单元过关(十三)直线与圆的方程-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

笔锋所至，梦想开花 密 2025一2026学年度单元过关检测（十三） 7.已知圆C:x2+y2-2x十my十1=0(m∈R)关于直线x+2y+1=0对称，圆C2的标准 班级 卺题 方程是(x十2)3+(y-3)-16,则C1与C:的位置关系是 () 数学·直线与圆的方程 A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线ax十y一4a=0与直线x一ay十2=0交于点P, 则对任意实数a,OP|的最小值为 () 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.4 B.3 C.2 D.1 是符合题目要求的。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 题号 7 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 答案 题号 9 10 11 1.已知直线l1:x十my一5=0，直线l2:mx十y十3=0，若l1∥l,则实数m= () 答案 A.1 B.-1 C.-1或1 D.0 9.已知点P(4m十3，一3m一4)，若点Q在圆C:(x一1)十y2=1上，则 ( 2.已知直线l1:ax十y+十1=0与直线l2:x-3ay+7=0,则“a=0”是“1⊥l,”的() A.点P在直线3x十4y+7=0上 B.点P可能在圆C上 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.PQ的最小值为1 D.圆C上至少有2个点与点P的距离为1 D.既不充分也不必要条件 3.已知点P在圆(x一2)十y=1上运动，O为坐标原点，则线段OP中点的轨迹方程为 10.已知直线l1ax十3y+4=0,l:x十(a-2)y+a2-5=0,则下列说法正确的是() () A.若a=1,则l1的一个方向向量为(3，一1) Au-0+y-月 R-+y-号 B.若11∥l2,则a=-1或a=3 C若山则a=是 C.(x-1)+y2=1 nc-2r+y-号 D.l:恒过定点(0,4) 4.已知圆C:x2+y2=9,过点M1,2)的直线1与圆C交于A,B两点，则当|AB|取最小 11.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之 值时，△ABC的而积为 () 比为常数1（入>0且入≠1），那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点P到 A.2 B.4 C.25 D.33 点O(0,0)与点A(2,0)的距离之比为√2，则下列说法正确的是 () 5.已知圆0经过（一2，-2），(-2,6)，(4，一2)三点，点P(2,-1),则1P0■ A.点P的轨迹方程为(x一4)2+y2=8 A.10 B.5 C.23 D.10 6.已知点P(0,一1)关于直线x一y十1=0对称的点Q在圆C:x2+y2+mx十4=0上，则 B点P到直线3x-4y十12=0的距离的最小值为号 m= () C.点P到圆x十y=1上点的距离的最大值为5十2,2 A.4 B号 C.-4 n号 D.若到直线x一y一2k=0的距离为2的点P至少有3个，则一1≤k≤1 单元过关检测（十三）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第2页（共8页） A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 16.(15分)已知在平面直角坐标系xOy中，圆M:x2+y2一2x+2ay+3=0,M上存在两 12.已知直线1过点(1,2)，且其法向量为n=(1,2),则在x轴上的截距为 点关于直线x十y十1=0对称. 13.已知直线11：3x一4y十7=0与12：6x一(m+1)y+1一m=0平行，则l1与1：之间的 (1)求M的半径： 距离为 (2)求过坐标原点0且斜率为一2的直线1被M截得的弦长 14.某圆拱形桥一孔圆拱如图所示，圆拱跨度AB=24m,拱高OP=6m,建造时每间隔 3m需要用一根支柱支撑，则A1P:= m A本为AO4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的三个顶点A(1,6),B(一1，-2)，C(6,3). (1)求边BC上的中线所在直线的方程， (2)求边BC上的高所在直线的方程. A 单元过关检测（十三）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第4页（共8页） 17.(15分)如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD(含边界和内部，A为 18.(17分)已知圆C:x2+(y一1)2=5，过点P(1,1)的直线1交C于A,B两点. 坐标原点)，AD长10米，在AB边上距离点A4米的F处放一只电子狗，在距离点A (1)若引AP|PB|=1:2,求此时（的方程. 2米的E处放一个机器人，机器人的行走速度为，电子狗行走的速度为2，若电子狗 (2)过A,B分别作C的切线11，l2,设直线11和l2的交点为M,证明：点M在定直线上， 和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内的某点M,则电子狗将被机器人捕获， 点M叫“成功点”， (1)求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程： (2)若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值 范围 单元过关检测（十三）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第6页（共8页） A 19.(17分)已知直线1过点P(3,2),且与x轴，y轴正半轴分别交于A,B两点 (3)如图，若AP=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在 (1)若1的斜率为一2，求△AOB的面积. 线段MP和线段OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，证明：直线EF (②)若△A0B的面积S满足12≤S<75, ,求1的斜率k的取值范围。 必过定点，并求出该定点的坐标。 A 单元过关检测（十三）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 (2)因为bm+1=2bm-2n+3,所以bm+1 又a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,a6=63, (2n+1)=2[bn-(2m-1)]=…=2(b1-1)=0, b32=63,b36=71, 所以{bn一(2n一1)}是各项均为0的常数列，所 所以c1十c2十…十c30=(b1+b2+…十b36)一 以bn=2n-1, a1十a++a)=36xg+71）-[(2+2+ 2 所以bm+1一bn=2,所以{bn》是以1为首项，2为 …+2)-6]=362-27+8=1176. (17分) 公差的等差数列. (13分) 2025一2026学年度单元过关检测（十三） 数学·直线与圆的方程 一、选择题 (b+1 1×1=m2, /a-0=-1, 1.C【解析】根据两直线平行，可知 解 6.B【解析】设Q(a,b),则 解 3m≠1×(-5)， a+0b-1 22 +1=0, 得m=士1. 2.A【解析】若l1⊥l2,则a2一3a=0,解得a=0或 得a=-2,b=1,所以Q(-2,1).又因为Q在C a=3,所以“a=0”是“11⊥l2”的充分不必要条件。 9 上，所以4十1-2m十4=0，解得m=2,经检验， 3.A【解析】设线段OP的中点为Q(x,y), 符合题意。 P(xoy0),则由题意得(x。-2)2十y=1,且 7.B【解析】因为C1:x2十y2-2x十my+1=0,整 z=2x'即P2x,2y,所以(2z-2)2+2y) y。=2y, 理得G-1+(+经）- 4,故C的圆心 1 =1,即(x-1)2+y2= ,所以线段OP中点的轨 为1，-）半径r= m 2 且m≠0，因为C1关 递方程为-1)+y= 于直线x十2y+1=0对称，所以直线x十2y十1= 4.C【解析】由题意知，当AB取最小值时，点 0经过周心C,故1+2×(-究）十1=0，解得m M(1,2)为弦AB的中点，此时CM⊥AB,又 |CM=√5，则|AB|=2×√9-5=4，所以 =2,又C2的圆心为(-2,3)，半径r2=4,由两，点 Sax=AB×CM=X4X6=2w5. 