利用导数研究隐零点问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用中的隐零点问题，整合导函数零点不可求时的“特值试探”“虚设代换”策略，按证明不等式、判断零点个数两大题型构建知识体系，通过知识梳理、方法指导、例题精讲、分层练习四个环节，帮助学生突破导数综合题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，设计“虚设零点代换”“单调性分析”等解题策略，如证明不等式时引导学生通过隐零点建立等量关系，培养逻辑推理与模型建构能力。课后作业分基础与综合层次，配合真题演练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

利用导数研究隐零点问题 知识梳理 导函数的零点不可直接求时的应对策略 （1）“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． （2）“虚设和代换法”：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为，接下来通常有两个方向： ①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题； ②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 题型一 利用隐零点证明不等式 规律与方法：导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用函数零点存在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的合适范围． 例1．用隐零点证明不等式： 【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答. 【详解】令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增， 而，，则存在，使得，即，有， 当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以. 练习： 1.已知函数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】 构造函数，求导分析函数的单调性可得函数在区间上单调递增，再根据零点存在性定理可得存在使得，从而有，再代入证明即可. 【详解】证明：. 设，，则. 设，则， 故函数在区间上单调递增． 因为，， 所以存在使得， 所以，即，则. 当时，；当时，， 故函数的最小值为， 所以， 所以. 2.用隐零点证明 证明: 要证明左边大于右边, 只需证明左边的最小值大于右边即可 然后求导 , 单增, , 因此 存在零点, 有一个极小值 设 的零点为 (1), 两边同时取自然对数, (2) 将(1)、(2)带入 , 得 , 证毕 3.已知函数.若对任意，都有（e为自然对数的底数），求证：. 【答案】证明见解析 【分析】构造函数求导求最小值来证明本题，零点难求出时，设隐零点的方式即可证得. 【详解】设，则， 设，则，显然方程有唯一解， 因为在上单调递增， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以. 题型二 利用隐零点判断零点个数 规律与方法：用导数研究函数零点个数问题，主要是由导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得零点个数． 若遇到隐零点问题，则需要仔细分析导函数的图像及原函数的图像，注意端点及特殊点。 例2．设函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)记，若，试讨论在上的零点个数． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）令，二次求导可得，可得在上单调递增，在上单调递减，结合已知可得，使得，即可得的单调性，进而可得结论. 【详解】（1），所以，又， 所以的图象在处的切线方程为． （2）由已知得，所以， 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 练习： 1.已知函数，曲线在的切线为． (1) 求a，b的值； (2)求证：函数在区间上单调递增； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 【解析】（1），则有，解得， ，则. （2）由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. （3）因为，令， 令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得， 即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以， 当时，，， 则，则函数的零点个数为0. 2.（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，判定函数零点的个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)有且只有一个零点，理由见解析 【分析】（1）利用导数分类讨论含参函数的单调性即可； （2）利用导数分析函数的单调性，从而求出极值，即可判断函数的零点个数. 【详解】（1）由题知，. 当时，当时，；当时，， 在区间上是㺂函数，在区间上是增函数； 当时，；当或时，；当时，； 在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数； 当时，；当或时，；当时，； 在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 综上所述，当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数. （2）由（1）知，，定义域为， ，设， 在区间上是增函数， 存在唯一，使，即， 当时，，即；当时，， 即；当时，，即， 在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数， 当时，取极大值为， 设，其知在区间上是减函数. 