精品解析：广东佛山市外国语学校2025-2026学年高二下学期第一次教学检测数学科试题

佛山市外国语学校2025—2026学年高二（下）第一次教学检测 数学科试题 命题人：何芳龙 审题人：吴柳锋 本试卷共4页，共19小题，考试时间120分钟，满分150分. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步计数原理求解. 【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择， 则不同的选择共有种. 故选：D. 2. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 3. 记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】因为为，的等差中项， 所以，即，显然， 所以，解得或． 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 5. 从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况． 6. 距离期中考试即将到来的20天之际，平潭某中学高二（1）班的五位同学打算利用周末时间来亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期六在平潭龙王头风景区、壳丘头遗址考古生态公园、北部湾生态风景区三个景点中选择一个进行游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（    ） A. 46 B. 56 C. 36 D. 66 【答案】C 【解析】 【分析】将5人按两种方式分组，然后作全排求不同选法数. 【详解】将除甲乙外其他3人分成两组，有种，再把三组分配到三个景区有种； 把其他3人中的一个分到甲乙同一组，有种，再让余下2人各自成组，把三组人分配到三个景区有种； 所以共有种. 故选：C 7. 已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. e 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数导数，判断函数单调性，根据单调性，讨论函数存在唯一零点时的情况，列出方程，求出参数的值. 【详解】由题意得， 因为，令，解得， 可知当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增，在处取得极小值， 当时，，当时，， 若存在唯一的使得，必有， 所以，化简得， 因为，所以，解得. 故选：B. 8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据恒成立，得到在单调递增求解. 【详解】解：不妨令， 则， 即在单调递增， 因为， 则在上恒成立， 即，在上恒成立， 则， 又， ∴． 故选：C 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A：由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B：由的图象，可知时，，所以在上单调递增，故选项B正确； 对C：由的图象，可知时，，所以在上单调递增，故选项C错误； 对D：由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确. 故选：BD. 10. 是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ） A. B. 是数列的公比 C. D. 可能为常数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项. 【详解】设等比数列的公比为. 当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错； 当， 所以， 即，，所以ABC对． 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则直线为曲线的一条切线 B. 若，则 C. 若函数有3个零点，，，且，则 D. 若函数在的切线与的图像交于另一个点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出在处的切线方程可判断A；证明的图象关于对称，再证明，由此判断B，由条件可得，比较两侧二次项系数可得，即可判断C，求切线方程，联立与切线方程化简可得，判断D. 【详解】对于选项A：当时，，， 令，解得或. 当时，， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以直线为曲线的一条切线，故A正确. 对于选项B：当时，，， 所以函数的图象关于对称， 又， 所以， 所以，故， 所以，， 且， 所以，故B错误. 对于选项C：若函数有3个零点，，，则， 所以， 由等式左右两侧的二次项的系数相等可得， 又，所以，所以C正确. 对于选项D：函数在的切线方程为， 与联立可得， 所以， 所以或， 故或， 所以或， 所以，故，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将除甲、乙外的3人排列，再将甲、乙两人插空，即可求解. 【详解】先将除甲、乙外的3人排列，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种排法， 综上共有种不同排法． 故答案为：. 13. 设等比数列满足，，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，由得，，解得. 所以， 于是当或时，取得最大值. 14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化简恒成立，则只需令的最小值大于等于，通过求导求出函数单调性即可找到最小值. 【详解】令，则， 令，，在区间上单调递增，且， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 令，易知在区间上单调递增， 又，，. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共57分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间内的最值 【答案】（1） （2）最大值是2，最小值 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程； （2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值. 【小问1详解】 函数，则，切点是， ，，故切线方程是. 【小问2详解】 令，解得或， 当时，； 当时，；当时，， 在和上单调递增，在单调递减， ，，，， 函数在区间内的最大值是2，最小值. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间. （2）根据（1）的结论，以及零点存在定理确定不等式，进而求解的取值范围. 【小问1详解】 已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 17. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） 因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，， 当时，， 即，所以，， 因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式； （3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，则当时，， 也满足，故，. 【小问3详解】 由可得 ， 令，则 则 ，即， 所以，数列为单调递增数列，则， 因此，的取值范围是. 19. 已知函数． （1）证明：； （2）证明：在其定义域内为减函数； （3）若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故. （2）证明：因为，易知，则， 令，由（1）知， 则在区间上恒成立，又， 所以恒成立，故在其定义域内为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，进可求得的最小值，即可求解； （2）对求导，得到，利用（1）中结果可得恒成立，即可求解； （3）根据条件得到，令，利用导数求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易知，由，得到，即， 令，则 ， 由（1）知，当且仅当时取等号， 所以当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故，得到， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市外国语学校2025—2026学年高二（下）第一次教学检测 数学科试题 命题人：何芳龙 审题人：吴柳锋 本试卷共4页，共19小题，考试时间120分钟，满分150分. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 2. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 6. 距离期中考试即将到来的20天之际，平潭某中学高二（1）班的五位同学打算利用周末时间来亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期六在平潭龙王头风景区、壳丘头遗址考古生态公园、北部湾生态风景区三个景点中选择一个进行游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（    ） A. 46 B. 56 C. 36 D. 66 7. 已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. e 8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是增函数 C. 在时取得极大值 D. 在时取得极小值 10. 是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ） A. B. 是数列的公比 C. D. 可能为常数列 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则直线为曲线的一条切线 B. 若，则 C. 若函数有3个零点，，，且，则 D. 若函数在的切线与的图像交于另一个点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为_____． 13. 设等比数列满足，，则的最大值为___________． 14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共57分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间内的最值 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 17. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）证明：； （2）证明：在其定义域内为减函数； （3）若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $