精品解析：重庆复旦中学教共体2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2027届 数学试题 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上 命题人：袁亮审题人：刘小红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （改编） 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. （改编） 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点 4. 多项式展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． （原创） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 个人分本相同的书，每人至少分本，且书必须分完的不同方案总数是种 B. 若直线是函数的切线，则直线与函数只有一个交点 C. 从个男生和个女生中选出人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是 D. 对于函数，，满足 （改编） 10. 关于函数，以下结论正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 的最小值为 C. 若方程有两个根，则或 D. 若，则 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的导函数为，且，则________. （改编） 13. 有___________个不同的正因数.（用数字作答） 14. 已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值. （改编） 17. 解决下列问题 （1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤） （2）一支医疗小队由名医生和名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到名医生和名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤） （3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释. （请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范） 18. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2027届 数学试题 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上 命题人：袁亮审题人：刘小红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （改编） 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数及简单复合函数的求导计算即可. 【详解】对于A：，A错误. 对于B：，B错误. 对于C：，C错误. 对于D：，D正确. （改编） 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数在某点的导数意义计算极限值可得. 【详解】因为，所以，. 又因为. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值点的定义判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故函数在区间上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，是函数的极小值点，C错； 对于D选项，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增， 故不是函数的极值点，D错. 故选：B. 4. 多项式展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，对照项，求出参数值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得，故展开式中项的系数为. 故选：A. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数在区间上单调递增转化为在上恒成立，再由函数的最小值可得. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增，所以，因此. 所以实数的取值范围是 6. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法， 其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法， 故共有条路线. 故选：B 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当时，，构造，借助新函数的单调性比较大小. 【详解】设，则， 又当时，， ∴， ∴在上单调递减， ∵，∴即，故A错误； ∵，∴即，故B错误； ∵，∴， 又是定义在上的奇函数， ∴，故C正确； ∵，∴，即，故D错误. 故选：C 8. 已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知的一条切线的斜率为，根据导数的几何意义求得切点，进而求得切线方程，即可求得. 【详解】由得 由题意，直线的斜率为，则，解得. ∴，∴切点为 ∴切线方程为，即. 所以，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． （原创） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 个人分本相同的书，每人至少分本，且书必须分完的不同方案总数是种 B. 若直线是函数的切线，则直线与函数只有一个交点 C. 从个男生和个女生中选出人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是 D. 对于函数，，满足 【答案】AD 【解析】 【分析】对A直接用隔板可得；对B通过举反例判断可得；对C直接分类计算可得；对D根据积的导数运算公式计算可得. 【详解】选项A，由隔板法得方案总数是，A正确; 选项B，若直线是函数的切线，则直线与函数的交点至少有一个. 如函数与相切，但与有两个交点，如图，故B错误； 选项C，分两类：一类选出的人都是女生有种不同结果，二类选出人有一个女生有， 所以至少选到一个女生的不同方案总数是，故C错误； 选项D， ，所以D正确. （改编） 10. 关于函数，以下结论正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 的最小值为 C. 若方程有两个根，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过分析导函数零点的分布得到函数的单调性与极值，再求得最值. 【详解】，或， 故增区间为，减区间为， 故的极大值为，极小值为，选项A正确； 又恒成立，故选项B正确； 如图所示，时只有一个根，选项C错误； 当时，，而，，故选项D正确. 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和的公式即可求解A，根据组合数的运算性质即可求解BC,由杨辉三角的性质即可求解D. 【详解】第n行的所有数字之和为，A正确； ，所以，B错误； 通过观察规律归纳可知：第行数字都是奇数，因此可以归纳出第（，2，…）行全行都是奇数，故都为黑色圆，C正确； 由D可知第127行全行为奇数，则由奇数偶数奇数，结合， 则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的导函数为，且，则________. 【答案】 【解析】 【详解】 （改编） 13. 有___________个不同的正因数.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】将分解，然后根据分步乘法计数原理计算即可 【详解】， 第一步：质因数的指数可以取，共种， 第二步：质因数的指数可以取，共种， 第三步：质因数的指数可以取，共种， 故980的正因数个数为个. 14. 已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】若，使得成立，等价于大于在上的值域的下界；通过求导求出最小值，再通过构造函数求解实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以， 当时，， 得到在上单调递增，则， 若，，使得成立 即，使得成立， 得到在上有解， 化简得在上有解， 令，则， 令，则， 所以上单调递减，，得到， 所以上单调递减，， 故，得到取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质及计算公式化简方程求解. （2）求出二项式展开式的通项公式确定各项系数的正负，再利用赋值法求解. 【小问1详解】 依题意，， 即，而，所以. 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 则为正数，为负数， 在中，令， 令，得， 所以. 16. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由函数的极小值点的导数值等于零可得或，然后检验判断可得； （2）直接用导数求函数在闭区间上的最值可得. 【小问1详解】 因为，所以， 因在取极小值，则，解得或. 当时，，令，解得或， 当或时，；当时，， 所以在，单调递增，在单调递减，是的极大值点，不符合题意， 当时，，令，解得或， 当或时，；当时，， 所以在，单调递增，在单调递减，是的极小值点，符合题意， 因此，此时. 【小问2详解】 由（1）知， 所以函数在，单调递增，在单调递减， 且，，所以函数在上的最大值为. （改编） 17. 解决下列问题 （1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤） （2）一支医疗小队由名医生和名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到名医生和名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤） （3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释. （请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范） 【答案】（1） （2） （3）用0,1,2,3,4,5六个数字排成一个六位数. 先个数全排列，有种排法，再去掉占最高位的方法数，即. 也可以分步先排的位置，除了最高位，剩下的个位置选一个去占，有种， 剩下的个数，个位置随便安排有种，根据分步计数原理，一共有种 同一个问题，结果一样，因此. 【解析】 【分析】（1）直接由分步乘法原理：先把甲乙捆绑和除丙丁外的三人排序，最后再将丙丁插空排列可得. （2）先分三个医生有，再分配护士，先分甲乙组有种，再分其余4人有种，最后由乘法原理可得. （3）构造排一个六位数的问题，一种是用间接法计算，一种是用直接法计算，从而可得结果. 【小问1详解】 分三步完成： 第一步：将甲、乙捆绑成一个整体有种不同结果， 第二步：再把剩下的三人和甲、乙整体进行排列有种不同结果， 第三步：最后将丙、丁两人插空进入刚才的队伍，有种不同结果， 根据分步乘法计数原理，因此一共有种； 【小问2详解】 先将三名医生分配到三家医院有种，再分配护士：先分甲乙两人组有种，再分其余4人有种， 护士共有种不同分配方法，因此一共有种； 【小问3详解】 略 18. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分、和讨论求解即可； （3）将问题转化为成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【小问1详解】 依题意， 所以, ， 又 函数在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 当， ①当时，，在单调递增， ②当时，，在单调递减， ③当时，令，解得 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减． 综上可知， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减 【小问3详解】 由（2）可知， ， ， 故在单调递减， 又因为时，, 所以， 即， 因为，对，关于a的不等式恒成立， 所以，对，恒成立， 即成立， 令， 因为 令在上单调递增 因为 所以，由零点存在定理，可知，使得，即． 当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以， 所以 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 【答案】（1），； （2），证明如下： 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）证明如下： 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $