2026届高考数学百分练（十三）（7+2+2+3）

**基本信息** 2026高考数学三轮冲刺百分卷，以7+2+2+3结构聚焦三角、数列等高考核心大题，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配冲刺阶段核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/47分|复数、集合、等差数列、抛物线、正四棱台体积等|结合奇偶函数单调性（第7题）考查数学思维的推理能力| |填空题|2/10分|不等式求最值、三角恒等变换|以正数x,y关系（第10题）体现数学眼光的抽象能力| |解答题|3/43分|解三角形、等差数列与函数、椭圆综合|椭圆面积最值与存在性问题（第14题）凸显数学语言的模型意识|

2026高考数学·百分卷（十三） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以. 2．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，解得， 故. 4．在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.设，，则.代入，得. 又，所以，解得.因此. 5.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，，则（     ） A. B. C.4 D. 【答案】B 【解析】法—：易知，抛物线C的准线为直线.设，由抛物线的定义可知，所以，又为C上的点，所以，因此 . 法二：易知，设，则，得，所以. 6.在正四棱台中，，，则该正四棱台的体积为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】作出正四棱台的轴截面，如图，过点作，垂足为E.在正四棱台中，，，则，，，即梯形为等腰梯形，所以，所以该正四棱台的体积. 7.定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，设，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数是以8为周期的周期函数.，.又在上单调递增，且，所以，即. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8.已知，，，…，的平均数和方差分别是8和1.5，设一组数据0，，，，…，，20的平均数和方差分别是和，另一组数据，，…，的平均数和方差分别是和，则下列说法正确的是（     ） A. B. C.若，则 D.若且，则 【答案】AC 【解析】A正确，由题意得，， 所以，，从而. B错误 ，将0和20作为一组，其平均数和方差分别为，，故，. C正确，若，则，得. D错误，当时，由，得，解得. 9. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（     ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】对于A，取的中点D，连接，.在中，P，D分别为，中点， ，且.在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且.，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，，则，， 所以，，与矛盾，所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面，所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形，所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，，所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10．已知正数x，y满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 11.已知，为锐角，，，则__________. 【答案】 【解析】法一：由题可得，，因为，所以，故，， 又，所以，，故. 所以. 法二：由题可得，，所以，所以. 因为，所以，故. 因为，所以， 所以 ，所以， 故，所以. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，， （1）求； （2）求. 【解析】（1）由，得，为直角三角形且， 由勾股定理，故. 因为，所以，即，解得. 在中，由余弦定理： 代入，，，得 即，. 解得. （2）由，得，. 在中，，，. 由余弦定理：. 代入得，即. 在中，，，. 由余弦定理：. 代入得. 由同角三角函数关系，. 故. 13.已知等差数列的公差，是，的等比中项，且. （1）求的通项公式； （2）给定正整数m，设函数，求. 【解析】（1）因为是，的等比中项，所以， 即，整理得， 又，所以.① 因为，所以，即，即.② 由①②得，， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以. 14.已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆C的标准方程. （2）求面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线PQ的方程. （3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）将代入椭圆方程，得，则， 所以椭圆方程为. （2）当直线PQ的斜率为0时，此时O，P，Q三点共线，不合要求，舍去； 当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，，， 由，消去x得关于y的一元二次方程，，，则，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为，此时直线PQ的方程为或. （3）在x轴上存在点，使得恒成立，理由如下. 因为，所以， 即，整理得， 即，所以， 则，又，解得. 故在x轴上存在点，使得恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学·百分卷（十三） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数，则（  ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（  ） A．13 B．15 C．17 D．19 4．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 5.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，，则（  ） A. B. C.4 D. 6.在正四棱台中，，，则该正四棱台的体积为（  ） A. B. C. D. 7.定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，设，，，则（  ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8.已知，，，…，的平均数和方差分别是8和1.5，设一组数据0，，，，…，，20的平均数和方差分别是和，另一组数据，，…，的平均数和方差分别是和，则下列说法正确的是（     ） A. B. C.若，则 D.若且，则 9. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（     ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10．已知正数x，y满足，则的最小值为__________. 11.已知，为锐角，，，则__________. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，， （1）求； （2）求. 13.已知等差数列的公差，是，的等比中项，且. （1）求的通项公式； （2）给定正整数m，设函数，求. 14.已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆C的标准方程. （2）求面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线PQ的方程. （3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $