重庆复旦中学教共体2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 重庆复旦中学高2027届下期期中数学试卷，通过改编与原创题结合，考查导数应用、排列组合等知识，注重数学思维与创新意识，如泰勒公式背景题及长方体路线图问题设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|导数计算、二项式定理、函数极值|第6题以长方体框架为情境，考查空间观念与计数原理| |填空题|3题15分|导数值求解、正因数个数、函数最值|第13题改编自因数分解，强化运算能力| |解答题|5题77分|泰勒公式应用、函数单调性、分配问题|第19题引入泰勒公式，考查数学抽象与推理；第17题结合医疗小队分配，体现应用意识|

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2027届 数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整地书写在答题卡上 命题人：袁亮审题人：刘小红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （改编）下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（改编）若，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数的图象如下图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点 4. 多项式展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. D. 5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体 框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走 路程最短的路线共有（ ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 7.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8.已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. （原创）下列说法正确的有（ ） A. 3个人分7本相同的书，每人至少分1本，且书必须分完的不同方案总数是15种 B.若直线是函数的切线，则直线与函数只有一个交点 C.从5个男生和2个女生中选出2人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是 D. 对于函数，，满足 10. （改编）关于函数，以下结论正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 的最小值为 C. 若方程有两个根，则或 D. 若，则 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知的导函数为，且，则________. 13. （改编）980有___________个不同的正因数.（用数字作答） 14. 已知函数，，，若，使得成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （满分13分） 已知． （1）求的值； （2）求的值； 16. （满分15分） 已知函数（）在处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值. 17. （满分15分）（改编）解决下列问题 （1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤） （2）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到1名医生和2名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤） （3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释. （请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范） 18.（满分17分） 设函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. （满分17分） 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 高二数学【第1页，共4页】 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2027届数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面制上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 ■ 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题9~11为多选题) I[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15.(满分13分) 囚囚■ 16.(满分15分) 17.(满分15分) 囚囚■ ■ ■ 18.(满分17分) 1 1 1 囚■囚 ■ 囚■囚 (LI)6I ▣ ■ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2027届 数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整地书写在答题卡上 命题人：袁 亮 审题人：刘小红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （改编）下列函数求导正确的是（ D ） A. B. C. D. 解析：A. ，B. ，C. 2.（改编）若，则（ C ） A. B. C. D. 解析： 3. 函数的导函数的图象如下图所示，则下列选项正确的是（ B ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点 解析：当时，在区间上单调递增。 4. 多项式展开式中，项的系数为（ A ） A. B. C. D. 解析：，当k=2时， 故项的系数为。 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ C ） A. B. C. D. 解析：在上单调递增在上恒成立 6. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体 框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走 路程最短的路线共有（ B ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 解析：分两步。第一步：从A处行走到，需往后走1步，往上走3步，有种走法。 第二步：从H处行走到B，需往后走1步，往右走2步，有种走法。 根据分步计数原理，共有12种走法。 7. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则（ C ） A. B. C. D. 解析：当时，令，则 又因是定义在上的奇函数。 8. 已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ D ） A. 1 B. 0 C. D. 解析：设直线为的切点为， 故切线方程为，即 又 设直线与的切点为， 故切线方程为，即 故 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. （原创）下列说法正确的有（ AD ） A. 3个人分7本相同的书，每人至少分1本，且书必须分完的不同方案总数是15种 B. 若直线是函数的切线，则直线与函数只有一个交点 C. 从5个男生和2个女生中选出2人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是 D. 对于函数，，满足 解析：选项A，由隔板法得方案总数是，A正确; 选项B，若直线是函数的切线，则直线与函数的交点至少有一个。B错误； 选项C，至少选到一个女生的不同方案总数是。C错误； 选项D， D正确。 10. （改编）关于函数，以下结论正确的是（ ABD ） A. 函数有两个极值点 B. 的最小值为 C. 若方程有两个根，则或 D. 若，则 解析：，， 故增区间为，减区间为 故，，选项A正确。 又恒成立，故B正确，C错误。 当时，，而，，故D正确。 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ACD ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 解析：选项A，第n行的所有数字之和，就是二项式系数和，为，故A正确； 选项B， 。 选项C，取，2，3，检验即可判断C正确。 选项D，第127行全部是奇数，则由奇数+偶数=奇数，则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，故黑色圆比白色圆多一个。选项D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的导函数为，且，则________. 解析： 13.（改编）980有___________个不同的正因数.（用数字作答） 解析：，故980的正因数个数为(2+1)(1+1)(2+1)=18个。 14. 已知函数，，，若，使得成立，则实数的取值范围是 . 解析： 若，使得成立 使得成立 令，则 令，则 故。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （满分13分） 已知． (1)求的值； (2)求的值； 【分析】（1）根据题意，利用组合数的计算公式，化简得，即可求解； （2）求得二项展开式的通项，得到为正数，为负数，分别令和，即可求得的值． 【详解】（1）由组合数的计算公式，可得， 即，解得或（舍去）． （2）二项式展开式的通项公式为， 由 二项式展开式中的系数为, 当为偶数时，；当为奇数时， 令，可得， 令，可得，即， 所以． 16. （满分15分） 已知函数（）在处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值. 【详解】（1），因在取极小值，则， 那么， 当时，，令， 即在，单调递增，在单调递减，是的极大值点，不符合题意，因此，此时. （2），那么函数在，单调递增，在单调递减，且，，于是函数在上的最大值为 17. （满分15分）（改编）解决下列问题 （1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤） （2）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到1名医生和2名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤） （3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释. （请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范） 【详解】（1）甲、乙相邻站有种，再把剩下的三人和甲、乙整体进行排列有种，最后将丙、丁两人插空进入刚才的队伍，有种，因此一共有种； （2）先将三名医生分配到三家医院有种，再将除甲、乙在内的护士平均分成两组，有种，最后把三组护士分配到三家医院有种，因此一共有种； （3）用0、1、2、3、4、5六个数字排成一个六位数. 可以先全排列，有种排法，再去掉0占最高位的方法数，即. 也可以分步先排0的位置，除了最高位，剩下的5个位置选一个0去占，有种， 剩下的5个数，5个位置随便安排有种，根据分步计数原理，一共有种 同一个问题，结果一样，因此. 18.（满分17分） 设函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】 （1）当a = 1时，f(x) = ln(x+1) - x，其定义域为(-1, +∞)。 对f(x)求导，可得。 将x = 1代入f(x)可得f(1) = ln2 - 1，即切点坐标为(1, ln2 - 1)。 将x = 1代入可得，即切线斜率为。 根据点斜式方程可得切线方程为 y - (ln2 - 1) = (x - 1)，整理得x + 2y - 2ln2 + 1 = 0。 （2）已知，其定义域为(-1, +∞)。 对f(x)求导，可得。 当a ≤ 0时，在(0, +∞)上，ax + 2a - 1 < 0，则> 0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增。 当a > 0时，令= 0，解得x = 0或。 当，即 时，在(0, +∞)上，< 0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递减。 当，即时，在(0, )上，> 0，f(x)单调递增；在(, +∞)上，< 0，f(x)单调递减。 综上，当a ≤ 0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；当时，f(x)在(0, )上单调递增，在(, +∞)上单调递减。 （3）由（2）可知，当a ≤ 0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，无最大值； 当时，f(x)在(0, +∞)上单调递减，f(x) < f(0) = 0； 当时，f(x)在x = (1 - 2a)/a处取得最大值，即 g(a) = f() = ln - 2(1 - 2a)。 令，则。 g(t) =lnt-2(1-)=ln t-2+。 对g(t)求导，可得，所以g(t)在(1, +∞)上单调递增，则g(t) > g(1) = 0。 所以，因为x>0，所以。 令，对h(x)求导，可得。 令，因为在(0, +∞)上单调递增，且，，所以存在，使得。 当0<x<x₀时，，，h(x)单调递增；当x > x₀时，，，单调递减。 所以在取得最大值，且，所以。 19. （满分17分） 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． (1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； (2)当时，比较与的大小，并证明； (3)设，证明：． 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【详解】（1）因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 （2）记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）由（2）知，，即， 所以，即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 学科网（北京）股份有限公司 $重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2027届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护， 共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩 序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整 地书写在答题卡上 命题人：袁亮审题人：刘小红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.(改编)下列函数求导正确的是（) A3-号 B.(2)'=2 C.(sin2x)'=2sinx D.()'= -2√ 2.(改编)若f(x)=2x+1,则lim f1+为-f0-2=（) A.2 B.1 C.4 D.0 3.函数y=f(x)的导函数y=(x)的图象如下图所示，则下列选项正确的是() A.y=f(x)在区间(-2，-1)上单调递减 vf( B.y=f(x)在区间(-1,1)上单调递增 C.-3是函数y=f(x)的极大值点 3-2 -10 D.-1是函数y=f(x)的极小值点 4.多项式(x+y+z)展开式中，xz2项的系数为（) A.12 B.24 c.48 D.96 5.已知函数f(x)=x3-ax在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是() A.a<3 B.a<12 C.a≤3 D.a≤12 6.我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体 框架如图所示，小红欲从A处行走到H最后再到B处，则小红行走 路程最短的路线共有()条。 A.10 B.12 C.13 D.14 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f'(x),且当x>0时 f'(x)<f(x),则() 高二数学《第1页，共4页】 A.f(4)>ef(3)B.f(4>e2f(2)c.f(-4)>e2f(-2)D.ef(-4)>f(-3) 8.已知直线y=x+m为f(x)=e的一条切线，将y=f(x)的图象向右平移e个单位，向 上平移1个单位后仍与直线1相切，则=() A.1 B.0 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.(原创)下列说法正确的有() A.3个人分7本相同的书，每人至少分1本，且书必须分完的不同方案总数是15种 B.若直线1是函数f(x)的切线，则直线1与函数f(x)只有一个交点 C从5个男生和2个女生中选出2人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是CCg D.对于函数f(x),g(x),h(x)满足 [f(x)g(x)h(x)]'=f(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) 10.(改编)关于函数f(x)=x2e,以下结论正确的是() A.函数f(x)有两个极值点 B.f(x)的最小值为0 c.若方程f(x)=m有两个根，则= 或m=0D.若x<0,则f(x)<f) 4 11.将(a+b)°（n=0,1,2,.)按第0行 第1行 照二项式定理展开后，其各二项式系数第2行 第3行 13 可以形成“杨辉三角”（图1)，将“杨辉第4行 146 4 1 三角中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂第5行 15101051 第6行 161520156 成白色圆，就得到谢尔宾斯基三角形” （图2)，则() 第n-l行1CC2…CCC1 第n行1CC…CCgC1…C1 16152 05 图1 图2 A.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2” 99」 B.在“杨辉三角中，记第n(n之2)行的第n-1个数为4，则aa-=C, n=2 C.在“谢尔宾斯基三角形中，第2-1-1（n=1,2,…)行全行都为黑色圆 D.在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2f'(①)nx+3x2,则f'(I)= 高二数学《第2页，共4页】 13.(改编)980有」 个不同的正因数.（用数字作答） 14.已知函数f()=血x g(x)=n(x+1)-x,a∈R,若Vx∈[1，e],3x2∈(0,2]使 得f(x)>g(x)成立，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(满分13分) 己知(2.x-1)”=a+4x+a,x2+…+anx"(neN),C2+C1=36, （1)求n的值： (2)求a+a,+a+…+a的值： 16.(满分15分) 己知函数f(x)=x3+2ax2+a2x-3(a∈R)在x=-1处取得极小值. (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在 上的最大值. 17.(满分15分)（改编）解决下列问题 (1)包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情 况总数；（结果用数字作答且书写出步骤） (2)一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作， 每家医院分到1名医生和2名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分 配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤） (3)请你构造一个实际背景，对等式A。-A=C;A作出解释.（请注意不要使用生活中 的真人名，以及用语规范) 高二数学《第3页，共4页】 18.(满分17分) 设函数f)=ln(c+)）-ax+ ,a∈R x+1 (1)当a=1时，求函数f(x)在点(1，f(I)处的切线方程： (2)当x>0时，讨论f(x)的单调性： (3)在(2)的条件下，记f(x)的最大值为g(a,若对任意的x∈(0，+o),使得关于a的 不等式g()>nx-xe+x+1恒成立，求实数1m的取值范围. 19.(满分17分) 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多 项式.当f(x)在x=0处的（∈N)阶导数都存在时，它的公式表达式如下： f)=f0)+r0+f0E+(0e++f(0 +….注：f(0)表示函数f(x)在 2 31 原点处的一阶导数，f"(0)表示在原点处的二阶导数，以此类推，和∫"(0)（≥3）表示在原 点处的n阶导数. (1)求f(x)=n(1+x)的泰勒公式（写到含x的项为止即可），并估算lnl.1的值（精确到 小数点后三位)； (2)当x>0时，比较血1+)与-号的大小，并证明， a》改a水，期：含登0+0头 高二数学《第4页，共4页】重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2027届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！ 同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整地书写在答题卡上 命题人：袁亮 审题人：刘小红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.(改编)下列函数求导正确的是(D) Am2y八=2 1 B.(2*)'=2C.(sin2x)'=2sinx D.W'= 2√R 解析：Aln2)'=0,B.(2)'=2ln2,C.(sin2x)'=2 sin xcosx 2(改编)若fe)=2x+1,则m0+)f0-月=《c) h A.2 B.1 C.4 D.0 解析：f'(x)=2→f'(1)=2 imf0+0,fa-0-21imfa+m-f0-2-2f'0=4 0 h 2h 3.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如下图所示，则下列选项正确的是(B) A.y=f(x)在区间(-2，-1)上单调递减 y=f B.y=f(x)在区间(-1,1)上单调递增 C.-3是函数y=f(x)的极大值点 3-2 D.-1是函数y=f(x)的极小值点 解析：当x∈(-1,1)时，f'（x)>0→f(x)在区间(-1,1)上单调递增。 4.多项式(x+y+z)展开式中，x2项的系数为(A) A.12 B.24 C.48 D.96 解析：T1=C(x+y)4z,当k=2时，I3=C(x+y)2z2=C(x2+2y+y2)z2 故x%2项的系数为2C=12。 5.已知函数f(x)=x3-x在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是(C) A.a<3 B.a<12 C.a≤3 D.a≤12 解析：f(x)=x3-ax在[1,2]上单调递增→f'(x)=3x2-a≥0在[1,2]上恒成立 →a≤(3x2)mn→a≤3 6.我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体 框架如图所示，小红欲从A处行走到H最后再到B处，则小红行走 路程最短的路线共有(B)条， A.10 B.12 C.13 D.14 解析：分两步。第一步：从A处行走到H,需往后走1步，往上走3步，有C4=4种走法。 第二步：从H处行走到B,需往后走1步，往右走2步，有C}=3种走法。 根据分步计数原理，共有12种走法。 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f'(x),且当x>0时，f'(x)<f(x),则(C) A.f(4)>ef(3)B.f(4>e2f(2)C.f(-4>e2f(-2)D.ef(-4)>f(-3) 解析：当x>0时，令g(9=f四，则g时=f四-f四<0一g)在0，+0)↓ -g④<ga=f④f2-f④<ef0-f④>-ef 2 又因f(x)是定义在R上的奇函数→f(-4)>e2f(-2). 8.已知直线y=kx+m为f(x)=e的一条切线，将y=f(x)的图象向右平移e个单位，向上平移1个单 位后仍与直线I相切，则am=(D) 2 A.1 B.0 解析设直线y=x+m为f(x)=e*的切点为(x,e),f(x)=e→k=e 故切线方程为y-e=e(x-x),即y=ex-xe+e 又f(x)=e右移e→y=e-e上移1)y=e-e+1 设直线与y=ex-e+l的切点为(x2,e-e+l),y'=e-e→k=e,e 故切线方程为y-e-e-1=e-e(x-x,),即y=e-ex-x,e2e+e-e+1 e"=e"-e 故 -e-0-e11 e lx=e-1- 2 l= e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9.(原创)下列说法正确的有(AD) A.3个人分7本相同的书，每人至少分1本，且书必须分完的不同方案总数是15种 B.若直线I是函数f(x)的切线，则直线1与函数f(x)只有一个交点 C.从5个男生和2个女生中选出2人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是CC D.对于函数f(x),g(x),h(x)满足 [f(x)g(x)h(x)]'=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x) 解析：选项A,由隔板法得方案总数是C2=15,A正确： 选项B,若直线I是函数f(x)的切线，则直线I与函数f(x)的交点至少有一个。B错误： 选项C,至少选到一个女生的不同方案总数是CC+C;。C错误： 选项D,[f(x)g(x)h(x)]'=[f(x)儿g(x)h(x)]'=f'(x)[g(x)h(x)]+f(x)儿g(x)h(x)] [f(x)g(x)h(x)]'=[f(x)[g(x)h(x)]]'=f'(x)g(x)h(x)++f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) D正确。 10.(改编)关于函数f(x)=x2e,以下结论正确的是(ABD) A.函数f(x)有两个极值点 B.f(x)的最小值为0 4 C若方程f()=m有两个根，则m=。或m=0D若x<0,则f()<f 解析：f(x)=(x2+2x)e,f(x)>0→x<-2或x>0,f(x)<0→-2<x<0 故f(x)=xe增区间为(-0，-2]，(0，+0)，减区间为(-2,0) 故=(-2)=手，fx=f0=0,适项A正确。 又f(x)=xe*≥0恒成立，故B正确，C错误。 当x<0时，f()是，而0）-e,<e,故D正编。 第0行 11.将(a+b)(n=0,1,2,…)按照二项式 第1行 第2行 2 第3行 3 定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三 第4行 146 第5行 151010 5 角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑第6行 1615201561 色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三第m-l行1CC2…CCC1 4X6X4 第n行1CC2…CCCl…C1 1615201561 角形”（图2），则(ACD) 图1 图2 A.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2” B在“杨辉三角”中，记第n(n≥2)行的第n-1个数为4则∑4。n-)=Cg, C.在“谢尔宾斯基三角形”中，第2-1-1(n=1,2,…)行全行都为黑色圆 D.在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 解析：选项A,第n行的所有数字之和，就是二项式系数和，为2”，故A正确： 99 选项B, )=C+Cj+Ci+Cj+C++=C+Cj+C+C+C+.+ =C+C+C号+C+…+Cg=C+C号+Cg+…+C3=…=C0 选项C,取n=1,2,3,检验即可判断C正确。 选项D,第127行全部是奇数，则由奇数+偶数=奇数，则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都 是奇数，故黑色圆比白色圆多一个。选项D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2f'(1)1nx+3x2,则f'(1)=-6 解折：f=2f0+6x→f0=2f0+6→f0=-6 13.(改编)980有18个不同的正因数.（用数字作答) 解析：980=22×5×72，故980的正因数个数为(2+1)(1+1)(2+1)=18个。 14 己知函数f)=①)=mx+)-,a∈R,若VS∈Le,∈(0,2使铜 fc)>(c,)成立，则实数a的取值范围是al血3 2 解析：f()=1-nx一f),e]单调递增→fm=f0=0 若Vx∈[1，]，x,∈(0,2]使得f(x)>g(x2)成立 →3x,∈(0,2】使得0>g)成立→a>(r+D在r∈(0,2]有解 x-1m(x+) 今=n+少，xe0,21,则0W=x —,x∈(0,2] 令p)=-h(x+D,x∈(0,2]，则9()= x+1 x+0<09y在0,2N )<o0)=0→h(<0→（在0,2→(9.a-h2)=血3 故a>n3 2。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(满分13分) 已知(2x-1)=4+ar+4r2++a,x(neN),C+C1=36. (1)求n的值； (2)求a++a+…+4g的值： 【分析】(1)根据题意，利用组合数的计算公式，化简得+n-72=0,即可求解： （2)求得二项展开式的通项，得到a,42,4,a,4为正数，4,4,4,4，为负数，分别令x=0和x=-1, 即可求得☑+，+4++的值。 由组合数的计算公式，可得C+C=C+C上？作 2 即2+n-72=0,解得n=8或n=-9(舍去). (2)二项式(2x-1)展开式的通项公式为T1=Cg(2x).(（-1)=(-1)·2-.Cgx8, 由(2x-1)=4+4x+a,x2+.+a4x8 二项式(2x-1)展开式中x*的系数为a4=C%2(1)8, 当k为偶数时，a>0;当k为奇数时，a<0 令x=0,可得a=1, 令x=-1,可得3=a-a+a-a,+…+a,即1+a+la+a+…+a=3, 所以a+a+a+…+叫=3-1. 16.(满分15分) 已知函数f(x)=x2+2ax2+a2x-3(a∈R)在x=-1处取得极小值 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在-4， 上的最大值 【详解】(1)f'(x)=3x2+4r+a2,因f(x)在x=-1取极小值，则f'(-1)=0, 那么3-4a+a2=0→a=1或3， 当a=1时，f(田=3x2+4x+1,令f()≥0→x≤-1或x≥-】 即f在（←0，-，【3+∞）单调递增，在[-1，-字单调递减，-1是f)的极大值点，不符合题 意，因此a=3,此时f(x)=x3+6x2+9x-3. (2)f'(x)=3x2+12x+9=3(x2+4x+3),那么函数f(x)在(-0，-3]，[-1，+o)单调递增，在 I3川单湖强减A水-3。付-容下是同微四在行 上的最大值为 25 17.(满分15分)（改编）解决下列问题 (1)包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结 果用数字作答且书写出步骤) (2)一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医 院分到1名医生和2名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果 用数字作答且书写出步骤) (3)请你构造一个实际背景，对等式A-A=C!·A作出解释.（请注意不要使用生活中的真人名， 以及用语规范) 【详解】(1)甲、乙相邻站有A种，再把剩下的三人和甲、乙整体进行排列有A种，最后将丙、丁 两人插空进入刚才的队伍，有A种，因此一共有AAA=960种： (2)先将三名医生分配到三家医院有A种，再将除甲、乙在内的护士平均分成两组，有 三种，敬 后把三组护士分配到三家医院有种，因此一共有4C4-108种。 A (3)用0、1、2、3、4、5六个数字排成一个六位数. 可以先全排列，有A。种排法，再去掉0占最高位的方法数A,即A-A 也可以分步先排0的位置，除了最高位，剩下的5个位置选一个0去占，有C!种， 剩下的5个数，5个位置随便安排有A种，根据分步计数原理，一共有C;·A种 同一个问题，结果一样，因此A-A=C4 18.(满分17分) 设函数f=1nx+D）-a+D,a∈R. x+1 (1)当a=1时，求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)当x>0时，讨论f(x)的单调性： (3)在(2)的条件下，记f(x)的最大值为g(四，若对任意的x∈(0，+o),使得关于a的不等式 g(a)>nx-xe+x+1恒成立，求实数m的取值范围. 【样解】 (1)当a=1时，f(x)=1n(x+1)-x,其定义域为(-1，+∞)。 对f)求导，可得f(9=11=-x x+1x+1° 将x=1代入f(x)可得f(1)=1n2-1,即切点坐标为(1,1n2-1)。 路这三1代入f田可符了0三)，即切线斜率为 2。 根据点斜式方程可得切线方程为 y-(12-1)=K-0,整理得x+2y-212+1=0. 2 2)已知=(x+-t出，其定义减为(1，o. x+1 对f)求导，可得f()=二tr+2a-) (x+1)2 当a≤0时，在(0，+∞)上，ax+2a-1<0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增。 当a>0时，令f()=o,解得x=0或x=1-20。 a 当-20≤0，即a≥时，在0，+∞)上，f)<0,所以fx)在0，+o)上单调递减。 1 当-20>0，即0<a<时，在01-20)上，9>0，fx单调递增；在(1-2a,+)上， 1 2 f'(x)<0,f(x)单调递减。 综上，当a≤0时，f(x)在(O,+∞)上单调递增； 当a≥2时，f在0，+o)上单调递减：当0<a<2时，t在0， 1-24)上单调递增，在-24 +∞)上单调递减。 (3)由(2)可知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，无最大值； 1 当a≥二时，f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(x)<f(0)=0: 1 当0<a<二时，f(x)在x=(1-2a)/a处取得最大值，即 ga)=t-2a)=1n1 11-a a -21-2a)。 令i=1-0,则a= *7>1。 1 ge)1nt-21-2)=1nt-2+ 4 t+1 t+1 时@求导，可得@吃0所8@在山，+四)上单调递，月8>0心 所以0>血x-me+x+1,因为x0,所以m>血x+r+1 xe 令9=血x+x+1,对h份求导，可得i)=+1少血x+) x'e 令p(x)=nx+x,因为p(x)在(0，+∞)上单调递增，且p(白)<0，p)>0,所以存在x 1 使得p(xo)=nx。+x。=0→lnx。=-x。→eo= Xo 当0<x<o时，p(x)<0,H(x)>0,h(x)单调递增；当x>xo时，p(x)>0,H(x)<0,h(x)单 调递减。 所以h(x)在x=x。取得最大值，且h(x。)=1,所以m>1。 19.(满分17分) 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当(x) 在x=0处的nn∈N)阶导数都存在时，它的公式表达式如下： f)=f(0)+f0)x+(Ox+Ox++(Or+.注：了0)表示函数x)在原点处的一阶 2 31 _n! 导数，”(0)表示在原点处的二阶导数，以此类推，和f“(O)(n≥3)表示在原点处的阶导数. (1)求f(x)=ln(1+x)的泰勒公式（写到含x的项为止即可），并估算ll.1的值（精确到小数点后三位）： (②)当x>0时，比较血1+x)与x-的大小，并证明； (3)设neN,证明： a*法 2k2 【分析】(1)求出f'(0),f”(0),f"(0),根据泰勒公式可得： (2)构造函数g(x)=ln(1+x)-x+ 之>0，利用导数判断单调性，结合8(0)=0可证： (3)利用(2)中结论令x=1 分2是，构造函数 结合裂项相消法可证n(0+1)>公2k-1 1 h(x)=n(1+x)-x,x>0证明n(1+x)<x,令x= ，利用裂项相消法可正1n(n+1)<>. 【详解1(1)因为f(四xf四- +”()= 1 2 (1+x)3 所以∫'(0)=1，f"(0)=-1,f"(0)=2 所以()=nL+8的泰物公式为：m0+9)=xT到x-￡七 2+3 所以n11=0.1-001+001≈0.095 23 (2)记g(y)=n1+x)-x+ 2t>0, 因为g倒1x=>0:所以(e在Q+1年消适 x+1 又g0)=0,所以x>0时有gc)=n1+)-x+>8(0)=0, 所以n(1+>r- 2 1 (3)由(2)知， 1-》足至=印n低+)-D>名京eN, 血1+衣2k2呢 所以(m2-lnl)+(3-lh2)++(m1lh> 即n(n+1)>2k-1 台2k2 令()=n(1+)-x,x>0,则m(x)=1,-1=-x<0, x+1 x+1 所以h(x)在(0，+o)上单调递减，所以h(x)<h(o)=0,故ln(1+x)<x, 所以n+-h=h 1 则血2-h)+(h-血习+…(n+-t刨22 n-装 LN时空ha+ 关健点睛：第三间关键在于构造差函数证明血(1+)<x,结合(2)中结论令x=是使用裂项相消 法即可得证 重庆复旦中学教共体2025-2026学年(下)期中考试命题说明表 年 级 高二 学科 数学 命题教师 袁亮 审题教师 刘小红 考试时长 120分钟 试卷分值 150 及格分数 90 及格率 45％ 优生分数 120 优生率 11％ 特高分数 135 特高分人数 3 预估年级平均分 81 原创(或改编)题号(至少5道) 1、2、9、10、13、17 考试内容、范围 《一元函数的导数及其应用》、《计数原理》 题型 分值 考查章节、知识点及详细要求 备注 单选题 40 《一元函数的导数及其应用》、《计数原理》 多选题 18 《一元函数的导数及其应用》、《计数原理》 填空题 15 《一元函数的导数及其应用》、《计数原理》 解答题 77 《一元函数的导数及其应用》、《计数原理》 1.以上是模板，请自行参照修改。试卷分值、考试时间详见教研群； 2.考试时间为：初中4月23-24日，高中4月27-28日； 3.此表由各年级学科备课组长负责安排命题人填写，试题资料包上交时间：初中年级4月15日前，高中年级4月17日前。在上传时请把文件名修改为“年级+学科”，以便我们核对。 学科网（北京）股份有限公司 $