间距离公式得|C1C2|=√9+16=5=r1十r2,所 以C1与C2外切. 5.D【解析】设该圆的方程为x2十y2十Dx十Ey+ 8.C【解析】由题意知，a×1+1×(-a)=0,故两直 F=0,将(-2，-2)，(-2,6)，(4，-2)代入圆的 线垂直，又直线ax+y-4a=0过定点A(4,0), -2D-2E+F+8=0, 方程可得 -2D+6E+F+40=0,解得 直线x-ay+2=0过定点B(-2,0), 4D-2E十F+20=0, 故两直线的交，点P在以AB为直径的圆上（不含 D=-2, 点A(4,0),该圆方程为(x一1)2十y2=9,则其圆 E=-4,故圆的方程为x2+y2一2x-4y 心为C(1,0),半径为3， F=-20, 则|OP|≥|CP|-OC,当且仅当P,O,C三，点 20=0,整理得(x-1)2+(y-2)2=25,故O(1,2), 共线，即P位于B点时，等号成立，故OP的最 所以|P0|=√(2-1)2+(-1-2)2=√10. 小值为3-1=2. 7 A 真题密卷 单元过关检测 11.ACD【解析】设P点坐标为(x,y),由题意可得 √x2+y =√2，化简得(x-4)2+y2=8, √(x-2)2+y 故A正确； 二、选择题 9.AC【解析】对于A,将点P(4m+3,一3m-4)代 由A可知，P在圆(x-一4)2十y2=8上，其圆心坐 入直线方程得3(4m+3)+4(-3m-4)+7=0, 故点P在直线3x十4y十7=0上，故A正确； 标为M(4,0),半径为r=2√2，故圆心M到直线 对于B,圆心到直线3x十4y十7=0的距离d= 的距离d= 3X4十122>22，故点P到直 √32+4 13+7=2>1=7,故直线3x十4y十7=0与国 √32+4 线3江一4y十12=0的距离的最小值为d-,=24 C相离，结合A可知，点P不可能在圆C上，故B 错误； 一2√2，故B错误； 对于C,结合B可知，PQ min=d-r=2-1=1, 故C正确； 对于D,由C可知圆C上只有1个点与点P的距 离为1，故D错误. 10.AC【解析】对于A,当a=1时，l1:x+3y+4= 点P到圆x2十y2=1上点的距离的最大值为M 0,斜率为-了，则其一个方向向量为8，-1D,故 到(0,0)的距离加两个半径，即4十1十2√2=5+ A正确；对于B,若l1∥l2,当a=2时，显然不符 2√2，故C正确； 合题意；当a≠2时，由题意得直线l1的斜率为 :=-号，直线：的斜率为= a-2,则k1= k,即1=a a-2=-3,解得a=-1或a=3,当a= -1时，l1:-x十3y+4=0,l2:x-3y-4=0,显 然两直线重合，所以a=3,故B错误；对于C,若 设圆心M到直线kx一y一2k=0的距离为d,若 l1⊥l2,当a=2时，显然不符合题意；当a≠2时， 到直线的距离为√2的点P至少有3个，则r一d 可得：=。·(】 3 =-1,解得a=2,故 =22-d≥2，即d≤2，即级-2k|≤2，解 √2+1 C正确；对于D,将1化简得y= 4 得-1≤k≤1，故D正确. 3x-3,可 三、填空题 4 知当x=0时，y=一 3,故不论a为何值，l1恒 12.5【解析】直线l的点法式方程为1×(x一1)十2 ×(y-2)=0,化简可得x+2y一5=0，令y=0, 过定点0，》，故D错误。 得x=5,即1在x轴上的截距为5. A ·8· ·数学· 参考答案及解析 3 16.解：(1)圆M:x2+y2-2x+2ay+3=0,即 13.2【解析】因为直线11与12平行，所以 6 (x-1)2+(y+a)2=a2-2, -(m十1)，解得m=7. 一4 则圆心为M(1,一a),半径r=√a2-2,(3分) 所以12：6.x-8y-6=0,即3x-4y-3=0, 因为M上存在两点关于直线x十y十1=0对称， 所以4与1：之间的距离d=|7-（-3)1=10 所以圆心M(1,-a)在直线x十y+1=0上， √32+(-4)2 所以1-a十1=0，解得a=2, (6分) =2. 所以M的半径r=√2. (8分) 14.3【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， (2)由(1)可得，(x-1)2+(y+2)2=2,M(1,-2), 4x,即3x十 3 依题可得直线1的方程为y=一 4y-0, (10分) AA A2 A3 O() B 所以圆心M到l的距离d= 13×1-2×41=1, 设过点A,P,B的圆的方程为x2十(y一b)2= √32+4 r2.因为点B(12,0),P(0,6)在圆上， (13分) 122+b2=r2, b=-9, 解得 所以弦长为2×√2-1=2. (15分) 所以 0+(6-b)2=r2, r2=225. 17.解：(1)分别以AD,AB所在直线为x,y轴，建立 所以圆的方程为x2十(y十9)2=225. 如图所示的平面直角坐标系， 令x=-9,得81+(y+9)2=225,即(y+9)2= 225-81=144,又y>0,所以y+9=12,即y= 3,则A1P1=3m. 四、解答题 Dx 15.解：1由题意得，BC的中点D(号，》，2分) 则E(0,2),F(0,4),设成功点M(x,y)(0≤ x≤10)， 6- 2 则中线AD所在直线的斜率为AD=一 IFMI _2ot =2,FMI=2|EMI, 依题意得，EM一t 1 5 2 则w√x2十(y-4)2=2√x2十(y-2)2,化简得x2 11 3 (4分) +6--(≤≤) 所以边BC上的中线所在直线的方程为y一6= 所以在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程 1 3(x-1),即11x+3y-29=0. (6分) 是x+(-)-<≤) (5分) 3-(-2)5 (2)由题意得，kc=6-(-1)=7’ (8分) (2)由(1)知，点M的轨迹是以(o,号)为圆心，行 1 则边BC上的高所在直线的斜率=- 5 为半径的右半圆， 由电子狗在线段FP上总能逃脱，得直线FP在 (10分) 所以边BC上的高所在直线的方程为y一6= y轴右侧且与点M的轨迹相离， (8分) 此时直线FP的斜率k<0,方程为y=kx十4，即 5x-1),即7x+5y-37=0. (13分) kx一y+4=0, (10分) 。9· A 真题密卷 单元过关检测 P 因为直线1过点P(1,1),则xM一(1-yM)一4- 3 3,得2<3，解得-3<<0， 、 由 yM=0,所以xM=5, √R2+I 所以点M在直线x=5上. (17分) 即0<tan∠FPA<√3， (12分) 19.(1)解：由题意可得，直线1的方程为y一2= AFI443 所以AP|=tan/FPA3 3, 一2×(x-3),即y=-2x+8, 令x=0,解得y=8;令y=0,解得x=4, 又|AP|≤10， 所以S6m=号X8X4=16 (4分) 所以|AP|的取值范围是 3,10 (15分) (2)解：设直线1的斜率为(k<0),则直线l的 18.(1)解：设A(x1,y1),B(x2,y2). 方程为y-2=k(x-3), 当直线l的斜率不存在时，l:x=1, (2分) 令x=0,解得y-2一3k; x=1, 联立 解得y1=3,y2=一1， x2+(y-1)2=5, 令)=0解得1=3名， (6分) 此时|AP=|PB,不符合题意； (4分) 当直线1的斜率存在时，设l:y=k(x一1)十1， 则s=7e-)0）-0 2k -,(8分) 由0-日用2证-防，则=3- 由12<S<75,得12≤-322≤75， 2k 4 y=(x-1)+1, 联立 由于9k2+12k+4=(3k+2)2≥0，k<0成立， x2+(y-1)2=5, 可得(1+k2)x2-2k2x十k2-5=0, (8分) 则9k+号+4长0，解得-8<k≤-日 则△=(-2k2)2-4(1+2)(k2-5)=16k2+20> 综上，的取值范围为「-8，一1] 2k2 k2-5 3’6 (10分) 0,x1十x2=1+b2x1x2-1+十2，又因为x2=3 (3)证明：设A(a,0),B(0,b), 2x1￥ 因为P(3,2),AP=2PB, 3+2 21=1十k2 所以(3-a,2)=2(-3,b-2),可得a=9,b=3, 解得 (10分) 又M(0,2),则|OM|=2,PM=3, k2-3 x2=1十k 所以梯形AOMP的面积为2×2×(3+9)=12， 所u·8解得一士1， (12分) 故直线1的方程为x一y=0或x十y一2=0. 由题意得，梯形FOME的面积为6， (12分) 设E(m,2),F(n,0),可得2×2×(m+n)=6, (2)证明：设M(xM,yM), 即m+n=6, 则以线段CM为直径的圆的方程为-登》 由直线EF的方程为y=m一x一n), 将n=6-m代入上式可得2m(y-1) 化简可得x(x一xM)十(y一1)(y-yM)=0, (2x+6y-12)=0, (14分) (14分) y-1=0, (x=3, 由 解得 上述方程与圆C的方程相减得1：xMx 2x+6y-12=0, y=1, (1-yM)y-4-yM=0, 所以直线EF恒过定点(3,1). (17分) A ·10·