2026年中考数学压轴题专题21 二次函数与三角函数综合问题

专题21二次函数与三角函数综合问题 典例剖析。 【例1】(2025·泰安二模)抛物线y=x2-2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B. D B B C O x 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②如图1，直线CDB交揽物线于C,D两点，若9求ACOD的面租 (3)如图2，已知(2)中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P,使得 tan ZPC0=2,若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由 【例2】(2025·江岸区校级模拟)抛物线y=ax2+c(a>0)与x轴交于A、B两点，与y轴 交于C点，且0B=20C,SA4Bc=2. (1)如图1，求抛物线的解析式： 3,求 (2)如图2，若M(-4,m),N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且an∠OMN= N点坐标； (3)如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称，直线DB、 EB分别交直线x=-1于G、Q两点，GQ交x轴于P,求PG-PQ的值. y D Q y M B C B 图2 图3 【例3】(2025·沈阳模拟)如图1，直线y=-x-3分别交x轴，y轴于点B,C,经过点B ,C的抛物线y=x2+bx+c交x轴正半轴于点A. B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，D是第三象限内的抛物线上动点，DE/y轴交直线BC于点E,若△CDE是 等腰三角形，求点D坐标； (3)F是抛物线的顶点，直线BC上存在点M,，使tan∠FMO= 1 请直接写出点M坐标。 【例4】(2025·湖北)抛物线y=x2-4x与直线y=x交于原点0和点B,与x轴交于另一 点A,顶点为D. (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)如图1，连接0D,P为x轴上的动点，当an∠PD0=时，求点P的坐标； 2 (3)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为 m(0<m<5),连接MQ,BQ,MQ与直线0B交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为 S和S,求三的最大值 S. B M A 图1 图2 【例5】(2025·南充)抛物线y=二x2+bx+c与x轴分别交于点A,B(4,0),与y轴交于点 C(0,-4). (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，口BCPQ顶点P在抛物线上，如果口BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有 且只有三个，求点P的坐标. (3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在M0延长线上，OM=20N,连接BN 并延长到点D,使ND=NB·MD交x轴于点E,∠DEB与∠DBE均为锐角， tan∠DEB=2tan∠DBE,求点M的坐标. M E O D 图1 图2 【例6】(2025·无锡》已知二次函数y=-xr+bx+c图象的对称轴与x轴交于点4L,0), 图象与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧）， 且∠CAD=90°. (1)求该二次函数的表达式； (2)若点C与点B重合，求tan ZCDA的值； (3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请 求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. Ay 3 满分训练 一.解答题（共20题） 1.(2025秋·工业园区期中)已知抛物线y=ax2-2a.x+c的图象与x轴交于A、B两点（点 A在点B的左侧)，与y轴正半轴交于C点，顶点为M,直线MD⊥x轴于点D. (1)当a>0时，知0C-子MD,求4B的长： (2)当a<0时，若0C=OB,tan ZACB=2,求抛物线的解析式； y y 0 O x 2.(2025春·德化县期中)在平面直角坐标系xOy中，经过原点0的抛物线 y=ar2+bx+c(a>0)与x轴的正半轴交于点A(2m,0),P为抛物线的顶点，且 tan /OAP=2. （1)己知m=2. ①求二次函数的解析式： ②直线1：y=kx+b平行于AP,且将△OAP分成面积相等的两部分，求直线1的解析式. (2)若Q为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线AQ交对称轴于点B,点B，C 关于点P对称，求证：直线CQ过定点 3.（2025秋·朝阳区校级期中)如图，已知抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点 C(0,3),与x轴交于点A、B, (1)若点A的坐标为(3,0)： ①求该抛物线的解析式. ②tan∠CB0=; ③点D是线段AB上的动点.过点D作DE/IAC,交线段BC于点E,连接CD,设点D的 横坐标为，△CDE的面积为S,求S关于m的函数关系式；当△CDE的面积最大时，求 点D的坐标； (2)已知M(1,y,)、N(2,2)是抛物线上两点；将抛物线上位于M、N两点间的部分记 为G；把G的最高点与最低点的纵坐标的差记为d,当2d5时，求a的取值范围 B y 4.(2025长春模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ar-3a(a≠0)的顶点为P, 且该抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）.我们规定抛物线与x轴围成的封 闭区域称为“区域G”(不包括边界)；横、纵坐标都是整数的点称为整点. (1)如果抛物线y=ax2-2ax-3a经过点(1,3). ①求a的值； ②直接写出“区域G”内整数点的个数； (2)当a<0时，如果抛物线y=ar2-2ax-3a在“区域G”内有4个整数点，求a的取值 范围； (3)当a>0时，抛物线与直线x=a交于点C,把点C向左平移5个单位长度得到点D, 以CD为边作等腰直角三角形CDE,使∠DCE=90°，点E与抛物线的顶点始终在CD的两 侧，线段DE与抛物线交于点F,当tan∠ECF=2时，直接写出a的值， 5.(2025·长沙二模)如果三角形的两个内角a与B满足2a+B=90°，那么我们称这样的 三角形为“CJ三角形”. (1)判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是， 请在对应横线上画“×”： ①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 ②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 ③其中有两内角分别为70°，100°的三角形一： (2)如图1，点A在双曲线y=k>0)上且横坐标为1，点B4,0),C为0B中点，D为 y轴负半轴上一点，若L0AB=90°. ①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”： ②若△OAB与△0BD相似，直接写出D的坐标； （3)如图2，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,E为BC边上一点， BE>CE且△ABE是“CJ三角形”，己知A(-6,0),记BE=t,过A,E作抛物线 y=ar+bx+c(a>0),B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ=, t-3 ，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y=ax2+bx+c的解析式. y B 图1 图2 6.如图，抛物线y=ar2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C, 点F是抛物线上一动点，过点B,C作直线BC. (1)求抛物线的解析式及tan∠CB0的值： (2)当点F到直线8C的距离为2时，求点F的坐标， (3)过点F作FE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,若∠FCD+∠AC0=45°，求点F的 坐标. 备用图① 备用图② 7.(2025·中山市三模)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点C,抛物线的对称轴为直线x=1,点A(-1,0),过B的直线交y轴于点D,交抛物线于 E,且tan∠EBA=4 3 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线第四象限的图象上找一点P,使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标； (3)点M是线段BE上的一点，求AM+4ME的最小值，并求出此时点M的坐标。 y E M B A x 8.(2025·松江区校级模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B分别在x的正半 轴和y的正半轴上，tan ZOAB=3,抛物线y=x2+mx+3经过A、B两点，顶点为D. (1)求抛物线的表达式： (2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C,若点P在平移后的抛物线上，且 满足∠ACP=∠AB0,求点P的坐标. B 9.（2025·沈阳模拟)如图，已知点A(-4,0),点B(-2,-1),直线y=2x+b过点B,交y轴 于点C,抛物线y=ar+15x+c经过点A,C. 4 (1)求抛物线的解析式： (2)D为直线AC上方的抛物线上一点，且an∠ACD=4,求点D的坐标； (3)平面内任意一点P,与点0距离始终为2，连接PA,PC·直接写出PA+PC的最 2 小值. B B 图1 备用图 10.(2025春·西山区校级月考)已知对称轴为直线x=3的抛物线经过4-1,0)，C(0,-4)两 点，抛物线与x轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P为第四象限抛物线上一点，连接OP,BC交于点D,连接BP,求 SAPBD 的最大值； SAOBD (3)如图2，若点Q为抛物线上一点，且当tan∠BCQ=三，求点Q的坐标. 4 y A 0 d B 图1 图2 11.(2025春·汉川市校级月考)如图，在平面直角坐标系中，顶点为 A(2cos60°，-√2sin45)的抛物线经过点B(5,3),且与x轴交于C,D两点（点C在点D的 左侧). (1)求抛物线的解析式： (2)求tan∠A0B的值； (3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=OAB,当△DMN与 △OAB相似时，求点M的坐标. A 12.(2025秋·道里区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线 y=x+3交x轴于点A,y轴于点D,抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A,B两点，交y轴 于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t,连接AP、DP,△APD的面积为s,求s关 于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围） (3)在(2)的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E,且 LEPD=2LPDC,过点E作EF⊥PD交PD于G,y轴于点F,连接PF,若 sm∠PrC=号，求线段PF的长. 13.(2025·荆门模拟)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点 C,顶点D的坐标为(1，-4). (1)求抛物线的解析式： （2)如图，点P(m,)在第一象限的抛物线上，且m+n=9,求点P的坐标；在线段PA上 确定一点M,使DM平分四边形ACDP的面积，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接OQ、AQ,设△AOQ的外心为H,当 sin∠OQA的值最大时，请直接写出点H的坐标. y D 备用图 14.(2025春·磐安县期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A1,0), B(9,0),与y轴交于点C,己知∠0AC=∠0CB. (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点P在y轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点Q,满足∠AQP=90°？ 如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)若点P在y轴上，满足sin∠APB=的点P是否存在？如果存在，请求出点P的坐标， 3 如果不存在，请说明理由. B 15.(2025·合肥模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交 于点A(-2,0),84,0),与直线y=3 )x+3交于v轴上的点C,直线y=一亏x+3与x轴交于 点D (1)求该抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接PC、PD,当△PCD的面积最大时， 求点P的坐标； (3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线1，点E是直线1上一点，连接0E 、BE,若直线I上存在使si∠BEO最大的点E,请直接写出满足条件的点E的坐标；若不 在，请说明理由。 y D 16.(2025·高州市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点. (1)求该抛物线的解析式. (2)如图1，连接AD,交y轴于点E,点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD 交x轴于F,连接EF、AP，若SMDP=3SEF,求点P的坐标. (3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ,设△AOQ外接圆圆心为H,当 sin∠OOA的值最大时，请求出点H的坐标. y F A C C D D 图1 图2 17.(2025·夏津县模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点，且 01=208,与)轴交于点C,连接8C,抛物线对称轴为直线xD为第一象限内抛物 线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为. (1)求抛物线的表达式： (2)当线段DF的长度最大时，求sin ZDCF的值； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点G是坐标平面内的一点，是否存在点P,使得以点 P,B,C,G为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请 说明理由. 备用图 18.(2025·黄冈模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交点为 A(-4,0)、B1,0),与y轴交于点C,P为抛物线上一点，过点P作PD1AC于D, D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E,交AC于F. ①求sin∠PFD的值； ②求线段PD的最大值. (3)如图2，连接PC,当△PCD与△AC0相似时，直接写出点P的坐标. 19.(2025·广东模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点， (1)连接AD,交y轴于点E,P是抛物线上的一个动点， ①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F,连接EF、AP,若 SMADP=3 SADEF,求点P的坐标 ②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G,设w=S©，则w有 SABGP 最大值还是最小值？w的最值是多少？ (2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N,过点P作 PM⊥x轴，垂足为I,交圆N于点M,点P在运动过程中线段M是否变化？若有变化， 求出MI的取值范围；若不变，求线段MI长度的定值. (3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ,设△AOQ外接圆圆心为H,当 sin∠OQA的值最大时，请直接写出点H的坐标. B x B 图 图 图三 备用图 20.(2025·瓯海区校级自主招生)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点0出发，沿x轴 向右以每秒一个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P. (1)求c,b(用t的代数式表示)： (2)抛物线y=-x2+bx+c与直线x=1和x=5分别交于M,N两点，当1>1时， ①在点P的运动过程中，你认为si∠MP0的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变， 求出sin∠MP0的值； ②△MPN的面积S与t的函数关系式； ③是否存在这样的t值，使得以O,M、N,P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出 t的值；如果不存在，请说明理由. 典例剖析 【例1】（2025·泰安二模)抛物线y=x2-2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B. D B B C y A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： 2)如图1，直线CD4B交揽物骏于C,D两点，若=子求ACOD的面积 (3)如图2，己知(2)中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P,使得 tan∠PC0=2,若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由. 【分析】(1)根据b2-4ac=0,求得m的值，从而得出抛物线的解析式： (2)以CD为斜边作等腰直角三角形DEC,设C(t,t2-21+1),从而表示出 D(1-3,12-21+4),将点D坐标代入抛物线的解析式求得t的值，进而求得C,D两点坐标， 进一步求△C0D的面积； (3)作直角三角形COE,使LC0E=90°，作CG⊥x轴于G,作EF⊥x轴于F,可证得 △COG∽△0EF,进而求得点E的坐标，进一步求得CE的解析式，进一步可求得结果. 【解答】解：(1)由题知， b2-4ac=(-2)2-4×1×m=0, m=1, .y=x2-2x+1; (2)如图1， D c E人 F X 图1 由题意得：0A=0B=1, :△A0B是等腰直角三角形， 以CD为斜边作等腰直角三角形DEC, CD=34B=32, :DE-CE =3, 设C(,t2-2t+1), D(t-3,t2-21+4), :D为抛物线上， (t-3)2-2t-3)+1=t2-21+41=2, t=2, 当1=2时，y=22-2×2+1=1, .C(2,1), .D(-1,4), 延长DE交x轴于G,作CF⊥x轴于G, 2x1x4=9 -Sao=5s3w-5w-5ww-1+4到x3-2x1 (3)如图2， 图2 作直角三角形C0E,使LC0E=90°，作CG⊥x轴于G,作EF⊥x轴于F, LEF0=LCG0=90°，LC0G+LE0F=90°， L0CG+LC0G=90°， :ZOCG=ZEOF .△C0G∽△0EF, 0F-5-0E-2, CG OG OC :0C=√5， 0E=2V5,0F=2,EF=4, E(-2,4), :CE的解折式为：y=子+： 由x2-2x+1= 3 x=2(舍取)，x=。 4 当x=3时，y=(3-y= 3 4 4 16 r8 【例2】(2025·江岸区校级模拟)抛物线y=ax2+c(a>0)与x轴交于A、B两点，与y轴 交于C点，且0B=20C,SA4Bc=2. (1)如图1，求抛物线的解析式： (2)如图2，若M(-4m),V是拖物线上两点，N在对称轴右侧，且an∠ON=,求 N点坐标； (3)如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称，直线DB、 EB分别交直线x=-1于G、Q两点，GQ交x轴于P,求PG-PQ的值. 12 6 y M C 0 B B X 图1 图2 图3 【分析】(1)如图1，连接4C、BC,可求得：A--ac, a 0.B(ac ，0),C(0,c), 再结合S4Bc=2,建立方程求解即可得出答案； (2)过点M作MF⊥x轴于点F,过点0作0G10M,使OG=OM,过点G作 GH1:轴于点H,知图2，可证明AG0H040MF,利用O-阳8C求得G0身： MF OF OM 运用待定系数法求待直线MG的解析式为yx+联立方程组求解可得N 8.；如 图2，在0G的反向延长线上截取OK=OM,连接MK交抛物线于点N',同理可求得 3 (3)设D(m,二m2-),则E(-m,二m2-1)，利用待定系数法可得直线BD的解析式为 y=m+2x-m+2,得出G-L-3m+6,同理可得：直线8E的解析式为 4x- 2 4 二mx+m,2,Q13m,再由P-,0,即可求特PG-Pg的值为 4 【解答】解：(1)如图1，连接AC、BC, 抛物线y=ax2+c(a>0),令x=0,得y=c, C(0,c), 0C=-c, 令y=0,得ax2+c=0, 解得：x=±V-ac， a .A(-V-ac 0),BV-a -，0, a a ..OB=V-ac a :0B=20C,AB=20B=2√-aC a a ∴c=-0. 4 SMBC =2, ,12N-acx(-c)=2, c=-4a②， 把②代入①，得ax(-4w)=-} 4 解得：a=或a=-(不符合题意，舍去)， 4 4 1 .∴.c=-4×-=-1, 4 抛物线的解折式为)=子-1： (2)过点M作MF1x轴于点F，,过点0作0G1OM,使OG=OM,过点G作 GH⊥x轴于点H,如图2， 点M(-4,m)在抛物线y=x-1上， m=4×(-4-1=3, 1 .M(-4,3), :MF⊥x轴， MF=3,0F=4,∠0FM=90°， :0M=VMF2+0F2=V32+42=5,∠M0F+∠0MF=90°， :GH⊥x轴， .∠0HG=90°， LOHG=∠0FM, :0G⊥0M, LM0F+LG0H=90°， :ZGOH Z0MF, :△G0H∽△0MF, :0-6=0C,即0H-GH= MF OF OM 343 4 0H=1,GH= 3 60影. 设直线MG的解析式为y=x+b,把M(-4,3),GL,)代入， -4k+b=3 得： 4， k+b= 3 k=一 解得： 3 b= :.直线MG的解析式为y=-3x+3 1. 5 3 5 联立方程组得： 3”3 1 解得： x=-4 (舍去)， =3 如图2，在OG的反向延长线上截取OK=OM,连接MK交抛物线于点N', 点K与点G关于原点对称， K-1争 同理可得：直线MK的解析式为y=-1x-2至 9 x-9 1325 联立方程组得： x一9 16 解得： x=-4 X2=一 (舍去)， 9 4=3 17 52=一 81 16,-3 9’ 81 综上所达，N点坐标为写名成（台 87): （3)“抛物线y=子-1，令y=0,得子-1=0， 1=-2，x2=2, .A(-2,0),B(2,0),如图3， :D、E两点关于y轴对称， 设Dmm2-小，则(-mm-, 设直线BD的解析式为y=kx+b, [2k+b=0 则 mk+b=。m2-1 m+2 k= 解得： 4 m+2 b=- 2 直线BD的解所式为y三"x历+2 2 当x=-1时，y=m+2× 4x(←)-m+2-3m+6 2 4 (-13m+6, 4+m2 同理可得：直线BE的解析式为y=2-mx 2 当x=-1时，y= 3m-6 4， 0-1,9 P(-1,0), 、..PG=03m+白)=2，P2=二6 4 4 :PG-P0=3m+6_3m-6-3. 4 4 故PG-PQ的值为3. y y G 图3 然0B C 图2 B 图1 【例3】(2025·沈阳模拟)如图1，直线y=-x-3分别交x轴，y轴于点B,C,经过点B ,C的抛物线y=x2+bx+c交x轴正半轴于点A. B D D 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图2，D是第三象限内的抛物线上动点，DE/y轴交直线BC于点E,若△CDE是 等腰三角形，求点D坐标： 3)F是抛物线的顶点，直线BC上存在点M，使an∠FM0=,请直接写出点M坐标！ 【分析】(1)将C(0,-3),B(-3,0)代入y=x2+bx+c,即可求解： (2)设D,2+2t-3),则E化，-t-3),求出DE=-2-31,CD=P+(2+2, CE=V2+2,再分三种情况讨论即可； (3)设M(m,-m-3),求出直线MF的解析式为y=-m+x-3m+5,分两种情况讨论： m+7 m+1 ①当M点在F点左侧时，过点O作N0⊥MF交于点N,过点N作GH/x轴交y轴于点 .过点M作G1G7交于在0.则4G4og,再釉2器-分设M<列 求出N3m+6,m=3,将点N代入y=m+x-3m+5,可求M点坐标：②当M点在 x- 5 5 m+1 m+1 F点右侧时，过点O作OK1MF交于K点，过点K作PQ⊥x轴交x轴于点P,过点M作 M0⊥P0交于点Q,则△POKA0KM,由PO=PK=,设K,W,求出K(m-6, KO OM 2 5 3m一，将点K点代入y=m+x+m十3，求出M点坐标即可， m+1m+1 【解答】解：(1)令x=0,则y=-3, C(0,-3), 令y=0,则x=-3, B(-3,0), 将C(0,-3),B(-3,0)代入y=x2+bx+c, g80 第降62 y=x2+2x-3: (2)设D(t,2+2t-3),则E(t,-t-3), :D在第三象限内， -3<t<0, DE=-t-3-t-21+3=--31,CD=VP+2+2),CE=VP+F, ①当DE=DC时，-2-3t=V+(t2+2)2, 解得1=0（舍）或t=-2, .D(-2,-3): ②当DE=CE时，-2-31=VP2+12, 解得1=0（舍）或t=√2-3或t=-√2-3（舍）， D(N2-3,-42+2): ③当DC=CE时，VF+2+2)=P+F, 解得1=0（舍）或t=-3(舍)或t=-1, .D(-1,-4): 综上所述：D点坐标为(-2，-3)或(N2-3,-4V2+2)或(-1，-4). (3):y=x2+2x-3=(x+1)2-4, .顶点F(-1,-4), 设M(m,-m-3), 设直线MF的解析式为y=kx+b, 「-k+b=-4 m+b=-m-3' k=-m+1 m+1 b= 3m+5 m+1 y=m+1 5m+3 m+1 m+1 ①当M点在F点左侧时，过点O作NO⊥MF交于点N,过点N作GH/Ix轴交y轴于点 H,过点M作MG⊥GH交于点G, ∠0NH+LMNG=90°， :∠0NH+∠N0H=90°， ·LMNG=LNOH, .△MNG∽△NOH, NO =NH_OH MN MG GN 1 ,tan∠FMO= 2 No 1 MN2' NH OH 1 MG-GN2 设N(x,y), .x=m-2y,2x=y+m+3, ,y=m-3 r=3m+6 5 N3m+6,m-3 5 ), 将点N代入y=-m+x-5m+3,可得-m+x3m+6_5m+3_m-3, m+1 m+1 m+15m+15 解得m=-13+V145 (舍)或m=-13-45, 4 4 :M13-i45.1+45 4 4 ②当M点在F点右侧时，过点O作OK⊥MF交于K点，过点K作PQ⊥x轴交x轴于点P ,过点M作MQ⊥PQ交于点Q, ∴.∠PKO+∠QKM=90°， :∠PK0+∠P0K=90°， ∠QKM=∠POK, ∴.△POK∽△OKM, .OK=PO PK KM KO OM :tan∠FM0= 1 0k-1 KM=2' PO PK 1 KO OM2 设K(x,y), -2x=y+m+3,-2y=m-x, 5，y=3m-3 x=-m-6 5 3. x+3m+5 将点k,g3代入y= m+1m+1 则-m+1x-m-6,3m+5_-3m-3 一十 m+15m+1 5 解得m=2' 9 综上所港，点坐标为5西，西)或？与。 4 4 F 图2 0 A G 图1 【例4】(2025·湖北)抛物线y=x2-4x与直线y=x交于原点0和点B,与x轴交于另一 点A,顶点为D. (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)如图1，连接0D,P为x轴上的动点，当an∠PD0=时，求点P的坐标； (3)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为 m(0<m<5),连接MQ,BQ,MQ与直线0B交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为 S和S,求的最大值 S 图1 图2 【分析】(1)令y=x2-4x=x,求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y=x2-4x化作 顶点式可得出点D的坐标； (2》过点D作DELy轴于点E,易得m∠D0E=方，因为m∠PD0=方，所以 ODG=∠DOE,分两种情况进行讨论，当点P在线段OD的右侧时，DP/Iy轴，当点P在 线段0D左侧时，设直线D0与y轴交于点G,则△ODG是等腰三角形，分别求出点P的坐 标即可。 (3)分别过点M,Q作y轴的平行线，交直线OB于点N,K,则S,=二QK(xB-xE), S=方MN,-,),由点Q的横坐标为m,可表达冬，再利用二次函数的性质可得出结 S 论。 【解答】解：(1)令y=x2-4x=x, 解得x=0或x=5, .B(5,5); :y=x2-4x=(x-2)2-4, .顶点D(2,-4). (2)如图，过点D作DE⊥y轴于点E, DE=2,0E=4, :tan ZDOE= 1 1 .:tan∠PDO= 2 .∠D0E=LPDO, ①当点P在线段OD的右侧时，DP//y轴，如图， 公 A P2,0); ②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G,则△ODG是等腰三角形， B 0 A EL- D ..0G=DG, 设0G=t,则DG=t,GE=4-t, 在RtADGE中，t2=22+(4-)2, 解得1= 2 .G0,-2 六直线DG的解析式为：y=3x- 4 令y=0,则}- 4x-2 =0, 解得x=-10 3’ 490 综上，点P的坐标为20成（号。0 (3):点B(5,5)与点M关于对称轴x=2对称， ∴M(-1,5). 如图，分别过点M,Q作y轴的平行线，交直线OB于点N,K, .N(-1,-1),MN=6, .点Q横坐标为m, Q(m,m2-4m）,K(m,m)）, K0=m-(m2-4m)=-m2+5m. S=50K,-S=5N-) 景器-刘 -5+25 6m- 24 <0, 6 .当m= 所 5 的最大值为 4 Ay M B Q 【例5】(2025·南充)抛物线y兮式+加+与x轴分别交于点A,84,0,与y轴交于点 C(0,-4). (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，口BCPQ顶点P在抛物线上，如果口BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有 且只有三个，求点P的坐标 (3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在M0延长线上，OM=20N,连接BN 并延长到点D,使ND=NB·MD交x轴于点E,∠DEB与LDBE均为锐角， tan ZDEB=2 tan ZDBE,求点M的坐标. E B B 图1 图2 【分析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得b,c,进而得出抛物线的 解析式： (2)在BC的下方存在一个点P,在BC的上方时两个，其中过BC下方的点P的直线I与 BC平行的直线与抛物线相切，根据直线1的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次 方程，该一元二次方程的根的判别式为O,从而求得m的值，进而得出在BC的上方的直线 解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果： (3)作MG⊥x轴于G,作NH⊥x轴于H,作MK⊥DF,交DF的延长线于K,设D点 的横坐标为a,根据△BHN∽△BFD得出DF=2NH,根据△OMG∽△ONH得出MG=2NH ，OG=20H=a+4,从而KF=MG=DF,根据tan ZDEB=2 tan ZDBE可表示出EF,根 据△DEF∽△DMK可得出a的值，进一步求得结果. 【解答】解：(1)由题意得， 4+4h+c=0 1 c=-4 /bs、1 3， c=4 1 (2)如图1， 2 字 7 A 0 PC】 图1 作直线1/BC且与抛物线相切于点P,直线I交y轴于E,作直线m/BC且直线m到BC的 距离等于直线I到BC的距离， :BC的解析式为y=x-4, .设直线l的解析式为：y=x+m, x2-4x-3(m+4)=0, △=0， .-3(m+4)=4, ms-16 3 x2-4x+4=0,y=x 16 3 10 x=2,y=- 3, 9R9. 0-9.c0-4 F0,-4×2-（,) 哪0多. 直线m的解析式为：y=x-8, y=Ix-Ix -4 33 8 y=x-9 3 [x=2+22「x=2-22 x=20-号4=-25- ∴2-25，-22-3，B2+22,22-3, 综上所达：点P2,号或Q-25,25-子或2+25,25-令： (3)如图2， H G B D 图2 作MG⊥x轴于G,作NH⊥x轴于H,作MK⊥DF,交DF的延长线于K, 设D点的横坐标为a, BN D N BD=2BN,N点的横坐标为： a+4 2, 0H=a+4 2 NH /DF △BHN∽△BFD, :9=BN1 DFBD2 :DF=2NH, 同理可得：△0MG∽△0NH, 6=06=0N=2, NH OH ON :MG=2NH,0G=20H=a+4, :KF =MG D F :tan∠DEB=2 tan ZDBE =2.DF EF BF BF =4-a, EF=24-a0 :EF //M K :△DEF∽△DMK, 欧8服 :24-) 1 1 2a+4=2 ∴.a=0, .0G=a+4=4, .G(-4,0), 当=4时，(4-（到-4 【例6】(2025无锡)已知二次函数y=-r+bx+c图象的对称轴与x轴交于点4,0)， 图象与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧）， 且∠CAD=90°. (1)求该二次函数的表达式： (2)若点C与点B重合，求tan CDA的值； (3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请 求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. 3 【分析】(1)二次函数与y轴交于点B(0,3),求得c=3,根据AL,0),即二次函数对称轴 为直线x=1,求出b的值，即可得到二次函数的表达式： (2)通过证明△ADE∽△BA0,B0·DE=OA·AE,然后结合点D的坐标特征列方程求得 DE和AE的长度，从而求解； (3)根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想 求出对应点C的坐标即可」 【解答】解：将点B0,3)代入y=式+c+c, 可得c=3, :二次函数y=-x+bx+c图象的对称轴与x轴交于点4,0， 4 b -=1, 2x(4 解得：b=2 1 :二次函数的解新式为y=+分+3： 1 (2)如图，过点D作DE⊥x轴于点E,连接BD, Ay B(C) :∠CAD=90°， LBA0+∠DAE=90°， :∠ADE+∠DAE=90°， :ZADE Z BAO, :∠B0A=∠DEA=90°， :△ADE△BA0, :BO_A ,即B0·DE=0A·AE, AE DE 设D点坐标为化+宁+引 :0E=1,DE=-2+1+3,AE=1-1, 2 3++)=1-1 4 解得：1=-10 3 (舍去)，1=4， 当1=4时，y=一4 ++3=1 AE=3,DE=1, 在RIAADE中，AD=√AE2+DE2=√0， 在RtAA0B中，AB=VOA2+0B2=10, 在RIAACD中，tan∠CDA=AB AD 1 (3)存在，理由如下： ①如图，与(2)图中RIABAD关于对称轴对称时，tan∠C'D'A=1, Ay D B(C) C D E 点D的坐标为(4,1)， ∴.此时，点C的坐标为(-2,1)， 当点C'、D关于对称轴对称时，此时AC'与AD长度相等，即tan C'D'A=1, ②当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E, Ay D :∠CAD=90°，点C、D关于对称轴对称， LCAE=45°， :△CAE为等腰直角三角形， :CE AE 设点C的坐标为m,m2+ m+3), 、CE三-m2+号m+3，AE=1-m 4m 1 2m+3=1-m, 解得m=3+√17（舍去）或m=3-7, 此时点C的坐标为(3-√17，√17-2)： ③当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F, 3 D :∠CAD=90°，点C、D关于对称轴对称， LCAF=45°， :△CAF为等腰直角三角形， :CF=AF, 设点C的坐标为低+方+列 :.CF= n25n3,4F=1-m 二m-3=1-m, 解得m=-1+√7（舍去）或m=-1-√7， 此时点C的坐标为(-1-√17，-√7-2)： 综上，点C的坐标为(-2,1)或(3-√17，√7-2)或(-1-17，-√7-2). 满分训练 一 解答题（共20题） 1.(2025秋·工业园区期中)已知抛物线y=ax2-2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点 A在点B的左侧)，与y轴正半轴交于C点，顶点为M,直线MD⊥x轴于点D. (1)当a>0时，知OC=3MD,求AB的长： (2)当a<0时，若0C=0B,tan ZACB=2,求抛物线的解析式； y 0 【分析】(1)根据题意求出ML,c-a,DL,0),再由OC=三MD,得到c=3a,则 4 a22ax令8，当2A=0时，分别求出0,7分 3 7,0, 再求AB的长即可： (2)过点A作AM⊥BC交于点M,由L0BC=45°，tan∠ACB=2,可得 AM=8M=2CM,再由0C=0B=c,求出CM=2c, 3c,AB=4c 1 ,01=30,根据a<0 ，c>0,可知，0,8c0,根据B=c=2,求甜c的值，从而确定A、B点 3 的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可. 【解答】解：(1)：y=ax2-2ax+c=a(x2-2x)+c=a(x-1)2+c-a, .顶点M1,c-a),D1,0), 令x=0,则C(0,c), .0C=c, OC=3MD. 4 3 .∴.c=-(a-c), 4 3 ∴.C=-a, 7 3 ..y=ax2-2ax+-a, 令y=0,则ar2-2ar+ 7a=0, x=1+25或=2 7 7 ·4012 V7 70,B1+ .AB=4 1 (2)过点A作AM⊥BC交于点M, :0C=0B, :∠0BC=45°， :AM =BM, :tan∠ACB=2, ·AM=BM=2CM, :BC =3CM C(0,c), :0C=0B=c, :.3CM=2c, CM= C, 3 4B=2V2CM= 3, :.OA=AB-OB-3e a<0,c>0, 1 4-36,0,Bc,0, 2 AB=5c=2, 3 c=3, A(-1,0),B(3,0), 将A(-1,0)代入y=ax2-2ax+3中，a+2a+3=0, 解得a=-1, y=-x2+2x+3. C A 0 2.(2025春·德化县期中)在平面直角坐标系xOy中，经过原点0的抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的正半轴交于点A(2m,0),P为抛物线的顶点，且 tan∠OAP=2. (1)已知m=2. ①求二次函数的解析式； ②直线1：y=x+b平行于AP,且将△OAP分成面积相等的两部分，求直线I的解析式. (2)若Q为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线AQ交对称轴于点B,点B,C 关于点P对称，求证：直线CQ过定点. 【分析】(1)①将A(4,0),(0,0)代入y=ax2+bx+c,可得y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a, 从而求出P(2,-4a),再由tan∠0AP=2,求出a的值即可求函数的解析式： ②由①可知P(2,4),求出直线AP的解析式可得k=2,设直线1与x轴的交点为M,由平 行可得OM=↓，求出M22,O,即可求直线1的解析式： 2)由题意可求y=ar2-4,行0，A后，台，设QarP-40,求出直线40的 解析式，可求B2,-2),C2,21-3),再由求出直线CQ的解析武为y=(at-4x,即 a 可得直线CQ经过定点(0,0). 【解答】(1)解：①：m=2, A4,0), 抛物线经过原点， c=0, .16a+4b=0, .b=-4a, y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a, .P(2,-4a, tan∠OAP=2, 号2 解得a=1, y=x2-4x; ②由①可知P(2,-4), 设直线AP的解析式为y=mx+n, 「4m+n=0 2m+n=-4 解得/m2 n=-8 .y=2x-8, :AP/1, k=2, 设直线1与x轴的交点为M, :AP/1,直线1将△OAP分成面积相等的两部分， :OM、1 0A2 0M=2V2, M(22,0, 2×2V2+b=0, 解得b=-4V2, ∴y=2x-4V2: (2)证明：y=ar2+bx=ax+by b2 2a 4a ·抛物线的对称轴为直线x=b, P(-b b2 2a 2a 4a 令y=0,则ax2+bx=0, 解得x=0或x=-b, a A-6,0, :tan∠0AP=2, b2 4=2, b 2a 解得b=-4, y=ar2-4r,4,0,,, a 设Q(,at2-4),直线AQ的解析式为y=x+b', [4K+6=0 ∴.{a tk'+b'=at2-4t 解得 k'=at b'=-4t ∴.y=ac-4t, 82,-20. a 点B,C关于点P对称， c2.21-3, 2 "a a 设直线CQ的解析式为y=sSx+k, ts +k at2-4t 8+k=21-2, 2 a a 解得 s=at-4 1k=0 ∴.y=(at-4)x, .直线CQ经过定点(0,0). 图1 3.（2025秋·朝阳区校级期中)如图，己知抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点 C(0,3),与x轴交于点A、B, (1)若点A的坐标为(3,0)： ①求该抛物线的解析式. ②tan CB0=3_; ③点D是线段AB上的动点.过点D作DE/IAC,交线段BC于点E,连接CD,设点D的 横坐标为m,△CDE的面积为S,求S关于m的函数关系式；当△CDE的面积最大时，求 点D的坐标： (2)已知M(-1,y)、N(2,y2)是抛物线上两点；将抛物线上位于M、N两点间的部分记 为G;把G的最高点与最低点的纵坐标的差记为d,当2d5时，求a的取值范围， B A 【分析】(1)①将点A、C的坐标代入可得出α、c的值，继而确定抛物线解析式： ②求出点B的坐标，即可得tan∠CBO的值； ③设D(m,O),且-1m3,由DE11AC,可得△BED∽△BCA，利用对应边成比例可得出 EH的长，由S=Sc-SD,可得S关于m的表达式，利用配方法求最值即可； (2)由点C(0,3)可得c=3,可得M(-1,3a+3)、N(2,3),由 y=ax2-2ax+3=a(x-1)2+3-a,可得顶点坐标为L,3-a),分当a<0时，当a>0时两种 情况，根据最高点与最低点的纵坐标的差记为d,2d5,即可求解 9a?6a+c=0 【解答】解：(1)①将点A(3,0),点C(0,3)代入抛物线y=ax2-2ax+c得：{ c=3 解得： a=?1 c-3’ 故抛物线解析式：y=-x2+2x+3; ②令y=0则-x2+2x+3=0, x=-1,x2=3, 点B的坐标为(-1,0)， 0B=1, .点C(0,3), .0C=3, tan∠CB0=OC =3, B 故答案为：3： ③设D(m,0),且-1m3, 作EH⊥x轴于H, B/HO DE//AC, .△ABED∽ABCA, EH、BD OC BA 即EH、m+1 34 。E日m+D 3 3 G.ACDE的面积S=Se-Sa专)m+Dx3 m+1)x(m+DEm-P子 4 8 -1m3, .当m=1时，△CDE面积最大，此时DL,0): (2),抛物线y=ax2-2ar+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3), c=3, y=ax2-2ax+3=a(x-1)2+3-a, .顶点坐标为1,3-a), .M(-1,3a+3)、N(2,3), 当a<0时，最高点为1,3-a),最低点为(-1,3a+3), .d=3-a-(3a+3)=-4a, 2d5, .2-4a5, 。 1 当a>0时，最高点为(-L,3a+3),最低点为(1,3-a), .d=3a+3-(3-a)=4a, 2d5, .24a5, 1 5 2a4 综上，a的取值范围为；。一或。子 5 4 22 4.（2025·长春模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ar-3a(a≠0)的顶点为P, 且该抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）.我们规定抛物线与x轴围成的封 闭区域称为“区域G”(不包括边界)；横、纵坐标都是整数的点称为整点. （1)如果抛物线y=ar2-2ax-3a经过点(1,3). ①求a的值； ②直接写出“区域G”内整数点的个数： (2)当a<0时，如果抛物线y=ax2-2ax-3a在“区域G”内有4个整数点，求a的取值 范围： (3)当a>0时，抛物线与直线x=a交于点C,把点C向左平移5个单位长度得到点D, 以CD为边作等腰直角三角形CDE,使∠DCE=90°，点E与抛物线的顶点始终在CD的两 侧，线段DE与抛物线交于点F,当tan∠ECF=2时，直接写出a的值. 【分析】(1)①将点(1,3)代入y=ax2-2ax-3a,求出a的值即可； ②画出函数图象，分别求出满足条件的点即可； (2)由题意可得在对称轴上有2个整数点，在x=0和x=2上各有一个整数点，则 1-3a<2,即可求a的取值范围； (3)求出C(a,a3-2a2-3a),D(a-5,a3-2a2-3a),则CD=5,由题意可知当a=1时， C点与抛物线的顶点重合，当a≠1时，C点始终在顶点的上方，则E点在C点上方，点 E(a,a3-2a2-3a+5),过点F作FG⊥EC交于G,设FG=2x,则CG=3x,EG=2x, 由5x=5,求出x=1,进而求出G(a,a3-2a2-3a+3),F(a-2,a3-2a2-3a+3),再将F点 坐标代入函数的解析式即可求a的值. 【解答】解：(1)①抛物线y=ar2-2ax-3a经过点(1,3)， a-2a-3a=3, 解得a=-3 ②a=-3, 4 y=-x2+3x+9, 41 4 令y=0,则- 39 40, 4+2x+ 解得x=-1或x=3, A(-1,0),B(3,0), 9 当=0时，y=4<2, .在y轴上有整点(0,1)，(0,2)， 当x=1时，y=3, .在x=1的直线上有整点(L,),(1,2), 92 当x=2时，y= .在x=2的直线上有整点1,1)，(2,2)， 综上所述：“区域G”内整数点共有6个； (2)令y=0,则ax2-2ax-3a=0, 解得x=-1或x=3, A(-1,0),B(3,0), :y=ax2-2ax-3a=a(x-1）2-4a, .抛物线的对称轴为直线x=1, “区域G”内有4个整数点， .在对称轴上有2个整数点，在x=0和x=2上各有一个整数点， .1-3a<2, 1 当子0日时，区城G”内有4个整数点： (3)当x=a时，y=-a2-3a, C(a,a3-2a2-3a）, 点C向左平移5个单位长度得到点D, D(a-5,a3-2a2-3a), CD=5, :a>0,抛物线的对称轴为直线x=1, .当a=1时，C点与抛物线的顶点重合，当a≠1时，C点始终在顶点的上方， ,点E与抛物线的顶点始终在CD的两侧， .E点在C点上方， E(a,a3-2a2-3a+5), 过点F作FG⊥EC交于G, :△DCE为等腰直角三角形， :∠FEG=45°， :EG=FG, :tanLECF= 2 FG 2 设FG=2x,则CG=3x，EG=2x, :EC=5x, .EC =DC=5, 4x=1, .CG=3,FG=2, G(a,a3-2a2-3a+3), F(a-2,a3-2a2-3a+3), :F点在抛物线上， .a(a-2)2-2a(a-2)-3a=a3-2a2-3a+3, 解得a=或a= 3 21 2 G A 0 图2 2 A ⊙ B 图1 5.(2025·长沙二模)如果三角形的两个内角o与B满足2a+B=90°，那么我们称这样的 三角形为“CJ三角形”， (1)判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是， 请在对应横线上画“×”； ①其中有两内角分别为30°，60°的三角形一×_一： ②其中有两内角分别为50°，60°的三角形一 ③其中有两内角分别为70°，100°的三角形 (2)如图1，点A在双曲线y=k>0)上且横坐标为1，点B(4,0),C为0B中点，D为 y轴负半轴上一点，若∠0AB=90°. ①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”： ②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标； (3)如图2，在RtAABC中，LACB=90°，AC=6,BC=8,E为BC边上一点， BE>CE且△ABE是“CJ三角形”，己知A(-6,O),记BE=t,过A,E作抛物线 y=ar+br+ca>0,B在4右侧，且在x锥上，点Q在地物线上，使得an∠AB0=高 ,若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y=ax2+bx+c的解析式. B 图1 图2 【分析】(1)①三角形中最小的两个角的和是90°，则三角形不是“CJ三角形”； ②三角形中最小的两个角的和大于90°，则三角形不是“CJ三角形”； ③三角形中最小的两个角分别为10°和70°，则三角形是“CJ三角形”； (2)①利用勾股定理求k的值即可，确定k的值可知LAB0=30°，∠BAC=30°，再根据定 义证明即可； ②分两种情况讨论：当∠HB0=∠08D时，404BnAD0B，D0,-45),当 3 LAB0=∠0DB时，△0AB∽△B0D,D0,4N3); （③)过点E作EW上：轴交于M,过点C作CN上：轴交于N,求出B4-手，到，由于 △BEA是“CJ三角形”，分两种情况讨论：当∠CAE=∠EAB时，E(O,3)t=5;当 ∠C4E=1C84时，1子（不合题意：则可求m∠AB0分80与y轴的交点为@，2）或 (0-2),经过B4.0),(0,-2)的直线y=x-2与抛物线有唯一交点，联立方程组 1 t2 y= ，得到△=6-2-4a(c+2)=0①，将4-6,0)，E0,3)代入 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c,得到 c=3 ②，联立①②可求函数的解析式 36a-6b+c=0 【解答】解：(1)①：两内角分别为30°，60°， .30°+60°=90°， .三角形不是“CJ三角形”， 故答案为：×： ②.两内角分别为50°，60°， 50°+60°=110°>90°， .三角形不是“CJ三角形”， 故答案为：×： ③两内角分别为70°，100°， 三角形的另一个内角是10°， :2×10°+70°=90°， 三角形是“CJ三角形”， 故答案为：V√； (2)①：点A在双曲线y=k(k>0)上且横坐标为1， ..A(1,k), 点B(4,0),C为0B中点， .C(2,0), :∠0AB=90°， ..042+AB2 =OB2, .1+k2+9+k2=16, 解得k=±√5， :k>0, k=5, A0=2, LAB0=30°， :C为0B中点， :AC BC=0C, LCAB=LABC=30°， 2∠ABC+∠CAB=90°， △ABC是“CJ三角形”： ②：∠0AB=90°，L0DB=90°， :LAB0=L0BD或LAB0=∠ODB, 当∠AB0=∠0BD时，△0AB∽△D0B, ·0A-8,即2-25 OD OB OD 4 解得0D=4 N .D(0,- 45 3 当∠AB0=∠0DB时，△0AB∽△B0D, O4、AB 即2-2V5 BO OD 4D0 解得0D=4V3, .D(0,4W3) 综上所述：D点坐标为0.-45)或0,4W3: 3 (3):LACB=90°，AC=6,BC=8, .AB=10, A(-6,0), .B(4,0), 过点E作EM⊥x轴交于M,过点C作CN⊥x轴交于N, 'sin∠CBA= 6 EM ，cos∠CBA=8=BM ,EB=1, 10 BE 10 BE -M 3, 5 E4-4,3 :△ABE是“CJ三角形”， :LCAE=∠EAB或LCAE=∠CBA, 当LCAE=∠EAB时，CE=EM, 3 8-t=2t, 5 解得t=5, E(0,3): 当LCAE=∠CBA时，tan∠CBA=。 68-t 86 解得t=2 BE CE, t>8-t, t>4, :1=7不合题意； 2 1 :tan∠ABQ= t-31 :.tan∠ABQ=2' 1 0B=4, ∴.BQ与y轴的交点为(0,2)或(0，-2)， 设经过B(4,0),(0,-2)的直线解析式为y=x+m, m=-2 4k+m=0 [m=-2 解得 1, k22 y-2 :a>0,符合条件的Q点个数为3个， 1 ~直线y=2-2与抛物线有唯一交点， 1 .联立方程组 y2-2 y=ax2+bx+c 1 .整理得，ax2+bx-二x+c+2=0, 2 △=b--4ae+2)=00. 将A(-6,0),E(0,3)代入y=ax2+bx+c, 「c=3 ②， 36a-6b+c=0 5 d-9 联立①②可得b= 3 6 c=3 六抛物线的解析式为y=5x+ 23 x+3. 9 6 0 图2 0 图1 6.如图，抛物线y=ar2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C, 点F是抛物线上一动点，过点B,C作直线BC· (1)求抛物线的解析式及tan∠CB0的值； (2)当点F到直线BC的距离为2时，求点F的坐标， (3)过点F作FE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,若∠FCD+∠AC0=45°，求点F的 坐标， 备用图① 备用图② 【分析】(1)将A(-1,0),B(2,0)代入y=ax2+bx+2,即可求函数的解析式，再求出C点 坐标，即可求∠CB0=45°： (2)过点O作0E⊥BC交于E,可求OE=√2，由题意可知，F点在经过0E的中点且与 11、 BC平行的直线上，求出0E的中点为（写，之，则经过0E的中点且与8C平行的直线解析 式为y=-x+1,联立方程组 =-+x+2'可求F点坐标为W2+1,-V2)或(2+1， y=-x+1 √2)；直线y=-x+1关于直线y=-x+2对称的直线解析式为y=-x+3,联立方程组 y=-x+3 y=-x2+x+2’可求F0,2): (3)作A点关于y轴的对称点Q,连接CQ,则QI,O),可推导出∠FCD=∠CQB,求出 直线CQ的解析式为y=-2x+2,联立方程组 =-r+x+2'可求F8,4:作c0关于 y=-2x+2 BC的对称直线交x轴于N,可证明△AC0∽△CN0,从而求出N(4,0),则直线CN的解析 1 式为y=7+2,联立方程组 +2可求F子 y=- y=-x2+x+2 【解答】解：(1)将A(-1,0),B(2,0)代入y=ax2+bx+2, 0-b+2=0 4a+2b+2=0 解得01 b=1 y=-x2+x+2, 令x=0,则y=2, .C(0,2), .0C=2, :B0=2, :tan ZCBO =1; (2)过点O作0E⊥BC交于E, B(2,0),C(0,2), .0B=0C=2, .0E=√2， :点F到直线BC的距离为 2 :F点在经过OE的中点且与BC平行的直线上， :E是BC的中点， .E(1,1), :0E的中点为（专，2 设直线BC的解析式为y=kx+b, 6x0 k=-1 解得6=2 y=-x+2, .经过0E的中点且与BC平行的直线解析式为y=-x+1, 联立方程组 y=-x+1 y=-x2+x+2 解得x=V2+1 x=-V2+1 或 y=-√y=2 “F点坐标为(W2+1,-V2)或（√2+1，√2）： 直线y=-x+1关于直线y=-x+2对称的直线解析式为y=-x+3, 联立方程组 y=-x+3 y=-x2+x+2 x=1 解得 y=21 .F1,2); 综上所述：F点坐标为（√2+1，-√2）或（√2+1，V√2）或(L,2)； (3)作A点关于y轴的对称点Q,连接CQ, :B0=0C, :∠0CB=45°， .∠AC0=∠OCQ, :LFCD+LAC0=45°， .∠FCD=∠CQB, A(-1,0), ∴01,0)， 设直线CQ的解析式为y=kx+b, ,k=-2 解得6=2’ y=-2x+2, 联立方程组 y=-2x+2 y=-x2+x+2' 解得 x=0 (舍)或 x=3 y=2 y=-4' .F(3,-4); 作CQ关于BC的对称直线交x轴于N, :Z BCN ZACO, △AC0∽△CN0, .0_co CO NO 日 0N=2, .N(4,0), 设直线CN的解析式为y=kx+b', [b'=2 4k'+b=0 1 解得 K=- 2, b'=2 1 y=-2x+2, 1 联立方程组 y= 2+2 y=-x2+x+2 3 x= 解得 x=0 y=2 (舍)或{ 2 J y 4 F 3 综上所述：F点坐标为6-)或（兮，寻 C D 0 O EB 图2 图1 7.（2025中山市三模)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点C,抛物线的对称轴为直线x=1,点A(-1,0),过B的直线交y轴于点D,交抛物线于 4 E,且tan∠EBA=- 3 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线第四象限的图象上找一点P,使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标； (3)点M是线段BE上的一点，求AM+4ME的最小值，并求出此时点M的坐标 【分析】(1)由x=1得点A的对称点B的坐标，将A、B坐标代入y=ax2+bx-3中，利 用待定系数法可求； (2)求出直线BE的解析式，用m表示点P、H的坐标，进而表示线段PH,根据 ×PHx3:用含m的代数式表示ABDP的面积，利用三次函数的性质， m的二次函数的顶点横坐标，即可得出结论： (3)过点M作MS/y轴，过点E作ES//x轴，过A作AT⊥ES于点T,构造出直角三角 形，利用三角函数找到与ME相等的线段，根据“垂线段最短”得AM+ME的最小值， 将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点E坐标，点M坐标可求 【解答】解：(1)抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线 x=1,点A(-1,0), .B(3,0), ÷0-6-3=0 9a+3b-3=0 解得01 b=-2 .抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 2):B8.0,am∠EBA= 0D=4,即D(0,4). .直线BE的解析式为：y= 3+4. 4 如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于点H, y E 设P(m,m2-2m-3),则H(m,-3m+4), 4 PH=-3m+4-(m2-2m-3)=-m2+ 4 m+7, ∴.SARDP= xPH×3 2 +m+ 21 =号 3 3 2 <0, 当m专时，即R风写：号时△80P的面积最太 3 (3)如图，过点M作MS/1y轴，过点E作ES/x轴，过A作AT⊥ES于点T, S :ES/1x轴， LSEM=∠EBA, :tan∠EBA=3 :tam∠MES= 4 ∴.sin∠MES= SM 4 EM=5' :.SM=4EM, 51 六AM+4EM=AM+SM SA AT, 5 :AM+4EM的最小值为AT, 5 令-2x-3号+4 解得x=3(舍)或x=一3' 7 AM+4EM的最小值g,此时M(-l安 9 8.(2025·松江区校级模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B分别在x的正半 轴和y的正半轴上，tan∠OAB=3,抛物线y=x2+mx+3经过A、B两点，顶点为D. (1)求抛物线的表达式； (2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C,若点P在平移后的抛物线上，且 满足∠ACP=∠ABO,求点P的坐标， O 【分析】(1)根据tan∠0AB=3,求得点A的坐标，代入y=x2+mx+3即可求得抛物线解 析式： (2)由旋转可得出C(4,),再求出抛物线顶点D(2,-1),利用勾股定理及其逆定理可得 ∠ADC=90°，根据Sg拉形BCD=S44Bc+Snc,即可求得答案； (3)根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为y=x2-4x+1,分两种情况：①若点P在 x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可. 【解答】解：(1)抛物线y=x2+mx+3经过点B, ∴.B(0,3) .0B=3, ： =tan∠OAB=3, OA 0A=1, .A1,0), 将A1,0)代入抛物线y=x2+mx+3,得1+m+3=0, 解得：m=-4,′ .抛物线的表达式为y=x2-4x+3. (2).将△0AB绕点A顺时针旋转90°后，得到△0'AC, .∠A0'C=∠A0B=∠0A0'=∠B0C=90°，0'A=0A=1,0'C=0B=3, .C(4,1), y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴D(2,-1), AD=V(2-1)2+(-1-0)2=√2 CD=V(4-2)2+1+1)2=2√2 AC=V(4-1)2+(1-0)2=10, :AD2+CD2=10,AC2=10, .AD2+CD2=AC2, :∠ADC=90°， 又：AB=AC=V10,且∠BAC=90°， 5aaam=5ac+5c=54B-4C+4D-CD=5+2=7, 2 即四边形ABCD的面积为7. (3)当x=4时，y=x2-4x+3=42-4×4+3=3, 可知抛物线y=x2-4x+3经过点(4,3)， .将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点C(4,), .平移后得抛物线解析式为：y=x2-4x+1: ①若点P在x轴上方时，作CP/1x轴，交抛物线于P点，易证LACP=∠ABO, ∴.点P与点C关于抛物线y=x2-4x+1的对称轴直线x=2对称， .P0,1) ②若点P在x轴下方时，如图2，作AC的中垂线，与x轴交与E点，联结CE并延长，交 抛物线y=x2-4x+1于P点， 根据线段的垂直平分线的性质可得AE=CE, :Z CAE ZACP, :0'C/1x轴， .∠CAE=LAC0'=∠AB0, :ZACP ZABO, 作CH⊥x轴，垂足为H,则CH=1,AH=OH-0A=3, 设AE=x,则CE=x,EH=3-x, 在RtACEH中，CH2+EH2=CE2, 1+6-=2,解得x= ..OE=0A+AE=1+ 58 33 Ee,0, 3 设直线CE的解析式为y=x+b, [4k+b=1 +6=0 则8 3 k= 解得： 4, b=-2 ·直线CE的解析式为y= 2, 3 -4x+1=4-2 解得：=4（舍去），飞= 4 当x=3时，y=-4r+1=已}-4x3+1=- 23 4 16 23、 综上所述，满足条件料P点坐标为@，)碳尽治 D 图2 B O C 2 图1 9.(2025·沈阳模拟)如图，已知点A(-4,0),点B(-2,-1),直线y=2x+b过点B,交y轴 于应C,抛物线y=r+停+c经过点4，C (1)求抛物线的解析式： (2)D为直线AC上方的抛物线上一点，且an∠ACD=4,求点D的坐标； (3)平面内任意一点P,与点O距离始终为2，连接PA,PC.直接写出二PA+PC的最 小值. y B B 图1 备用图 【分析】(1)将B点坐标代入y=2x+b中，求得b,进而求得C点坐标，将B、C两点坐 标代入抛物线解析式，从而求得a,c的值，进而求得结果； (2)发现LACD=LAC0,故作AE⊥CD,作EF⊥y轴，作AG⊥EF,设CF=x,根据 △EFC∽△AGE可表示出EF,在直角三角形EFC中，根据勾股定理列出方程，从而求得点 E坐标，进而求得CD的关系式，根据CD的关系式和抛物线的关系式，进而求得结果； (3)先确定点P在以0为圆心，2为半径的圆上运动，取01=1，求得出△P0Im△A0P, 从而得出PA=P1,进而确定点C、P、1共线时，PA+PC的值最小，进一步求得结 果。 【解答】解：(1)由题意得， -1=2×(-2)+b, b=3, .直线AC的解析式是：y=2x+3, ∴.C(0,3), c=3 16a+x(-4)+c=0' 15 c=3 3 a=4 :抛物线的解析式是：y= ,1 4+3 (2)如图1， o G A B 0 图1 作AF⊥CD于F,作EF⊥y轴于F,作AG⊥EF于G, :an∠Ac0=OA、4 OC3·an∠4AcD=3y :ZACD ZACO, CE=0C=3,AE=0B=3, 可得：△EFC∽△AGE, CF-EF_CE 3 -三 AG AG AE 4 设CF=x,则AG=0F=3+x, 3 F53A1G4x+3) 在RtAEFC中，由勾股定理得， x2+2x+3=32, 4 2 .x1 25’名=-3（舍去）， 50F=96 ·EF=7 Γ25 直线CD的解析式是：y=- 24+3, 由3x+5 > +3=- x+3得， 4 4 24 无=0（舍去).名=-97 18 当x=-97时，y=-7× 18 24(9 181 +3=1975 432 D(- 971975、 18’432 (3)如2， 10 图2 点0距离始终为2， .点P在以0为圆心，2为半径的圆0上运动， 在OA上取01=1， ZPOI=ZAOP. OI OP 1 OPOA2' :△P0I∽△A0P, .PlOl 1 AP OP-2 1 ∴.PI=-AP, 2 PA+PC=PI+PC .当C、P、I共线时，PI+PC最小，此时P在线段AI与⊙O的交点P处， PI+PC=CI, 在RtACOI中， C1=V0C2+012=V2+32=10, :PA+PC的最小值是O. 10.(2025春·西山区校级月考)己知对称轴为直线x= 的抛物线经过A(-1,0),C(0,-4)两 点，抛物线与x轴的另一个交点为B, (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P为第四象限抛物线上一点，连接0P,BC交于点D,连接BP,求 SAPBD的最大值： SAOBD (3)如图2，若点0为抛物线上一点，且当an∠BCQ-子求点Q的坐标， y y↑ 2 B D C 图1 图2 【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将A(-1,0),C(0,-4)的坐标和抛物线 x=-力=多代入，从而得到抛物线的解析式， 2a2 (2)过点P作PG⊥x轴于点G,交BC于点F,证明△0CD∽△PFD,得出 PF_PD=SD,求出直线BC的解析式为y=x-4，设P(m,m2-3m-4)，则 OC OD SAOBD F(m,m一4)，可得出SD的关系式，由二次函数的性质可得出结论： SAOBD (3)过点Q作QG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点Q作QH⊥BC于点H,证明 △C0 ACAC0,-C9,设Qa,2-3n-4),则Fm,n-4),求出QF,可得 AO CA OHs② QF,求出n的值，即可得点O的坐标 【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c. :4(-1,0)，C0,-4),抛物线x=-6=3, 2a21 a-b+c=0 a=1 . c=-4 ,解得{b=-3, c=-4 2a2 .抛物线的解析式为y=x2-3x-4; (2)过点P作PG⊥x轴于点G,交BC于点F, y◆ B :0C/1PG, :△OCDn△PFD, .PF_PD OC OD PF PD SAPBD, 0C=0D SAOBD .抛物线y=x2-3x-4经过A(-1,0),与x轴的另一个交点为B. .B(4,0), 设直线BC的解析式为y=kx+b, k=1 b=-4 b=-41 .直线BC的解析式为y=x-4, 设P(m,m2-3m-4),则F(m,m-4),， :.PF=m-4-m2+3m+4=-m2+4m. 心SPFm+4mm+m=m-2y驴+ SXOBD OC -4-4 :当m=2时，SD有最大值，最大值是1 SAOBD (3)过点Q作QG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点Q作QH⊥BC于点H, y G B H Q ∠QHC=∠AOC=90°， A(-1,0),C(0,-4), 0A=1 0C4 :tan∠BC0=HC-4 HO 1 .△CQH∽△CAO, oHco AO CA 设Q(m,n2-3n-4),则F(n,n-4), .QF=PF=n-4-n2+3n+4=-n2+4n. :0C=0B=4,∠B0C=90°， :∠0BC=45°， .∠HFQ=∠BFG=45°， :QH⊥BC, 0H=号er-9i+n (-r+4n :2 Vn2+n2-3n-4+4)2 ,解得n=14或18 V42+12 3 Q的型标为学或 11.(2025春·汉川市校级月考)如图，在平面直角坐标系中，顶点为 A(2cos60°，-V2sin45)的抛物线经过点B(5,3),且与x轴交于C,D两点（点C在点D的 左侧) (1)求抛物线的解析式： (2)求tan∠A0B的值； (3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB,当△DMN与 △OAB相似时，求点M的坐标. B 【分析】(1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式： (2)过点A作EF/Ix轴交y轴于E,过点B作BF/Iy轴交EF于F,先证明△AEO和 △AFB均为等腰直角三角形，得出：∠0AE=∠BAF=45°，OA=√2，AB=4V2, ∠0AB=90°，再运用三角函数定义即可； (3)根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程 ①③，根据解方程组，可得M点的坐标. 【解答】解：(1)A(2cos60°，-√2sin45), A1,-1), 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-1, 将B点坐标代入函数解析式，得：a(5-1)2-1=3, 解得：a-号 1 ∴该抛物线的解析式为：y=二(x-1)2-1; (2)如图1，过点A作EF1/x轴交y轴于E,过点B作BF//y轴交EF于F, A(1,-1),B(5,3) :AE=OE =1,AF BF=4, :LAE0=LAFB=90°， :△AEO和△AFB均为等腰直角三角形， ∠0AE=∠BAF=45°，OA=V2,AB=4V2, ∠0AB=180°-∠0AE-∠BAF=180°-45°-45°=90°， 六an∠A0B=4B.4y5=4, 0A√2 y .. 图1 :tan∠A0B=4; (3)设M(a,b),N(a,0), 当y=0时x--1=0 解得：x=3,x2=-1, .D3,0), :DN 3-a ①当△MND∽△0AB时，如图2， B M 图2 则M-DN,即2=3- OA AB 242 化简，得：4b=3-a①， :M在抛物线上， b=a--1②， 4b=3-a 联立①②，得 1 b=(a-1)2-1' 4 5 解得：a=3(不符合题意，舍)，a2=-2,b= 4 M(-2,), 4 当△MND∽△BA0时，如图3， M 图3 则MN、ND 即b=3-a BA OA 4W2V2 化简，得b=12-4a③， b=12-4a 联立②③，得： 1 b=(a-1)2-1' 4 解得：4，=3（不符合题意，舍），a2=-17,b=12-4×(-17)=80, M2(-17,80). 综上所述：当△DMN与A04B相似时，点M的坐标为(-2，子或(-17,80). 12.(2025秋·道里区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线 y=x+3交x轴于点A,y轴于点D,抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A,B两点，交y轴 于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t,连接AP、DP,△APD的面积为S,求s关 于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围） (3)在(2)的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E,且 LEPD=2LPDC,过点E作EF⊥PD交PD于G,y轴于点F,连接PF,若 sm∠PrC-写求线段PF的长. B 【分析】(1)直接把A点坐标代入y=x2+bx-3求出b的值即可得到抛物线解析式为 y=x2+2x-3; (2)连接0P,过点P作PH⊥x轴于H,PN⊥y轴于N,根据 S=SMAPD=SAo4D+SSOAP-SSOPD可得出S与t的函数关系式； (3)过D作DH⊥y轴交PE的延长线于H,作PM⊥DH于M,PN⊥y轴于N,如图3， 利用PM I/DN得到∠PDC=∠DPM,加上∠EPD=2∠PDC,则∠HPM=∠DPM,于是根 据等腰三角形的性质可得MH=MD,接着判断四边形PNDM为矩形得到MD=PN，则 DH=2PN,然后证明△DEH兰△DEF得到DH=DF,所以DF=2MD=2PN;再在 Rt△PFN中利用正弦定义可得到PF=3PN,利用勾股定理得FN=√2PN,设P点坐标为 (,2+2t-3)，则DF=-21，FN=-2W2t,于是可表示出 0N=DF+FN-0D=-2t-2V2t-3,所以-2t-2W21-3=(2+2t-3),解方程得到得 =2,1,=32(舍去)，所以PF=3PN=32. 【解答】解：(1)直线y=x+3交x轴于点A,y轴于点D, .A(-3,0),D(0,3), 将A(-3,0)代入抛物线y=x2+bx-3, .(-3)2-3b-3=0, b=2, .抛物线解析式为y=x2+2x-3, (2)连接OP,过点P作PH⊥x轴于H,PN⊥y轴于N, /B :P在第三象限抛物线上，P点横坐标为tt<0), .P(t,t2+21-3), S=SMAPD SAOAD SAO4P SAOPD =104-OD+10A.PH-TOD.PN 1 =×3x3+x3x-2-21+3)-x3x() 2 =9+2(-2-21+3)+ 3 22 2 (3)过D作DH⊥y轴交PE的延长线于H,作PM⊥DH于M,PN⊥y轴于N,如图3， PM //DN :ZPDC ZDPM ZEPD =2ZPDC, :∠HPM=∠DPM, 而PM⊥DH, .MH MD, 易得四边形PNDM为矩形， :MD PN :DH =2PN, :EF⊥PD, :∠GDF+∠DFG=90°， 而∠PHD+∠HPM=90°， LDFG=∠PHM, :∠ADF=45°， :∠HDE=45°， .△DEH兰△DEF(AAS), :DH =DF, :DF =2MD =2PN, 在RtAPFN中，sin∠PFC=PN_L, PF-3 :PF =3PN, .FN =PF2-PN2=19PN2-PN2 =2V2PN .设P点坐标为(t,t2+21-3),则DF=-2t,FN=-2V2t, .ON DF+FN-OD =-2t-22t-3, .-2t-2W2t-3=-(t2+2t-3), 整理得5=√2,5=32（舍去）， :PF =3PN =-31=32. H M D 图3 13.(2025·荆门模拟)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点 C,顶点D的坐标为L,-4), (1)求抛物线的解析式： (2)如图，点P(m,n)在第一象限的抛物线上，且m+n=9,求点P的坐标；在线段PA上 确定一点M,使DM平分四边形ACDP的面积，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接OQ、AQ,设△4OQ的外心为H,当 sin∠OQA的值最大时，请直接写出点H的坐标. B ID D 备用图 【分析】(1)设y=a(x-1)2-4,再将A(-l,0)代入y=a(x-1)2-4,即可求解； (2)由m+n=9可得点P(4,5),可得S边希4cDp=SMEP+Sa40c+S4ocD+SoED=16,根据 Smv=2Sa边形cp=8即可求解： (3)作△4O0的外心H,作HG⊥x轴，则4G=)40=),进而可得H在A0的垂直平分 2 2 线上运动，根据题意当sin∠OQA最大转化为求当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，进而 限据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得AH)，运用勾股定理求得HG,即可求得】 点H的坐标，根据对称性求得另一个坐标. 【解答】解：(1)顶点D的坐标为(L,-4), 设y=a(x-1)2-4, 将A(-1,0)代入y=a(x-1)2-4, 解得a=1, y=x2-2x-3; (2).点P(m,n), 则n=m2-2m-3,而m+n=9, 解得：m=-3或4， :点P(m,n)在第一象限的抛物线上， .点P(4,5)； 顶点D的坐标为(L,-4). .直线PD的解析式为y=3x-7, B30 点A(-1,0),P(4,5), ∴.直线PD的解析式为y=x+1, .F1,2), :y=x2-2x-3, C(0,-3), A OEB x C D .S四边形HCDP=SA4EP+SMAOC+SSOCD+SAOED 17 1 1 17 二×（二+1）×5+二×1×3+二×1×3+ ×4 23 2 2 23 25,3,3,14 3223 =16, 点M在线段PA上，DM平分四边形ACDP的面积， 设M(t,t+1), 0Fx对4-小-aam=8, 4 六2×2+44-0=8，解得t=3 3 :点M的坐标为（行 4 3 (3)如图，作△400的外心1，作HG1x辅，则4G=G0 A\GO B D x=1 AH =HO, H在A0的垂直平分线上运动， 依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时， :H是△AOQ的外心， ,∠AHO=2∠AHG=2∠OQA,即当sin∠AHG最大时，sin∠OQA最大， 0-40- 21 sim∠00A=sin∠AHG=4G-2 AH AH 则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大， AH=HO, 即当H0上直线x=1时，4H取得最小值，此时0=1-(-子 w多 在RIAG中，HG=a7AG-骨-分=5 分2 根据对称性，则存在(-一2)， 综上所述，2)或分②. 14.(2025春·磐安县期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A1,0), B(9,0),与y轴交于点C,已知L0AC=∠0CB. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在y轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点Q,满足∠AQP=90°？ 如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)若点P在y轴上，满足sin∠APB=2的点P是否存在？如果存在，请求出点P的坐标， 如果不存在，请说明理由， A B 【分析】(1)证明△0AC∽△0CB,根据相似三角形的性质可得0C=3,利用待定系数法即 可求解； (2)由题意得AP为直径的圆与对称轴：直线x=5有唯一的交点，即相切.根据切线的性 质可得点M的横坐标为0.5，所以点M到直线x=5的距离为4.5，则直径AP的长为9，根 据勾股定理即可求解； (3)当点P在以AB为弦的ON上，圆心角∠ANB是∠APB的两倍.过点N做NH⊥AB于 H,则LANH=∠APB,根据sin∠ANH=sin∠APB=2,可得AN=6,利用两点的距离公 3 式即可得点P的坐标. 【解答】解：(1)：∠0AC=∠0CB,LA0C=∠C0B=90°， :△0AC∽△0CB, OC OA OB OC 0C2=9x1=9, :0C>0, 0C=3, .抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点AL,0),B(9,0), 设y=a(x-1)(x-9), 把c0,3)代入符a0-0-9)=3,解符a兮 抛物线的函数表达式yxcx-9叨2-10 3+3: (2)存在， 抛物线的对称轴上是否存在唯一的点Q,满足∠AQP=90°，就是指以AP为直径的圆与对 称轴：直线x三5有唯一的交点，即相切 如图， 设AP的中点为M, A1,0), .点M的横坐标为0.5， .点M到直线x=5的距离为4.5， .直径AP的长为9， 0P=V92-12=4V5, 点P的坐标为(0,4w5)或(0,4√5)： (3)存在，如图： H.B 当点P在以AB为弦的ON上，圆心角∠ANB=2LAPB, 过点N做NH⊥AB于H,则∠ANH=∠APB. ÷sin∠ANH=sin∠APB=4l_2 AN 3 AH=BH =4. .AN=6, NH=V62-42=2√5， N(5,25)或N(5,-2W5), 设P(0,P), .PN AN =6, 当N(5,25)时，(0-5)2+(25-P)2=6, P=25-√i或P=25+1, 同理，当W(5,-2V5)时，p=-2√5-V11或P=-2V5+√1 综上所述，点P的坐标为(0,25-V11)或(0,25+V11)或(0，-2V5-I)或(0，-2√5+V1) 15.(2025合肥模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交 于点4(-2,0，B4,0,与直线y=x+3交于y推上的点C,直线y=x+3与：结交于 点D. (1)求该抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接PC、PD,当△PCD的面积最大时， 求点P的坐标； (3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线1，点E是直线1上一点，连接0E 、BE,若直线I上存在使si∠BEO最大的点E,请直接写出满足条件的点E的坐标；若不 存在，请说明理由。 【分析】(1)用交点式函数表达式得：y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8),即可求解； (2)由SPcD=S4Po+S4pc0-S4oCD,即可求解； (3)如图，经过点O、B的圆F与直线l相切于点E,此时，si∠BE0最大，即可求解 【解答】解：(1)用交点式函数表达式得：y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8), 当x=0时，y=3, 则C(0,3), 即-8a=3, 解得：a=3 8 则函数的表达式为y=-含+子x+3: 3 81 (2)y=-3 +3,令y=0,则x=2,即点D(2,0), 2 B 3 3 连接0P,设点P(x,-x2+ x+3), 8 4 SAPCD SAPDO SAPCO -SAOCD 2++9+* 1 4 2 22x3 =-36x-3y+2 ,27 8 8 3 c0, SPcD有最大值， 此时点PB受： (3)如图，经过点O、B的圆F与直线l相切于点E,此时，sin ZBE0最大， 过圆心F作HF⊥x轴于点H,则OH=二OB=2=OA,OF=EF=4, :HF=2√5，过点E的坐标为(-2,2W3): 同样当点E在x轴的下方时，其坐标为(-2，-2√3)： 故点E的坐标为(-2,2√3)或(-2，-23). 16.(2025·高州市一模)在平面直角坐标系xO中，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点. (1)求该抛物线的解析式. (2)如图1，连接AD,交y轴于点E,点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD 交x轴于F,连接EF、AP,若SMDp=3SDEF,求点P的坐标. (3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ,设△AOQ外接圆圆心为H,当 sin∠OQA的值最大时，请求出点H的坐标. E C C D D 图1 图2 【分析】(1)把A(-1,0),，B(3,0)代入y=ax2+bx-3即可求解： (2)根据题意先求得A,B,C,D各点的坐标，求得AD的解析式，进而求得点E的坐 标，通过计算可得AE=ED，进而可得SE=SED，由SMDP=3SEF可得出OE=yp=2, 依题意，设P(m,m2-2m-3),其中0<m<3,建立方程求解即可得出答案； (3)作△40Q的外心H,作HG1x轴，则AG=40=,进而可得H在A0的垂直平分 线上运动，根据题意当sin∠OQA最大转化为求当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，进而 根据点到直线的距高，垂线段最知，即可求得AH-子运用勾股定理求得4G,即可求得 点H的坐标，根据对称性求得另一个坐标， 【解答】解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3中，得： 「a-b-3=0 ，解得： a=1 9a+3b-3=0 b=-2 ∴抛物线解析式为y=x2-2x-3; (2).抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C点，D为抛 物线顶点， .令x=0,得：y=-3, 则C(0,-3), :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, D1,-4) 设直线AD的解析式为y=kx+b, A(-1,0),D1,-4), ÷人+6=0 k+b=?4' [k=?2 解得： b=?2' .直线AD的解析式为y=-2x-2, 令x=0,则y=-2, ∴E(0,-2), :AE=V0A2+0E2=V2+22=V5,ED=√0？02+(？4+2y=5, :AE ED, SAFAE SAFED SADP =3SADEF SMAPF SAADP-SMAFD =3SADEF -SAAFD =3SADEF -2SADEF SADEF =SAEF :OE⊥AF, 小4r-0E=号4F% 0E=yp=2, 依题意，设P(m,m2-2m-3),其中m>3, .m2-2m-3=2, 解得：m=1+V6,m2=1-V6(舍去)， .P1+V6,2): (3)如图，作AM00的外心H,作HG1x轴，则4G=G0= C D AH =HO, ,H在A0的垂直平分线上运动， 依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时， :H是△AOQ的外心， ∴∠AHO=2∠AHG=2∠OQA，,即当sin ZAHG最大时，sin∠OQA最大， 4G=0-方 1 sin∠00A=sin∠AHG=AG=2 AHAH 则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大， AH=HO, 即当01直线=1时，4H取得最小值，此时0=1-(？-多 六AH=2 3 在RIAHG中，HG=VH-4G-停-分=万， 分2， 根据对称性，则存在（分一②， 综上所达，-子②)或H一② 17.(2025·夏津县模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点，且 0A=20B,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x= .D为第一象限内抛物 2 线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m. (1)求抛物线的表达式： (2)当线段DF的长度最大时，求sin∠DCF的值； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点G是坐标平面内的一点，是否存在点P,使得以点 P,B,C,G为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请 说明理由. 备用图 【分所】D由01=208设B,0,则4(-2,0，又抛物线对称轴为直线x=得 1=-21方，解得42心，8(10，用特定系数法可得范物线的我达式为 y=-x2+x+2; (2)连接DC，得C(0,2),可得直线AC解析式为y=-x+2,设D(m,-m2+m+2),则 F(m,-m+2),DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m=-(m-1)2+1,用二次函数性质可得 当m=1时，DF取最大值，最大值是1，DL,2),FL,1),可得∠CDF=90°， CF=V0-y+(2-=2,即知sim∠DCF=DF.=5, 3)设P),G,),又B(-l,0,C0,2),①以PB、CG为对角线，则PB、CG的 -1=0+r 2 中点重合，且BC=BG,可得 n+0=2+s 解得r2+或写 2 (-1-0)2+(0-2)2=(r+1)2+s2 ):②以PC、PG为对角线，则PC、PG的中点重合，且BC=BG,③以PG、 ，2-19 BC为对角线，则PG、BC的中点重合，且BP=BG,分别列方程组可解得答案， 【解答】解：(1)由0A=20B,设B(t,0),则A(-2,0), 抛物线对称轴为直线x=2” 1 、~.1t=2t-2 解得t=-1, .A2,0),B(-1,0), 将A(2,0),B(-1,0)代入y=ax2+bx+2得： T4a+2b+2=0 a-b+2=0 a=-1 解得 b=1' .抛物线的表达式为y=-x2+x+2: (2)连接DC,如图： D B 在y=-x2+x+2中，令x=0得y=2, .C(0,2), 设直线AC解析式为y=x+2,将A(2,0)代入得： 2k+2=0, 解得k=-1, .直线AC解析式为y=-x+2, 设D(m,-m2+m+2),则F(m,-m+2), .DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m=-(m-1)2+1, -1<0, .当m=1时，DF取最大值，最大值是1， 此时DL,2),F(1,1), C(0,2), ∠CDF=90°，CF=V(0-1)2+(2-1)2=V2, :sin∠Dcr=DF.1=2. CF=22 (3)存在点P,使得以点P,B,C,G为顶点的四边形是菱形，理由如下： 如图： G D B G 设P,m,Gr,,又B-l,0),C(0,2), ①以PB、CG为对角线，则PB、CG的中点重合，且BC=BG, -1=0+r 2 n+0=2+s (-1-0)2+(0-2)2=(r+1)2+s2 n=2+9 2 ns29 2 解得r=2 1 1 或r=2 s=Vi9 ss、fg 2 n2+ 9)或(6,2- 2 ②以PC、BG为对角线，则PC、PG的中点重合，且BC=BP, +0=-1+r 2 n+2=s+0 1-0+0-2y=1-+r n= 2 2 解 Ar-i 或r= 2 s=2-i 2 2 ③以PG、BC为对角线，则PG、BC的中点重合，且BP=BG, 2*r=1+0 n+S=0+2 1-+0-m2=c+2+0- 〔1 n=- 2 3 解得r= 2 家所，P的坐标为写2写-写马成宁马成兮 2 2 2 18.(2025·黄冈模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交点为 A(-4,0)、B1,0),与y轴交于点C,P为抛物线上一点，过点P作PD1AC于D. D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E,交AC于F. ①求sin∠PFD的值； ②求线段PD的最大值 (3)如图2，连接PC,当△PCD与△AC0相似时，直接写出点P的坐标. 【分析】(1)根据待定系数法求解析式即可； (2)①根据对顶角性质，平行线的性质可得∠PFD=∠AC0,进而可得 sin∠PFD=sin∠ACO= A0 根据勾股定理求得AC，进而根据正弦的定义求解即可； AC ②待定系数法求得直线4C的解析式为Y=方+2，设P0mm-m+2).别Fm. 21 m+2),求得PF=2m+2八+2，根据O的结论求得PD=PF·sin∠PFD,当PF取得最 1 1 大值时，PD取得最大值，进而根据二次函数 的性质求得PD的最大值； (3)分别表示出PD,PC,求得A0,AC,C0的长，根据LA0C=LPDC=90°， △PCD与△AC0相似时，有以下2种情形，①当△PCD∽△AC0时，②当△PCD∽△CA0时， 进而根据相似三角形的性质列出方程解方程求解即可. 【解答】解：(1)抛物线y=ax2+bx+2与x轴交点为A(-4,0)、B1,0),与y轴交于点C 令x=0,则c=2, ∴.C(0.2), 设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1), 将点(0,2)代入得，2=-4a, 解得：a=一2' 1 ∴y=- )(x+4)(x-1)==三x2-号 x+2, 2 抛物线的解析式为y=-x2- 2+2: (2)①：PE⊥x轴， :ZAFE ZACO, 又：∠PFD=∠AFE, :Z PFD ZACO, sin∠PFD=sin∠ACO=A AC A(-4,0),C(0,2), :A0=4,0C=2, AC=V22+42=2V5 sin∠PFD=sin∠AC0=A0=4_2W5 4C2W5=5: ②设过A(-4,0)C(0,2)的直线解析式为y=x+b, -4k+b=0 则 b=2 k=- 解得： 2 b=2 :直线4C解新式为y号+2 夜代 6m2、3 m+2),则Fm2m+2), 2m+2- 2m2=-1 1 m2-2m=- (m+2)2+2, 2 2 当m=-2时，PF有最大值2， :PD=PF·sin ZPFD, PF取最大值时，PD取最大值， 2=45 PD最大值为25x 5 (3)设Pm,-m-3m m+2),则Fm,2m+2), 2 F号m2+2mn :A0=4,0C=2, :4C=25, :PD=PF·sin ZPFD, PD25 (二m2+2m)川， 5 1 :C(0,2),P(m,- 6m2、3 m+2), 2 1 PC=m2+(5m2+ m)2, 3 :LA0C=∠PDC=90°， :△PCD与△AC0相似，有以下两种情形， ①当△PCD∽△AC0时， .PD40 PC AC 22 4 Vm+(m2+ 1 2m2 25 3 整理得：m+兮+m=(兮m+2m, 解得：m,=0(与点C重合，舍去)，m= 3 2 当m= 时，-m2-3 1 25 m+2= 2 2 2 8 325 P(-2'8 ); 当△PCD∽△CA0时， PD CO 25,1 m2+2m 即5 2 Vm2+(5m2+32 1 25 2 2 整理得m2+(二m2+二m)2=4(二m2+2m)2, 2 17 解得：m1=-3，m2=- 3’m=0(舍去)， 2m+2=2, 当m=-3时，2m23 .P(-3,2), 当m=时， 3 3m+2=0 9 综上所述，当△PCD与A4C0相似时，点P的坐标-号，2空或P-3,2)暖（子，9. 8 19.(2025·广东模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点 (1)连接AD,交y轴于点E,P是抛物线上的一个动点. ①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F,连接EF、AP,若 SMADP=3 SADEF,求点P的坐标 ②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G,设w-、匹，则w有 SABGP 最大值还是最小值？w的最值是多少？ (2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N,过点P作 PM⊥x轴，垂足为I,交圆N于点M,点P在运动过程中线段MⅢ是否变化？若有变化， 求出MI的取值范围；若不变，求线段MI长度的定值. (3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ,设△AOQ外接圆圆心为H,当 sin∠OQA的值最大时，请直接写出点H的坐标. B B文 图一 图二 图三 备用图 【分析】(1)①根据题意先求得A,B,C,D各点的坐标，求得AD的解析式，进而求 得点E的坐标，通过计算可得AE=ED，进而可得SFE=SFED,由SMDP=3 SADEF可得出 OE=yp=2,依题意，设P(m,m2-2m-3),其中0<m<3,建立方程求解即可得出答案； ②根据已知条件设P(m,m2-2m-3),其中0<m<3,求得直线AP的解析式，直线BE的解 析式，联立即可求得点G的坐标，根据 74B6 W= yal 8 令 4Bnl-号4B%1,-%-3m+8m+3 1 =-3m2+8m+3=-30m争+ ,根据二次函数的性质求得z的最大值，即可求得w的 最小值： (2)根据题意过点N作NR1MP,依题意，点N为△ABP的外心，N为AB垂直平分线上 的点，则点N在抛物线的对称轴直线x=1上，设P(m,m2-2m-3),其中0<m<3,N(1,n) ，A-10,B3,0),根据N4=NP建立方程，解得：n=m-2m-2,进面求得w=1, 2 即可求得MI=1; (3)作△400的外心H,作HG1x轴，则AG= A0=,进而可得H在A0的垂直平分 2 线上运动，根据题意当sin∠OQA最大转化为求当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，进而 根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得AH,运用勾股定理求得HG，即可求得 点H的坐标，根据对称性求得另一个坐标. 【解答】解：(1)抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为 抛物线顶点. .令x=0,得：y=-3, 则C(0,-3), 令y=0,得：x2-2x-3=0, 解得：x=-1,x2=3, 则A(-1,0),B(3,0), :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, D1,-4). ①设直线AD的解析式为y=x+b,如图1， A(-1,0),D1,-4) 「-k+b=0 +b=4 k=-2 解得： 1b=-2 .直线AD的解析式为y=-2x-2, 令x=0,则y=-2, .E(0,-2), :AE=V0A2+0E2=P+2=V5,ED=0-0)2+(-4+2=V5, :AE ED, SAFAE =SAFED SAADP =3SADEF :SMAPF =SAADP-SMAFD =3SADEF SAAFD =3SADEF -2SADEF SADEF SAAEF OE⊥AF, ÷号4r-0E-4P% 2 0E=yp=2, 依题意，设P(m,m2-2m-3),其中m>3, .m2-2m-3=2, 解得：m=1+V6,m2=1-V6(舍去)， P1+V6,2) ②，点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G,如图2， 设P(m,m2-2m-3),其中0<m<3, 设直线AP的解析式为y=cx+d, :A(-1,0),P(m,m2-2m-3), 「-c+d=0 mc+d=m2-2m-3' c=m-3 解得： d=m-3' ∴.直线AP的解析式为y=(m-3)x+m-3, 设直线BE的解析式为y=ex+f, B(3,0),E(0,-2), 5 2 解得： e= 3 f=-2 2 直线BE的解析式为y=亏x-2, y=(m-3)x+m-3 联立方程组，得： 2 y=5x-2 3 3-3m x= 解得： 3m-11 24-8m P 3m-11 24-8m :y%=3m-11 :0<m<3, .24-8m>0,3m-11<0, 24-8m<0, 3m-11 1 AB-lyal 2 1yaL8m-24+24-80-m2+2m+3)=3m+8m+3 8 ∴.w= AB-y1-4B-YGl y-Yol 3m-11 3m-1 2 令2=-3m2+8m+3=-30m- 4 25 )2+ 3 -3<0, 当m一音时，：取得最大值管w取得最小值为务一君 824 3 3 ·”有最小值，最小值为24 5 (2)不变，M1=1,理由如下： 如图，过点N作NR⊥MP,依题意，点N为△ABP的外心， :N为AB垂直平分线上的点，即点N在抛物线的对称轴直线x=1上， ,PM⊥x轴，NR⊥MP, MR=PR,NR//x轴， w=yt业， 2 设Pm,m2-2m-3)(0<m<3),N(1,n),A(-1,0),B(3,0), :N为△ABP的外心， NA=NP,则N2A=NP2, 即[1-(-1)]2+n2=(m-1)2+(m2-2m-3-n)2, 解得：n=m2-2m-2 2 yy 2 n=y+m2-2m-3 2 yw=1, .M(m,1), .MI=1. (3)如图4，作△A00的外心H,作HG1x轴，则4G=G0=, AH=HO, ∴H在A0的垂直平分线上运动， 依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时， :H是△AOQ的外心， .∠AHO=2∠AHG=2∠OQA,即当sin∠AHG最大时，sin∠OQA最大， 4G=40= 1 1 ÷sin∠00A=sin∠4HG=AG-2 ΓAHAH 则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大， AH=HO, 即当01直线x=1时，4取得最小值，此时Q=1-(宁-多 3 AH=2, 在RaAG中，HG=Vam-4G-V厚-分=5， 分2， 根据对称性，则存在}， 综上所达，号②)或H号一②. H AGO B x=1 图4 y： M IN- RB C 图3 y◆ A G 图2 B 图1 20.(2025·瓯海区校级自主招生)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点0出发，沿x轴 向右以每秒一个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y=-x2+bx+c经过点0和点P. (1)求c,b(用t的代数式表示)： (2)抛物线y=-x2+bx+c与直线x=1和x=5分别交于M,N两点，当t>1时， ①在点P的运动过程中，你认为si∠MP0的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变， 求出sin∠MPO的值； ②△MPN的面积S与t的函数关系式： ③是否存在这样的t值，使得以O,M、N,P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出 t的值；如果不存在，请说明理由. 0 A 【分析】(1)根据抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P,将O(0,0),P(t,0),代入求出c ，b的值即可： (2)①根据(1)中解析式得出M(L,t-1),得出AM=AP,∠PAM=45°即可得出 sin∠MP0的大小不会变化： ②根据当1<t5时以及当1>5时，分别得出SAMPN=SMAPM+S形ANP-SAMBN, SMPY=S稀形MBv+SANBP-SAPM，求出即可； ③根据当MP//ON时以及当MN/1OP时，分别得出t的值即可. 【解答】解：(1)由题意得O(0,0),P(t,0), 代入y=-x2+bx+c, 得c=0, -t2+bt=0, 即b=1. 即y=-x2+x. (2)当t>1时，①M(1,t-1), 即AM=t-1,AP=1-1, 即AM=AP,∠PAM=45°，sin∠MP0=sin45°= 是定值 2 ②当1<t5时，N(5,5t-25), 如图1， y 0 A B 图1 过点N作AM的垂线，垂足为B, SAMPN=SMAPM+S特形HBNP-SMBN, =-+0-1+40x25-50--15+2x4 =-212+12t-10, 当t>5时，如图2， 图2 SAMPN =S MABN+SANBP-SAAPM -1+5-2x4+56-25-5列-0- 1 =2t2-12t+10, ③存在这样的t值，使得以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形 当MP/10N时，如图3， y 0 图3 :∠0PM=45°，∠P0N=45°， 即N(5,-5),代入y=-x2+x得-25+5t=-5. 解得1=4； 当MN/10P时，如图4， o B 图4 则M,N关于对称轴x=3对称， 即-1=3， 2×(-1) 解得：t=6, 综上，当t=4或t=6时，以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形.