精品解析：河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 8 C. D. 9 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 6. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 7. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 13. 在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________． 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 15. 设，复数. （1）若复数是纯虚数，求实数m的值； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 18. 如图，在梯形中，，，，为的中点，. （1）用向量和表示； （2）若，求的值； （3）若，当为何值时，最小? 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】，所以复数的虚部为. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 6. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的计算公式化简求，再化简求. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 7. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积来计算投影向量即可. 【详解】因为，，由可得：， 以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项. 【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误； 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确； 正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确； 四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项. 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误； 对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确. 11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 【答案】或 【解析】 【分析】求出，根据“与共线的单位向量为”可求得结果. 【详解】与共线的单位向量为，且， 所以与共线的单位向量为或. 13. 在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________． 【答案】 【解析】 【详解】此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图， AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝． cos∠BAC＝．＝ 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 15. 设，复数. （1）若复数是纯虚数，求实数m的值； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可； （2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解. 【小问1详解】 因为， 又复数是纯虚数，所以， 解得. 【小问2详解】 复数z在复平面内对应的点为， 又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以 解得，即实数m的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 【答案】（1） （2） 由及正弦定理得， 由（1）知，所以，即， 所以是等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理得出，结合余弦定理可得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 略 17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积. （2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 当时，设圆柱的半径为，则，解得， 此时该艺术品的体积为. 【小问2详解】 设圆柱的半径为，则，解得， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， ， 当时，取得最大值， 故当时，该艺术品的表面积最大. 18. 如图，在梯形中，，，，为的中点，. （1）用向量和表示； （2）若，求的值； （3）若，当为何值时，最小? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量的线性运算，用基底表示向量，列出方程，求出参数值； （3）根据向量模的计算方法，以及二次函数最值情况，求出最小值即可. 【小问1详解】 过C作交于F，如图， 因为，所以，， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 又因为， 所以，解得，. 【小问3详解】 因为，，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角； （2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 而， 所以， 因为，所以，解得（舍去）， 因为，所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，由正弦定理得，所以，， 又， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 又，所以， 所以. 即的周长的取值范围是. 【小问3详解】 设，，则，，， 在中，，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 所以. 在中，，，所以， 所以，， 所以， 因为， 其中，， 当，即时，等号成立， 所以， 所以，即的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $