广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期数学周测试题（5.2）

广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期 数学周测试题（5.2） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．若集合，则集合A的真子集有（    ）个. A．7 B．15 C．31 D．63 2．已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 5．若函数的值域为，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 8．已知动点P和定点A，B，有下列使得P的轨迹存在的条件：（a）P到A，B的距离之和为定值；（b）P到A，B的距离之差为定值；（c）P到A，B的距离之积为定值；（d）P到A，B的距离之比为定值；（e）若P到A，B的距离平方差为定值，且定值不等于．又有下列结论：①P的轨迹是椭圆；②P的轨迹是圆；③P的轨迹是中心对称图形或轴对称图形；④P的轨迹垂直于AB；⑤一定存在两圆，使得P的轨迹是这两圆的公切线．则下列条件和结论匹配全都正确的有（    ） A．①；③；③；②；⑤ B．③；②；③；②；③ C．③；③；③；③；⑤ D．③；③；⑤；③；④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中正确的是（  ） A．已知随机变量，则 B．已知随机变量， C．数据，，，，，，的第百分位数是 D．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 10．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．的离心率为 C．点到轴的距离为 D． 11．设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在多项式的展开式中，含项的系数为 . 13．设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则 . 14．已知函数，当，恒成立，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（本题满分13分）数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前50项和. 16.（本题满分15分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 17．（本题满分15分）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值． 18．（本题满分17分）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 19．（本题满分17分）已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期 数学周测试题答案 1．【答案】C【详解】由题意可知：集合，共5个元素， 所以集合A的真子集有个. 2．【答案】C【详解】因为复数在复平面内的对应点为，所以， 则，所以的虚部为， 3．【答案】D【详解】向量，， 若，则，解得，所以， 可得，. 4．【答案】D【详解】， 所以，即，即， 由题意，所以解得满足题意， 故. 5．【答案】C【详解】当 时， 当 时， 要使 的值域为 则 ， 6．【答案】C【详解】解：因为，所以，又，所以，所以的最小值为. 7．【答案】C【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ，解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确. 8．【答案】C【详解】（a）P到A，B的距离之和为定值，则定值．若定值，则P的轨迹为线段AB，若定值，则P的轨迹为椭圆，故（a）与③匹配； （b）P到A，B的距离之差为定值．则P的轨迹为双曲线，故（b）与③匹配； （c）P到A，B的距离之积为定值．设，，，则有，化简得，故（c）与③匹配； （d）P到A，B的距离之比为定值．设，，，则有或，化简得或，当时，P的轨迹为，当时，P的轨迹为圆，故（d）与③匹配； （e）若P到A，B的距离平方差为定值，且定值不等于．设，，，则有，化简得，其中，故（e）与⑤匹配． 9．【答案】ABC【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为随机变量，所以，故B正确； 对于C，因为，所以数据的第百分位数是，故C正确； 对于D，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为， 则甲乙组成的总体样本的方差为， 故D不正确. 10．【答案】ACD【详解】如图，设，，延长交于点. 由题意知，为的中点，则为的中点， 又，所以是等边三角形， 则化简得即 在中，由余弦定理得， 所以，即. 因为，所以，，所以，，故B错误. 的面积为，故A正确. 设点到轴的距离为，所以，则，故C正确. 因为是的平分线，所以， 所以， 则，故D正确. 11．【答案】BCD【详解】对于A，由于，故 .所以，从而对有，所以是的极大值点，故A错误； 对于B，当时，由于，故 ， 且由，，可得. 故B正确； 对于C，当时，由于，故由，可知 ， 所以，故C正确； 对于D，当时，有，故 ，所以，故D正确. 12.【答案】【详解】由多项式，即为，要得到项，结合组合的运算，可得项为，所以项的系数为. 13．【答案】6【详解】由已知得，准线，设，则， 因为直线倾斜角为，所以直线的斜率， 即，解得，因为在抛物线上，代入得， 所以， 14．【答案】1【详解】令，则，， 当，恒成立，则有，，由得，因为任意的，都有，所以，， 结合，得. 当时，，令，，则， 由得，；由得，； 所以在上递减，在上递增，的最小值为， 由，得，对恒成立.所以， 取，恒成立.综上可知，的最大值为1. 15．【详解】（1）当时，；.......1 当时，，得，.........3 所以，又，.............4 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列...........5 得，即．.........6 （2）由题意得，在新数列中，从到，共插入了项， 共项...............8 当时，；当时，，............9 所以，在新数列前50项中，有的前9项，新插入的等差数列前41项.......10 ． .................13 16.解　(1)由题意得，X的所有可能取值为0,20,100，...........1 P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.......4 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 ................6 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4..........8 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100，...........9 P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，..............12, 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 ...............13 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6..........14 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．..15 17．【详解】（1），由正弦定理得 ，......1 又，...........2 所以， 由整理得，...........3即，..........4 解得，又，............5 所以，即；...........6 （2）方法一：目标转化为边的表达式，然后求最值 由余弦定理，得①，...........7 由得，即， 解得．...........8 下面用三种方法求的取值范围．.............11 思路1：用余弦定理切入． 因为为锐角三角形，所以，即，将①代入得， 同理，由，得，故． 思路2：用正弦定理切入． 因为为锐角三角形，所以 解得， 由正弦定理得． 思路3：用极限方法求解． 因为为锐角三角形，当时，；当时，；故． 接下来换元构造函数求最值． 设，则．设，..12 则，由得，又， 所以，由得， 所以在单调递增，在单调递减，..........14 故．所以．.......15 或者齐次化不等式处理 由得，.........7 两边平方得，....8 令，..........11..........................12 ，.........13 则，当即时等号成立，...........14 故的最大值为．..........15 方法二：正弦定理函数处理 由，得，..........7 两边平方得．...........8 又因为，则，.........9 代入得．...........11 又因为为锐角三角形， 所以，解得，..........12 当即时，的最大值为，..........14 所以．..........15 18．【详解】（1）当时，，则，......1 故，........2 故在处的切线方程为..........3 （2），........4 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减，..............6 当时，在上恒成立，故此时在单调递增，........7 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减，..............9 当时，，故在的单调递减，在单调递增，............10 当时，令，解得，令，解得， 故此时在的单调递减，在单调递增，...........11 （3）， 令，则，.........12 记，则，...........13 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，..........14 且，当时恒成立，..............15 要使有两个零点，则由两个交点， 故，解得..............17 19．【详解】（1）由题意可设双曲线：（，），.......1 则解得，........2所以双曲线的方程为........3 （2）如图所示，①为定值.理由如下： 由题意知，， ，设，，直线的方程为，...4 由消元得，...5 则，，且，....6 所以，........7 所以， 故为定值......11 ②由①知，，设直线的斜率为，则，.........12 又，所以，所以 又，，所以，.........13 由可得，即，又，所以（舍），.......14 所以直线的方程为.............15 由可得：，即点的纵坐标为，............16 所以..............17 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法： （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． （3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 学科网（北京）股份有限公司 $