函数模型及其应用 课件-2027届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习函数模型及其应用 知 识 梳 理 知识点　函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增 增长速度 越来越______ 越来越______ 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与________平行 随x的增大逐渐表现为与________平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 递增 递增 快 慢 y轴 x轴 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 以上过程用框图表示如下： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 2．直线上升、对数增长、指数爆炸． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(　　) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组二　走进教材 2．(必修1P140T6改编)当x非常大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100 D．y＝100x [答案]　D [解析]　根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(必修1P152例6改编)某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒，需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(必修1P161T8改编)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　) A．26米 B．28米 C．31米 D．33米 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 考向1　利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透 (多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 函数模型及应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可． 2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向2　已知函数模型的实际问题——师生共研 附：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6. A．148τ B．6.9τ C．13.8τ D．6.72τ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 3．利用该模型求解实际问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 A．0～20 dB B．20～40 dB C．40～60 dB D．60～80 dB [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向3　构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1　一次函数、二次函数与分段函数模型 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润． [解析]　(1)由题意知，当0≤x≤8时， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　指数函数与对数函数模型 A．1.5 B．1.8 C．2.0 D．2.1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧 1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． 2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．71 B．72 C．73 D．74 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 (2026·青海名校联盟期中)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6 400元，设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米， 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12 800元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 (2025·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　　) A．10 000 B．10 480 C．10 816 D．10 818 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1．函数f(x)＝x＋(a>0，x>0)在区间(0，]内单调递减，在区间[，＋∞)内单调递增． (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) [解析]　(3)当a∈(0，1)时存在x0，使ax0<x<logax0. A．y＝ax＋b B．y＝a·x＋b(a>0) C．y＝xa＋b(a>0) D．y＝ax＋(a>0，b>0) [解析]　由题图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y＝a·x＋b的图象为一条曲线，且当a>0时，该函数在(0，＋∞)上单调递减，符合题意． [解析]　h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－52＋，h(t)max＝h＝≈31. 题组三　走向考场 5．(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： [解析] 对于C，由题意知20×lg ＝40，即lg ＝2，所以p3＝100p0,故C正确；对于A，由题意知Lp1≥Lp2，所以20×lg ≥20×lg ，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2＝20×lg ∈[50，60]，所以≤lg ≤3，所以p2∈[10p0，103p0]，即p2≤103p0＝10p3，故B错误；对于D，Lp1＝20×lg ∈[60，90]，所以3≤lg ≤，所以p1∈[103p0，10p0]，因为100p2∈[10p0，105p0]，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD． (2026·辽宁沈阳市郊联体开学考)通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)＝W0e，其中τ是一个常数．定义声音的声强衰减到原来的10－3所需的时间为TR，则TR约为(　　) [解析]　由题意知，W(TR)＝10－3W0，即e＝10－3，等号两边同时取自然对数得ln e＝ln 10－3，即－＝－3ln 10，所以TR＝τ×3ln 10＝τ×3×(ln 2＋ln 5)≈3τ×(0.7＋1.6)＝6.9τ.故选B． (2025·广东广州二模)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．轻柔音乐的声强一般在10－8～10－6 W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是(　　) [解析]　当I＝10－8时，L1＝10lg ＝40，当I＝10－6时，L1＝10lg ＝60，故轻柔音乐的声强级范围是40～60 dB．故选C． 某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：P＝设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)． y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋， 当8<x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2， 即y＝ (2)当0≤x≤8时，y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋， 所以当x＝4时，ymax＝. 当8<x≤14时，y＝x＋2， 所以当x＝14时，ymax＝. 因为>，所以当x＝4时，ymax＝. (2026·广东江门调研)金针菇被采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其被采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若被采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若被采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则被采摘后的天数为(结果保留一位小数，≈1.41) (　　) [解析]　由题意可得两式相除可得＝2，则ln(3＋a)＝2ln(1＋a)，3＋a＝(1＋a)2，∵a>0，∴a＝1，设t天后金针菇失去的新鲜度为60%，则mln(t＋1)＝0.6，又mln(1＋1)＝0.4，∴＝，2ln(t＋1)＝3ln 2，(t＋1)2＝23＝8，t＋1＝2≈2×1.41＝2.82，则t＝2.82－1＝1.82≈1.8，故选B． 【变式训练】 1．(角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)． [答案]　a2 [解析]　令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－2＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值． 2．(角度2)(2026·北京人大附中质检)深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L＝L0D，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度，已知，某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18.经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2＝0.301 0)(　　) [解析]　由题意得L＝0.5×D，依题意0.4＝0.5×D，则D＝，则L＝0.5×，由L＝0.5×<0.2，得到<，所以G>18log＝＝≈73.9，所以所需要的训练迭代轮数至少为74.故选D． 函数y＝x＋(a>0)模型及应用 (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为(a>0)元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功(约定整体报价更低的工程队竞标成功)，求a的取值范围． 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以y＝160×2x×1＋320××1＋6 400， 即y＝320＋6 400≥320×2＋6 400＝12 800，当且仅当x＝，即x＝10时，等号成立， (2)由题意可知，320＋6 400>恒成立，即＋20>对任意的x∈[6，12]恒成立， 所以>，可得>a， 即a<min，＝x＋1＋＋18≥2＋18＝36， 当且仅当x＋1＝，即x＝8时，取最小值36， 则0<a<36，即a的取值范围是(0，36)． 2．利用模型f(x)＝x＋(a>0)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件． [解析]设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立．所以平整这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816元．故选C． $