8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学空间点、直线、平面的位置关系核心知识点，从平面的概念、画法及表示切入，通过三个基本事实及推论构建基础，延伸至线线、线面、面面位置关系，形成完整知识脉络作为学习支架。 资料特色为题型分类系统（含7大题型），结合图形与符号语言，方法提炼清晰。亮点在于通过作截面、点共线等问题培养空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），课中辅助教师分题型教学，课后助力学生巩固应用，查漏补缺。

§8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 题型1：空间符号的正确使用 4 题型2：平面的基本性质及辨析 5 题型3：由平面基本性质作截面图形 6 题型4：点(线)共面问题 6 题型5：点共线与线共点问题 8 题型6：直线与直线的位置关系 11 题型7：直线与平面、平面与平面的位置关系 12 1. 平面 立体几何里的平面就是从生活中常见的平面抽象出来的，生活中的平是面是比较平且有限的，而立体几何里的平面是理想的、绝对的平且无限延展的． 平面的画法： (1) 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. (2) 两个相交平面的画法：如果一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画. 平面的表示方法： 我们常用希腊字母，，等表示平面，如平面，平面，平面等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如上图的平面，也可以表示为平面或平面或平面. 2. 点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 (1) 点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； (2) 点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； (3) 直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 3. 平面的基本性质 (1) 三个基本事实 自然语言 符号语言 图形语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ，，，. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ，且且. (2) 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3: 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 4. 空间中直线与直线的位置关系 (1) 异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 画法： (2) 空间两条直线的位置关系 5. 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 // 没有公共点 提醒 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. 6. 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 // 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 题型1：空间符号的正确使用 【例1.1.】 若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 题型2：平面的基本性质及辨析 【例2.1.】 经过两条不同直线的平面个数可能为（   ） A．1 B．2 C．0或1 D．1或2 【例2.2.】 三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 【例2.3.】 经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 【例2.4.】 下列命题中，正确的是（   ） A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 题型3：由平面基本性质作截面图形 【例3.1.】 已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例3.2.】 如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 题型4：点(线)共面问题 方法提炼 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． (1) 证明点（线）共面的主要依据 ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（基本事实2）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本事实1及其推论）． (2) 证明点（线）共面的常用方法 ①纳入法：先确定一个平面，再证明其他有关点（线）在这个平面内． ②重合法：先证明有关的点（线）确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合． ③反证法. (3) 具体操作方法 ①证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； ②证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 【例4.1.】 在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【例4.2.】 在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 (　　) A． B． C． D． 【例4.4.】 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【例4.5.】 如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 题型5：点共线与线共点问题 方法提炼 1. 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． (1) 证明三点共线的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． (2) 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． (3) 证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据基本事实3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 2. 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． (1) 证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． (2) 证明三线共点的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些所有公共点的集合是一条经过这个公共点的直线.也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上. 【例5.1.】 如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【例5.2.】 如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【例5.3.】 在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则 A．点必在直线上 B．点必在直线上 C．点必在平面外 D．点必在平面内 【例5.4.】 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【例5.5.】 如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    【例5.6.】 如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【例5.7.】 已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【例5.8.】 如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 题型6：直线与直线的位置关系 【例6.1.】 如果空间两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【例6.2.】 在正六面体中，直线平面，直线平面，记该正六面体的12条棱所在的直线构成的集合为U．给出下列四个命题： ①U中可能恰有3条直线与a异面； ②U中可能恰有10条直线与a异面； ③U中可能恰有8条直线与b异面； ④U中可能恰有10条直线与b异面． 其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例6.3.】 已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 【例6.4.】 如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【例6.5.】 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【例6.6.】 以下四个图中，表示直线与平行的是（    ） A． B． C． D． 题型7：直线与平面、平面与平面的位置关系 【例7.1.】 直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【例7.2.】 （多选）若平面平面，，下列说法正确的是（   ） A．与内任一条直线平行 B．与内无数条直线平行 C．与内任一直线不相交 D．与无公共点 【例7.3.】 在正方体中，下列说法正确的是_________.（填序号） （1）直线在平面内；（2）设正方形与的中心分别为，，则平面与平面的交线为；（3）由确定的平面是；（4）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面. 【例7.4.】 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 【例7.5.】 已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 题型1：空间符号的正确使用 4 题型2：平面的基本性质及辨析 5 题型3：由平面基本性质作截面图形 7 题型4：点(线)共面问题 11 题型5：点共线与线共点问题 16 题型6：直线与直线的位置关系 23 题型7：直线与平面、平面与平面的位置关系 28 1. 平面 立体几何里的平面就是从生活中常见的平面抽象出来的，生活中的平是面是比较平且有限的，而立体几何里的平面是理想的、绝对的平且无限延展的． 平面的画法： (1) 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. (2) 两个相交平面的画法：如果一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画. 平面的表示方法： 我们常用希腊字母，，等表示平面，如平面，平面，平面等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如上图的平面，也可以表示为平面或平面或平面. 2. 点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 (1) 点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； (2) 点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； (3) 直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 3. 平面的基本性质 (1) 三个基本事实 自然语言 符号语言 图形语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ，，，. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ，且且. (2) 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3: 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 4. 空间中直线与直线的位置关系 (1) 异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 画法： (2) 空间两条直线的位置关系 5. 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 // 没有公共点 提醒 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. 6. 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 // 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 题型1：空间符号的正确使用 【例1.1.】 若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】线面关系有关命题的判断 【详解】因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以. 又因为直线b（集合）在平面（集合）内，所以. 所以.故选项B正确. 【例1.2.】 已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 【例1.3.】 如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断图形中的线面关系、判断图形中的面面关系 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 题型2：平面的基本性质及辨析 【例2.1.】 经过两条不同直线的平面个数可能为（   ） A．1 B．2 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【详解】若两条直线平行或相交，则有且仅有1个平面经过两条不同直线； 若两条直线异面，则不存在经过两条不同直线的平面，即0个. 【例2.2.】 三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析 【详解】三脚架的三只脚不在同一直线上，根据基本事实1，可知选B． 【例2.3.】 经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】利用确定平面的条件判断即可. 【详解】经过不共线3个点的平面有且只有一个， 而经过同一直线上的3个点的平面有无数个． 故选：D. 【例2.4.】 下列命题中，正确的是（   ） A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、平面的基本性质及辨析、异面直线的概念及辨析 【分析】根据经过两条相交直线有且只有一个平面判断B，根据异面直线定义判断A，C，D. 【详解】经过正方体两条异面的面对角线的平面不存在，A选项错误； 因为正方体的四条体对角线相交于同一点正方体的中心， 因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，B选项正确； 经过正方体异面的两条棱的平面不存在，C选项错误； 经过正方体一条体对角线和一条与之异面的面对角线的平面不存在，，D选项错误； 故选：B． 题型3：由平面基本性质作截面图形 【例3.1.】 已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 【例3.2.】 如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 【例3.3.】 一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.53 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 【例3.4.】 已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、棱柱及其有关计算 【分析】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交，即为点E，首先证明是的中点，推出，即可利用三角形相似推出，得解. 【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E， 因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面， 因为M是的中点，且，所以，， 所以是△的中位线，则是的中点， 又因为N为的中点，所以， 易知，则，所以. 故答案为：6 题型4：点(线)共面问题 方法提炼 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． (1) 证明点（线）共面的主要依据 ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（基本事实2）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本事实1及其推论）． (2) 证明点（线）共面的常用方法 ①纳入法：先确定一个平面，再证明其他有关点（线）在这个平面内． ②重合法：先证明有关的点（线）确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合． ③反证法. (3) 具体操作方法 ①证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； ②证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 【例4.1.】 在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用平面的基本性质，先由点在两条直线上推出点分别在两个平面内，再根据两个平面的交线确定点一定在这条交线上. 【详解】 如图所示，因为平面，平面，，所以平面，平面； 又因为平面平面，所以． 故选：B． 【例4.2.】 在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可. 【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 【例4.3.】 下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【详解】在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D． 点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面． 【例4.4.】 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 【例4.5.】 如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 【答案】证明见解析 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据平面的基本性质分别得到和三线共面，即可求解. 【详解】证明：因为，所以与共面， 又由，，所以三线共面； 同理可证三线共面， 所以四条直线共面. 题型5：点共线与线共点问题 方法提炼 1. 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． (1) 证明三点共线的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． (2) 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． (3) 证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据基本事实3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 2. 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． (1) 证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． (2) 证明三线共点的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些所有公共点的集合是一条经过这个公共点的直线.也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上. 【例5.1.】 如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【例5.2.】 如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】先证明直线与直线交于，再证明过点即可. 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. 【例5.3.】 在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则 A．点必在直线上 B．点必在直线上 C．点必在平面外 D．点必在平面内 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上． 【详解】如图：连接EH、FG、BD， ∵EH、FG所在直线相交于点P， ∴P∈EH且P∈FG， ∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD， ∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD， 由∵平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD， 故选B． 【例5.4.】 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】平面的基本性质及辨析 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 【例5.5.】 如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    【答案】共线 【难度】0.65 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【例5.6.】 如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题、平面的基本性质及辨析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【例5.7.】 已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【例5.8.】 如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 题型6：直线与直线的位置关系 【例6.1.】 如果空间两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】异面直线的概念及辨析 【详解】因为两条直线异面或平行时，都没有公共点， 所以D选项正确. 【例6.2.】 在正六面体中，直线平面，直线平面，记该正六面体的12条棱所在的直线构成的集合为U．给出下列四个命题： ①U中可能恰有3条直线与a异面； ②U中可能恰有10条直线与a异面； ③U中可能恰有8条直线与b异面； ④U中可能恰有10条直线与b异面． 其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】棱柱的结构特征和分类、异面直线的概念及辨析 【分析】根据正方体的结构特征及异面直线的定义依次判断各项的正误即可. 【详解】若直线a与底面的一条边所在直线重合时，假设直线a与AB重合， 此时U中只有4条直线（即，，，）与直线a异面； 若直线a与底面的对角线所在直线重合时，假设直线a与AC重合， 此时U中有6条直线（即，，，，，）与直线a异面； 若直线a只过底面的一个顶点时，假设直线a过点A， 此时U中有7条直线（即，，，，，，）与直线a异面； 若直线a不过底面的任何一个顶点时， 此时U中有8条直线（即，，，，，，，）与直线a异面， 综上，①、②都错； ③当直线b过A点与线段的中点时，U中除了AD，，AB，之外的8条棱所在直线均与直线b异面，对； ④当直线b过线段AD中点与线段的中点时，U中除了AD，之外的10条棱所在直线均与直线b异面，对． 【例6.3.】 已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】公理的应用、异面直线的概念及辨析 【分析】连接，证明出四边形为梯形，可得出结论. 【详解】如下图所示，连接，    由、分别为、的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，故直线、相交， 故选：C. 【例6.4.】 如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面；    连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 【例6.5.】 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行公理、异面直线的判定 【详解】对于A，由平行的传递性知A正确； 对于B，如图①，在正方体中， 当，时，与相交； 当，时， ； 当，时，与异面； 所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示， 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D，如图①，在正方体中， 与相交，与异面，此时与平行； 与相交，与异面，此时与相交； 与相交，与异面，此时与异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 【例6.6.】 以下四个图中，表示直线与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据两直线的位置关系的定义结合图形一一判断求解. 【详解】 对A，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故A错误； 对B，根据图示，直线与异面，B错误； 对C，根据三角形的相似关系可得直线与平行，C正确； 对D，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故D错误； 故选:C. 题型7：直线与平面、平面与平面的位置关系 【例7.1.】 直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 【例7.2.】 （多选）若平面平面，，下列说法正确的是（   ） A．与内任一条直线平行 B．与内无数条直线平行 C．与内任一直线不相交 D．与无公共点 【答案】BCD 【难度】0.75 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、面面平行证明线面平行 【分析】根据线面位置关系判断CD；在正方体中，借助正方体中的线、面间的关系，判断AB. 【详解】，，，与无公共点， 从而与内任一直线不相交，CD正确； 如图，在正方体中，令线段所在的直线为，平面为平面， 平面为平面，显然与内无数条直线平行，故B正确； 又与异面，故A错误． 故选：BCD 【例7.3.】 在正方体中，下列说法正确的是_________.（填序号） （1）直线在平面内；（2）设正方形与的中心分别为，，则平面与平面的交线为；（3）由确定的平面是；（4）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面. 【答案】（2）（3）（4） 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】画出直观图，根据图像，再根据点、线、面的关系判断选项即可 【详解】 （1）错误.如图①所示，点平面，所以直线平面. （2）正确.如图②所示.因为直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，所以平面与平面的交线为. （3）（4）都正确，如图③所示，因为且，所以四边形是平行四边形，所以共面. 【例7.4.】 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】首先由三角形三条边所在直线将平面所分成的部分，再想象空间的部分. 【详解】如图，将一个三角形各边延伸可将平面分为7个部分，则直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成个部分. 【例7.5.】 已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线即可. 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线，与除去外的4个平面相交有4条交线，，与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 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