在内无零点， 在内有且只有一个零点， 综上所述，有且只有一个零点. 3.已知函数 (1)函数为的导函数，讨论当时的单调性； (2)当时，证明：存在唯一的极大值点. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）由导数分析单调性求解， （2）由导数分析单调性，及零点存在性定理证明． 【详解】（1），设，则. 当时，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：当时，，， 由（1）可知的最小值为，而，又， 由函数零点存在定理可得存在使得，又在上单调递减， 所以当时，，当时，，故为的极大值点， 又在上单调递增，故在上不存在极大值点， 所以存在唯一的极大值点， 课后作业 基础题组练 1.（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．e 【答案】D 【分析】利用导数分别判断出、的单调性，求出零点可得答案. 【详解】令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又当时，， 而，所以； 由，得，所以在单调递增， 由，得，则. 故选：D. 2．若不等式对恒成立，则整数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以问题转化为对任意恒成立. 令，则, 令，则对恒成立， 所以在上单调递增. 因为， 故，使得.因此当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增. 故，所以整数的最大值为2 .故选：B. 3． 设，，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】先令，求导得，利用导数研究单调性，进而得到函数的单调性，根据最值即可得证. 【详解】证明：令， 则， 则恒成立，所以在上单调递增， 又， 所以存在使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以即. 4．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)记，若，试讨论在上的零点个数． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）令，二次求导可得，可得在上单调递增，在上单调递减，结合已知可得，使得，即可得的单调性，进而可得结论. 【详解】（1），所以，又， 所以的图象在处的切线方程为． （2）由已知得，所以， 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 综合提升练 5．已知函数． （1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围． 【解析】（1），令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值． （2）由题知，在上恒成立， 令，则，因为，所以． 设，易知在上单调递增．因为，， 所以存在，使得，即． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，从而，故的取值范围为． 6.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解. 【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ， ， 即， (i)若，则在定义域上恒成立， 此时函数在上单调递增； (ii) 若， 令，即，解得, 令，即，解得, 所以在上单调递减，上单调递增. 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，上单调递增. （2）当时，， 要证明，只用证明， 令，， 令，即，可得方程有唯一解设为，且， 所以， 当变化时，与的变化情况如下， 单调递减 单调递增 所以， 因为，因为，所以不取等号， 即，即恒成立，所以，恒成立，得证. 7.（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0． (1)证明：函数在上单调递增； (2)设，若，判断函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)3个零点 【分析】（1）先根据导数几何意义求出，结合导数符号证明单调性； （2）通过多次求导判断出的单调性，结合零点存在定理可判断在上有唯一零点，从而可得在上的零点个数. 【详解】（1）依题意，，                         因为曲线在处的切线斜率为0， 所以，即．                     所以， 故函数在上单调递增． （2）由（1）得，所以 故，设， 则，设，则， 当时，，所以单调递减，             因为，所以当时，从而函数即单调递减， 又， 从而存在唯一，使得， 且当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 而， 故存在唯一，使得．                     因为是奇函数，且， 所以函数有3个零点． 8.已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【详解】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 9.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)证明：当时，没有零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数后计算斜率，再计算，然后写出切线方程，求出其在坐标轴上的截距后可得三角形面积； （2）求出导函数，引入新函数，由导数确定的零点的存在，从而得出的正负，得的最小值，然后证明这个最小值大于0即可证． 【详解】（1）当时，． ， 故曲线在点处的切线方程为， 即． 因为该切线在x，y轴上的截距分别为和， 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积． （2）当时，因为，所以， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 又， 故在上有唯一的零点，即，因此有． 当时，，即；当时，，即． 所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值． 由，得， 所以在时，， 因为，所以，又因为当时，，所以． 所以． 因此当时，没有零点． 10.已知函数，若的最小值为0， (1)求的值; (2)若，证明:存在唯一的极大值点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况讨论求解即可； （2）令，求导后可得在递减，递增，再结合零点存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零点，从而得是唯一的极大值点. 【详解】（1）， 当时，，所以在上递减，则没有最小值， 当时，由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得最小值，得成立， 下面证为唯一解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以方程有且只有唯一解， 综上，； （2）证明:由（1）知， 令， 当时，，当时，， 所以在上递减，上递增， 因为， 所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零点， 所以当或时，，即， 当时，，即， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 即是唯一的极大值点， ， 由，得， 所以， 因为，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数研究隐零点问题 知识梳理 导函数的零点不可直接求时的应对策略 (1)“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数 的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决， (2)“虚设和代换法”：'(x)当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为x ,接下来通常有两个方向： ①由f'(x)=0得到一个关于x,的方程，再将这个关于x,的方程的整体或局部代入f(x),从而求得f(x),然后 解决相关的问题； ②根据导函数∫'(x)的单调性，得出x,两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解. 题型一利用隐零点证明不等式 规律与方法：导函数方程'(x)=0的根存在，却无法求出，利用函数零点存在定理，判断零点存在，设方程 (x)=0的根为，则①有关系式f'(x)=0成立，②注意确定x的合适范围. 例l.用隐零点证明不等式：e-2>lnx 练习： 1.已知函数f(x)=lnx+x,求证：fx)≤xe-1. 2.用隐零点证明e-2lnx>4-2ln2 y 3.已知函数f(x)=nx+a.若对任意xe(0,+o),都有e-≥f(x)(e为自然对数的底数)，求证：a≤1. 题型二利用隐零点判断零点个数 规律与方法：用导数研究函数零点个数问题，主要是由导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得零点个数 若遇到隐零点问题，则需要仔细分析导函数的图像及原函数的图像，注意端点及特殊点。 例2.设函数f(x=esinx. (1)求fx)的图象在0，f(0)处的切线方程； (2)记gx=f(x-ax,若0<a≤1，试讨论gx)在(0，π上的零点个数. 练习： 1已知函数闭=am-,曲线y=f)在00)的切线为y=+1. (1)求a,b的值；（②）求证：函数在区间(L,+o)上单调递增： (3)求函数f(x)的零点个数，并说明理由. 2 2.(2023陕西咸阳模拟预测)已知f=(x-)2e-gx2+ar(x>0(aeR). 3 (1)讨论函数∫(x)的单调性： (2)当a=0时，判定函数g(x)=f(x)+lnr- 岁点的个数，并说明理由， 3.己知函数fx=e-1-ar2 (1)函数f'(x)为f(x的导函数，讨论当a>0时f'(x的单调性： (2)当a=1时，证明：f(x)存在唯一的极大值点 3 课后作业 基础题组练 1.(2025黑龙江齐齐哈尔.三模)己知x,是函数f(x=xnx-e的零点，x2是函数gx=x+lnr-1的零点，则xx2的 值为() A. B.1 C.e D.e e 2.若不等式(x-m)e-1+x+1>0对x∈(0，+o)恒成立，则整数m的最大值为() A.1B.2C.3D.4 3.设fx)=e",g(x=lnx,证明：xfx≥x+gx+1; 4.(2025河北秦皇岛·三模)设函数f(x=e*sinx. (1)求fx的图象在(0，f(0)处的切线方程； (2)记gx=f(x-ax,若0<a≤1，试讨论gx在(0，π上的零点个数. 综合提升练 5.己知函数f(x=x-1e. (1)求f(x)的最值；(2)若f(x)+e≥nx+x+a对x∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R). (I)求函数y=f(x)的单调区间；(2)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+e*>x2+x+2. 7.(2025·安徽模拟预测)已知函数f(x)=ax+sinx,曲线y=f(x)在（元，f(π》处的切线斜率为0. (1)证明：函数∫(x)在R上单调递增； 5 2设g)=mx+/),若m≤-，判断函数g)的零点个数 8.已知函数f(x=lnr+a-l,aeR. (1)若fx≤x,求a的取值范围： 2)当ae(0,时，证明：fxsx-e ea 9.已知函数f(x)=ae-ln(x+)-1. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)证明：当a>1时，f(x)没有零点. 10.已知函数f(x)=ax-lnx-a,若f(x)的最小值为0， (1)求a的值； 2诺g=,证明：g存在唯的极大值点。，且8x,)<