个、3个、4个、5个,再将这15个包子称重,看看跟正确的15个包子的总质量差多少,如果差10g,是1号;如果差20g,是2号;如果差30g,是3号;如果差40g,是4号;如果差50g,是5号。 【详解】【分析】先将5笼包子编号为1，2，3，4，5，然后分别从里面拿1个，2个，3个，4个，5个，然后15个称重，看看跟总重量差多少，如差10g，是第一笼；如差20g，是第二笼；如差30g，是第三笼；如差40g，是第四笼；如差50g，是第五笼； 【点评】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 27．三次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把10个乒乓球分成3份，即（3，3，4），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4个乒乓球分成2份， 第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就是较重的那2个；再把有次品的2个乒乓球分成2份， 第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较重的那1个。 答：最快三次找出那个球。 28．3次 【分析】先把11桶薯片分成（4，4，3），再分成（2，2，）或（1，1，1），最后分成（1，1），这样最少称3次能找到它；据此解答即可． 【详解】先把11桶薯片分成（4，4，3），每侧放4桶， 如果平衡，在剩下的3桶一定有一桶质量较轻，然后分成（1，1，1），称量2次即可找到质量较轻的一桶． 如果不平衡，上翘4桶中一定有一桶质量较轻的，然后分成（2，2），然后再把上翘的2桶，分成（1，1），这样称量3次即可找到质量较轻的一桶． 29．3次；首先把24枚平均分成3份 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【详解】把24枚平均分成3份，每份8枚； 第一次：天平两端各放8枚，如果平衡剩下的8枚中有次品，如果不平衡，上升那端的8枚中有次品； 第二次：把8枚分成3、3、2，在天平两端各放3枚，如果平衡剩下的2枚中有次品，如果不平衡，上升那端的3枚中有次品； 第三次：次品在2枚中或者在3枚中都能一次找出次品。 答：用天平称至少称3次保证找出这枚钻戒，首先把24枚平均分成3份。 【点睛】本题是一道关于找次品方面的题目，依据天平的平衡原理是解答本题的关键。 30．2次；见详解 【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】分析可知，把9袋奶粉平均分成3份，每份3袋奶粉，找出次品所在的组，再把该组奶粉平均分成3份，每份1袋奶粉。 答：至少称2次才能保证找出这袋次品。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 31．3次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将16箱分成（5、5、6），先称（5、5），只考虑最不利的情况，平衡，次品在6箱中；再将6箱分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2箱；再称1次即可确定次品，共3次。 答：最少要称3次。 【点睛】关键是掌握找次品的最优策略。 32．2次；图见详解 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【详解】先把9袋方便面平均分成3份，每份3袋，先拿其中两份进行称重，哪边轻次品就在哪边，将轻的那边的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋是次品； 如果重量相同，则次品在剩下的3袋里，再将剩下的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋就是次品。 所以至少要称2次。 作图如下： 【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放相等数量的方便面。 33．3次 【分析】把15分成（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品。据此解答。 【详解】15（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组， 再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次。 如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次。 所以至少3次保证可能找出这盒饼干。 答：至少3次保证可能找出这盒饼干。 【点睛】本题主要考查了学生根据天平的原理解答问题的能力。 34．3；见详解 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此设计方案即可。 【详解】答：方案设计如下：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次能确保找出少了3片的那一瓶。 【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。 35．把B、D两袋奶糖放在天平上称一次，如果D袋比B袋轻，那么按照从轻到重的顺序排列依次为：C＜D＜B＜A；如果D袋比B袋重，那么按照从轻到重的顺序排列依次为：C＜B＜D＜A 【详解】略 36．第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为150克。 【分析】由题可知，小芳和小丽合买了一袋500克的果糖，小芳只要150克，但天平只有一个100克的砝码，又限制分糖次数为两次。先将500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；然后在天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，最后在100克砝码那边加糖，使天平平衡。据此即可解答。 【详解】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为250－100＝150（克）。 【点睛】此题考查的是对解决实际问题的能力，理解分两次，利用天平两边平衡，100克的砝码是解题的关键。 37．2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】将8袋盐分成3份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。 所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 38．3次 【详解】根据生活常识可知，盐水要比普通的水重一些。 第一次先把16瓶水分成3份：5瓶、5瓶、6瓶，然后，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则盐水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续称量； 第二次，把较重的一份分成3份：2瓶、2瓶、1瓶（或2瓶），取2瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则盐水在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取较重的一份分别放在天平两侧，即可找到较重的盐水。 答：至少称3次才能保证找出加盐的那瓶水。 39．能；答案见解析 【分析】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，质量大的一端下沉，轻的一端上升；先用D和B比较，如果D比B重，则再用D与A比较；如果D比B轻，则用D与C比较，即可确定D球质量排在第几位。 【详解】答：能确定。 根据天平的特点，质量大的一端下沉，轻的一端上升。 先用D和B比较，如果D比B重，则再用D与A比较； 如果D比B轻，则用D与C比较，即可确定D球质量排在第几位。 【点睛】本题考查了利用天平判断物体质量大小的技能，解答本题的关键是先用D和B比较大小。 40．2次 【分析】把9分成（3，3，3），天平每边放3个，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在轻的一边（称第1次）；把有次品的3个分成（1，1，1），天平每边放1个，若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在轻的一边（称第2次）；据此解答。 【详解】把9块月饼随机分成3，3，3，三部分随机选取两组称，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在轻的一边； 把有次品的3个随机分成1，1，1，三部分，随机选取两组称若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在轻的一边； 所以至少称2次。 答：最少称二次就可以找到那块未达标的月饼。 【点睛】本题是一道找次品问题，需要结合找次品的方法进行求解。找次品的最优策略是：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 41．3次 【分析】找次品的最优策略有两点： 1.分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能平均分的，应让多的与少的一分只相差1，这样才能保证称的次数最少就能找出次品。 2.画“次品树形”分组图，例如8个产品中有一个次品，第一次称：分成3、3、2三组，将天平两端放3个一组的，若一样重则次品在剩下的2个中，若不一样重则次品在轻的一组中；第二次称：若是2个的分别再天平两端放一个，轻的一端就是次品；若是3个的，随便取2个进行称，若一样重则次品就是没选取的，若不一样重则轻的一端是次品。 【详解】第一次，分成三组即5、5、5，将其中的两组分别放在天平的两端，若天平平衡则不合格品在剩下的一组中，若天平不平衡则轻的一端含有不合格品； 第二次，将含有次品的组分成三组即2、2、1，将其中相同盒数的两组分别放在天平的两端：若天平平衡，则不合格品是剩下的一盒；则称2次即可找到次品。 若天平不平衡，则轻的一端含有不合格品；将两盒牛奶分别放在天平的两端，则轻的一端含有不合格品。则称3次即可找到次品。 答：用天平至少称3次才能找到这盒次品。 【点睛】掌握找次品的方法，最优策划是分成3组。 42．10个；27个 【分析】利用找次品的公式：当物品个数最多为时，n次即可找到这个次品，所以利用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个数为（3²＋1）~3³个，据此解答即可。 【详解】3²＋1 ＝9＋1 ＝10（个）； 3³＝27（个）； 答：这堆物品最少有10个，最多有27个。 【点睛】熟记找次品的公式是解答本题的关键。 43． 见详解 【分析】先任意拿两个硬币，分别放在天平的两边，会产生如下两种情况： 第一种情况：天平平衡，那么这两个是真币，把这两个一起放在天平的一边，把剩下的两个放在天平的另一边，这两个中有一个是伪币，这时天平不平衡，有伪币的那边天平偏低，则伪币比真币重，否则伪币比真币轻。 第二种情况：天平不平衡，则这两个中有一个伪币，把它们一起放在天平的一边，剩下的两个真币放在天平的另一边，这时天平不平衡，有伪币的那边天平偏低，则伪币比真币重，否则伪币比真币轻。 【详解】答：先任意拿两个硬币，分别放在天平的两边。如果天平平衡，那么这两个是真币，把这两个一起放在天平的一边，把剩下的两个放在天平的另一边，这两个中有一个是伪币，此时天平不平衡，若有伪币的那边偏低，则伪币比真币重，否则真币比伪币重。如果天平不平衡，则这两个中有一个伪币，把它们一起放在天平的一边，剩下的两个真币放在天平的另一边，此时天平不平衡，若有伪币的那边偏低，则伪币比真币重，否则真币比伪币重。 【点睛】在解决“找次品”此类问题时，应该注意合理分类，并将所有可能出现的情况考虑全面。 44．3次 【详解】略 45．2次 【详解】略 46．3次 【详解】略 47．3次 【详解】略 48．至少称5次，能找出那枚稍轻的珠子 【详解】试题分析：将珠子尽量平分成三份，按照找次品的规律，进行解答． 解： 分三堆，一堆65个，两堆66个． 第一次： 称66个的两堆， 如果一样重，轻的在65个那堆里， 不然就是66个中轻的那边． 第二次： 65个：分三堆， 一堆21个，两堆22个， 可称出轻的要么在21个里面，要么在22个里面． 66个：平分三堆，每堆22个，可称出轻的来． 第三次： 21个： 平分成三堆,一堆7个，可称出轻一堆． 22个: 分三堆，一堆6个，两堆8个，可称出轻的要么在6个里面，要么在8个里面． 第四次： 6个:分三堆,一堆2个, 可称出轻的一堆． 8个:分三堆,一堆2个，两堆3个, 可称出轻的要么在2个里面，要么在3个里面． 7堆：分三堆，一堆1个，两堆3个． 第五次： 2个:可称出轻的． 3个:两边相等, 另一组轻，不然就是轻的那边轻． 所以至少称5次，能找出那枚稍轻的珠子． 49．能；3次 【分析】有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，我们把这1袋不是400克的糖称为次品。 将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较，即可得出次品在哪一份中；再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较，即可得出次品在哪一份中；最后将含有次品的2袋，任取一袋，称重与400克作比较，即可得出次品为哪一袋。 【详解】第一次称：将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较。如果这一份重量是1600克，则次品在未称重的4袋中，如果这一份重量不是1600克，则次品在称重的这4袋中。这样次品被锁定在了4袋中。 第二次称：再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较。如果这一份重量是800克，则次品在未称重的2袋中，如果这一份重量不是800克，则次品在称重的这2袋中。这样次品被锁定在了2袋中。 第三次称：将含有次品的2袋，任取1袋，称重与400克作比较，如果这一份重量是400克，则次品是未称重的那一袋，如果这一份重量不是400克，则次品就是称重的这一袋。这样次品被找到了。 因此，总共称3次就能找出来。 【点睛】本题考查找次品，关键是次品不知轻重，但是知道非次品的标准重量，本题可通过称重的比较的方式进行求解，会比常规找次品解法更简洁明了。 50．答案见详解。 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】先拿4袋，放在天平的左、右两边各2袋，如果平衡，那么剩下的那袋就是要找的；如果不平衡，那么重的那边有要找的，把重的那边的2袋分别放在天平两边再称一次，就能找到重的那袋。 【点睛】此题考查找次品问题的解决方法，在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品，注意目标量是轻一点还是重一点。 51．3次 【详解】第一次，把10盒奶片分成3份：3盒、3盒、4盒，取3盒的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则被吃的一盒在未取的一份，若天平平衡，取较轻的一份继续称量。 第二次，取含有被吃一片的一盒（3盒或4盒），分成3份：1盒、1盒、1盒（或2盒），取1盒的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则，被吃掉一片的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一盒。 第三次，取含有较轻的一份（2盒），分别放在天平两侧，即可找到较轻的一盒。 答：只称3次就可以保证找出少了一片的那一盒来。 52．（1）3次 （2）有可能，因为如果在天平的左右两侧各放9盒，天平正好平衡，那么最后剩下的一盒就是次品。 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】（1）至少称3次能保证将这盒产品找出来。 （2）有可能，因为如果在天平的左右两侧各放9盒，天平正好平衡，那么最后剩下的一盒就是次品。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 53．能 【分析】将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。 【详解】由分析可得：将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。 答：能一次称出哪袋装的是每锭9两的金子。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $